北师大版数学八年级下册 第一次月考复习易错题（13个考点41题） 试卷 含答案

第一次月考复习易错题范围：第1-2章等腰三角形的性质和判定1．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（

）A．18 B．92 C．9 D．2．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（

）

A．4m B．6m C．10m3．如图，∠AOB是一角度为5°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（

A．15根 B．16根 C．17根 D．无数根4．如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点A，B分别在坐标轴上．(1)如图①，若点C的横坐标为−3，点B的坐标为______；(2)如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；(3)如图③，OB=BF，∠OBF=90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．5．如图，在Rt△ABC中，AC=BC=32，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，

(1)求证：△CAD≌△CBE；(2)若AD=2时，求CE的长；(3)点D在AB上运动时，试探究AD6．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，△ABD≌(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．二．等边三角形的性质与判定

7．如图，在等边三角形△ABC中，E为AB上一点，过点E的直线交AC于点F，交BC延长线于点D，作EG⊥AC垂足为G，如AE=CD，AB=a，则GF的长为（

）A．13a B．23a C．8．如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．(1)求证：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度数；(3)求证：AF平分∠DFE．9．如图①，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连续AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，求∠QMC的度数．10．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．(1)求证：AD=BE；(2)求∠DOE的度数；(3)求证：△MNC是等边三角形．三．线段垂直平分线的性质

11．某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（

）

A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处12．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC=4，AB=10，则△ACD的周长为（

）A．8 B．9 C．10 D．14四.角平分线的性质与判定13．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若

(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC=20，BE=4，求14．综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC=OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．

请写出OE平分∠AOB的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

15．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．直角三角形的性质与判定16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E,F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC

A．60∘ B．65∘ C．70∘17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′．若点B′刚好落在边AC上，

18．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAE的度数；(3)求证：CD＝2BF+DE．19．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．六.由不等式组解集的情况求参数

20．关于x的方程2x−3a=a−7的解是非负整数，且关于y的不等式组6y−a>2y−1−14y+3A．8 B．12 C．15 D．1821．若关于x的不等式组4x−1+1<3xx<m的解集为x<3，那么mA．m=3 B．m>3 C．m<3 D．m≥322．若关于x的不等式组x+a≥32x−3<1有3个整数解，则a的取值范围是七.一次函数与不等式的关系

23．已知点A−2,2，B2,3，当一次函数y=k−1x−k+2与线段AB有交点时，A．−13≤k≤2且k≠0 B．C．k≥3或0<k≤23 D．k≤24．已知点P−1,y1,Q3,y2在一次函数y=(2m−1)x+2A．m≥1 B．m<1 C．m>12 25．如图，一次函数y1=−ax+3a≠0与y2=2kx−1k≠0交于点−2,326．若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>0的解集为．27．如图是将4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图．小华结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律，发现y与x满足一次函数关系．如表是小华经过测量得到的y与x之间的对应数据：x/个1234y/cm68.410.813.2(1)求出y与x之间的函数表达式；(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm28．某体育用品专卖店批发A、B两款跳绳，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价－进货价）类别价格A款跳绳B款跳绳进货价（元/根）1520销售价（元/根）2532(1)该商店第一次用625元购进A、B两种跳绳共35根，求A、B两种跳绳分别购进的根数；(2)第一次购进的A、B两款跳绳售完后，该体育用品专卖店计划再次批发这两款跳绳共100根（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于1865元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？29．元旦前夕，某礼品超市要到批发市场采购A，B两种礼品共300件，已知A礼品的件数不少于B礼品的件数，采购总费用不超过4320元，两种礼品的批发价和零售价如下表．设该超市采购x件A礼品．品名批发价：元/件零售价：元/件A礼品1525B礼品1220(1)求该超市采购总费用y（单位；元）与x（单位；件）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)若该超市将这300件礼品全部以零售价售出，请运用你所学习的一次函数性质求出超市能获得的最大利润；(3)鉴于本次销售市场反馈良好，超市决定春节前再次采购相同数量礼品，受市场行情等因素影响，再次采购时，A礼品的批发价每件上涨了2mm>0元，同时B礼品批发价每件下降了m元．该超市决定不调整礼品的零售价，通过测算将所有礼品全部卖出获得的最低利润是2040元，求m八.一元一次不等式的整数解

30．若关于x，y的方程组3x+y=4x+2y=−3m+2的解满足x−3y>−7，则m的最小整数解为（

A．0 B．−1 C．−2 D．−331．若整数a使得关于x的方程2x−1+a=1的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组5y+62>yy−aA．3 B．4 C．5 D．632．解不等式组2x−1

九.不等式的性质

33．若x>y，则下列各式正确的是（

）A．2−x>2−y B．x+1>y+1C．3x>2y D．x不等式的解集34．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（

）A．x>8 B．8<x≤13 C．8≤x≤13 D．8≤x<1335．已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲，乙的面积分别为S1,S2S1>S236．八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用A表示不大于A的最大整数，如：2=2，4.1=4，−3.99=−4(1)−3(2)若3+x=−5，求x十一.最短路径问题

37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是38．如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN=．十二.用一元一次不等式解决实际问题39．购物车是我们在超市购物经常用到的工具．如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长1 m，每增加一辆购物车，车身增加0.2 m．若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6 m40．春节期间，甲、乙两个商场针对某品牌冰箱的促销方案如下：商场甲乙第一次优惠八折降价500元第二次优惠打折后消费1500元及以上，减免200元降价后消费2000元及以上，减免400元(1)设某冰箱的原价为x（x>2500）元，在享受两次优惠后，甲商场该冰箱实付价为_________元，乙商场该冰箱实付价为_________元．(2)小华在甲商场购买了一台冰箱，小东在乙商场购买了一台冰箱，均享受了两次优惠，以下是他们的对话．小华：真有意思，我买的冰箱原价比你的冰箱原价低，但我的实付价却比你的实付价高小东：更有意思的是，我买的冰箱原价比你的冰箱原价高了105元，实付价却恰好比你的实付价低了105元分别求小华和小东购买的冰箱的原价若某冰箱的原价高于2500元，请你帮忙计算在哪家商场购买比较划算？一次函数与几何综合41．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A−6,0的直线l1与直线l2(1)求直线l1(2)若y2≥y(3)直线l1与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得△AMP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P

第一次月考复习易错题范围：第1-2章等腰三角形的性质和判定1．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（

）A．18 B．92 C．9 D．【答案】C【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接AD，根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出△ADE≌△CDF，将四边形AEDF的面积转化为三角形ADC的面积再进行求解．【详解】解：连接AD，如图：∵∠BAC=90°，AB=AC=6，点D是BC中点，AE=CF∴∠BAD=∠B=∠C=45°,AD=BD=DC∴△ADE≌△CDF，∴S又∵S△ABC∴S故选：C2．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（

）

A．4m B．6m C．10m【答案】B【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角【分析】作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B=∠C=1【详解】解：如图，作AD⊥BC于点D，

∵△ABC中,∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=1∵AD⊥BC，∴AD=1故选B．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．3．如图，∠AOB是一角度为5°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（

A．15根 B．16根 C．17根 D．无数根【答案】C【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、用一元一次不等式解决实际问题【分析】本题考查了图形类规律探索，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确理解题意是解题关键．根据题意发现一般规律，添加n根钢管，有n个等腰三角形，且第n个等腰三角形的底角为5°⋅n，再由等腰三角形的底角小于90°，得出n<18，即可得到答案．【详解】解：添加一根钢管时，OE=OF，即∠EFO=∠AOB=5°，添加两根钢管时，∠FEG=∠AOB+∠EFO=10°；EF=FG，即∠FEG=∠EGF=10°，添加三根钢管时，∠GFH=∠AOB+∠EGF=15°；FG=GH，即∠GFH=∠GHF=15°，∴∠BGH=∠AOB+∠GHF=20°；……观察发现，添加n根钢管，有n个等腰三角形，且第n个等腰三角形的底角为5°⋅n，∵等腰三角形的底角小于90°，∴5°⋅n<90°，∴n<18，即最多能添加这样的钢管的根数为17根，故选：C．4．如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点A，B分别在坐标轴上．(1)如图①，若点C的横坐标为−3，点B的坐标为______；(2)如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；(3)如图③，OB=BF，∠OBF=90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．【答案】(1)0,3；(2)AM=2CD，理由见解析；(3)不会变化，12【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、坐标与图形【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．（1）过点C作CH⊥y轴于H，由AAS可证△ABO≌△BCH，可得CH=BO=3，可求解；（2）延长AB，CD交于点N，由ASA可证△ADN≌△ADC，可得CD=DN，由ASA可证△ABM≌△CBN，可得AM=CN，可得结论；（3）作EG⊥y轴于G，由AAS可证△BAO≌△CBG，可得BG=AO，CG=OB，由AAS可证△CGP≌△FBP，可得PB=PG，可得PB=1【详解】（1）解：如图①，过点C作CH⊥y轴于H，∴∠BHC=90°=∠ABC∴∠BCH+∠CBH=∠ABH+∠CBH=90°∴∠BCH=∠ABH∵点C的横坐标为−3，∴CH=3在△ABO和△BCH中，∠BCH=∠ABO∴△ABO≌△BCH∴CH=BO=3∴B0,3故答案为：0,3；（2）AM=2CD，如图②，延长AB，CD交于点N，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ADN和△ADC中，∠BAD=∠CADAD=AD∴△ADN≌△ADCASA∴CD=DN，∴CN=2CD，∵∠N+∠BAD=90°，∠N+∠BCN=90°∴∠BAD=∠BCN在△ABM和△CBN中，∠BAM=∠BCNBA=BC∴△ABM≌△CBN∴AM=CN∴AM=2CD；（3）△BPC与△AOB的面积比不会变化，理由∶如图③，作CG⊥y轴于G，∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠CBG=90°∴∠BAO=∠CBG在△BAO和△CBG中，∠AOB=∠BGC=90°∴△BAO≌△CBG∴BG=AO，CG=OB∵OB=BF∴BF=GC在△CGP和△FBP中，∠CPG=∠FPB∴△CGP≌△FBP∴PB=PG∴PB=∵S△AOB∴S5．如图，在Rt△ABC中，AC=BC=32，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，

(1)求证：△CAD≌△CBE；(2)若AD=2时，求CE的长；(3)点D在AB上运动时，试探究AD【答案】(1)见解析(2)10(3)存在，18【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定【分析】（1）由SAS即可证明△CAD≌△CBE；（2）证明△CAD≌△CBE（SAS），勾股定理得到DE，在Rt△CDE（3）证明AD【详解】（1）解：由题意，可知∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB，CD=CE．∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB．即∠ACD=∠BCE．∴△CAD≌△CBE(SAS（2）∵在Rt△ABC中，AC=BC=3∴∠CAB=∠CBA=45°,AB=2∴BD=AB−AD=6−2=4．∵△CAD≌△CBE，∴BE=AD=2，∠CBE=∠CAD=45°．∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．∴DE=B∴在Rt△CDE中，CE=CD=（3）由（2）可知，AD∴当CD最小时，有AD2+B∵△ABC为等腰直角三角形，∴CD=1∴AD即AD2+B【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，△ABD≌(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．【答案】(1)25；115；小(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE(3)可以；∠BDA的度数为110°或80°【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）由已知平角的性质可得∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE，再利用三角形内角和定理进而求得∠DEC，即可判断点D从B向C运动过程中，∠BDA逐渐变小；（2）当DC=2时，由已知和三角形内角和定理可得∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，等量代换得∠ADB=∠DEC，又由AB=AC=2，可得△ABD≌△DCEAAS（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）解：∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE=180°−115°−40°=25°，∠DEC=180°−∠EDC−∠C=180°−25°−40°=115°，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小，故答案为：25；115；小；（2）解：当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵∠B=∠C，AB=DC=2，∴△ABD≌△DCEAAS（3）解：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形；理由：∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∠AED=∠C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠DAC=∠AED，∴△ADE是等腰三角形；∵∠BDA=80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴∠DAC=∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．二．等边三角形的性质与判定

7．如图，在等边三角形△ABC中，E为AB上一点，过点E的直线交AC于点F，交BC延长线于点D，作EG⊥AC垂足为G，如AE=CD，AB=a，则GF的长为（

）A．13a B．23a C．【答案】C【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作EM∥BD，先证明△AEM是等边三角形，再证△EMF≌△DCF，即可得到答案；【详解】解：过E作EM∥BD，∵△ABC是等边三角形，AB=a，，∴AC=BC=AB=a，∠A=∠B=∠C=60°，∵EM∥BD，∴∠AEM=∠B=60°，∠AME=∠C=60°，∠MEF=∠D，∴△AEM是等边三角形，∴AE=AM=EM，∵AE=CD，∴ME=CD，在△EMF与△DCF中，∵∠MEF=∠D∠MFE=∠CFD∴△EMF≌△DCF(AAS∴MF=CF，∵EG⊥AC，EA=EM，∴AG=MG，∴GF=1故选：C．8．如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．(1)求证：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度数；(3)求证：AF平分∠DFE．【答案】(1)见解析(2)60°(3)见解析【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、角平分线的判定定理【分析】（1）由△ABD、△ACE是等边三角形，易证∠DAC=∠BAE，继而可证△ABE≌△ADC；（2）由△ABE≌△ADC，得到∠AEB=∠ACD，进一步得到∠CEF+∠ECF=∠AEC+∠ACE=120°，由三角形内角和得到答案；（3）作AH⊥DC于点H，AN⊥BE于点N，证明AH=AN，由【详解】（1）证明：∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴DA=AB，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，∴△ABE≌△ADCSAS（2）解：∵△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠AEB+∠CAE=∠ACD+∠EFC，∴∠EFC=∠CAE=60°；（3）证明：如图，作AH⊥DC于点H，AN⊥BE于点∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC=∠ABE，∵∠AHD=∠ANB=90°，AD=AB，∴△AHD≌△ANB(AAS∴AH=AN，∵AH⊥DC，∴AF平分∠DFE．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．9．如图①，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连续AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图②，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，求∠QMC的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）120°【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明ΔABQ≅ΔCAP即可；（2）先判定ΔABQ≅ΔCAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；（3）先判定ΔABQ≅ΔCAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．【详解】解：（1）证明：如图1，∵ΔABC是等边三角形，∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在ΔABQ与ΔCAP中，AB=CA∠ABQ=∠CAP∴ΔABQ≅ΔCAP(SAS)；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵ΔABQ≅ΔCAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC是ΔACM的外角，∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC，∵∠BAC=60°，∴∠QMC=60°；（3）如图，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．理由：同理可得，ΔABQ≅ΔCAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC是ΔAPM的外角，∴∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠PAC=180°−60°=120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．10．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．(1)求证：AD=BE；(2)求∠DOE的度数；(3)求证：△MNC是等边三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)∠DOE的度数是60°；；(3)证明见解析．【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据等边三角形性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出（2）根据全等求出∠ADC=∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；（3）求出AM=BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM=CN，求出∠NCM=60°即可．【详解】（1）证明：∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE；（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°，∴∠DOE=180°−∠ADE+∠BED∴∠DOE的度数是60°；（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=12AD∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，AC=BC∠CAM=∠CBN∴△ACM≌△BCNSAS∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形．三．线段垂直平分线的性质

11．某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（

）

A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．【详解】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，∴充电桩应该在△ABC三条边的垂直平分线的交点处，故选：D．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC=4，AB=10，则△ACD的周长为（

）A．8 B．9 C．10 D．14【答案】D【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，进而可得△ACD的周长．【详解】解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线，∵MN是BC的垂直平分线，∴CD=DB，∵AB=10，∴CD+AD=10，∴△ACD的周长=CD+AD+AC=4+10=14，故选：D．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

四.角平分线的性质与判定13．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若

(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC=20，BE=4，求【答案】(1)见详解(2)12【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,（1）求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD（2）根据全等三角形的性质得出AE=AF,BE=CF，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△BED和RtBD=CDBE=CF∴Rt△BED≌∴DE=DF，∵DE⊥AB,DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵∠AED=∠AFD=90°,AD=AD,DE=DF，∴Rt△ADE≌∴AE=AF，∵AC=20,CF=BE=4，∴AE=AF=20−4=16，∴AB=AE−BE=16−4=12．14．综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC=OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．

请写出OE平分∠AOB的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）SSS；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理【分析】（1）先证明△OCE≌△ODESSS，可得∠AOE=∠BOE（2）先证明△OCM≌△OCNSSS，可得∠AOC=∠BOC，可得OC是∠AOB（3）先作∠BAC的角平分线，再在角平分线上截取AE=AD即可．【详解】解：（1）∵OC=OD，CE=DE，DE=DE，∴△OCE≌△ODESSS∴∠AOE=∠BOE，∴OE是∠AOB的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM=ON，CM=CN，OC=OC，∴△OCM≌△OCNSSS∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分线；（3）如图，点E即为所求作的点；

．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．15．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【知识点】角平分线性质定理及证明、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，∴∠MCO=90°-60°=30°，∠NCO=90°-60°=30°，∴∠MCN=30°+30°=60°，∴∠MCN=∠DCE，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，在△MCF和△NCG中，∠CMF=∠CNG∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．直角三角形的性质与判定16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E,F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC

A．60∘ B．65∘ C．70∘【答案】B【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出∠BAC=50°，由作图得∠BAD=25°，由三角形的外角的性质可得∠ADC=65°，故可得答案【详解】解：∵∠C=90°,∠B=40°，∴∠BAC=90°−∠B=90°−40°=50°，由作图知，AP平分∠BAC，∴∠BAD=1又∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠ADC=40°+25°=65°,故选：B17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′．若点B′刚好落在边AC上，

【答案】9【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出B′【详解】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′．点B′刚好落在边AC上，在Rt△ABC中，∴B′∴BC=CE+BE=3+6=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．18．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAE的度数；(3)求证：CD＝2BF+DE．【答案】(1)见解析；(2)∠FAE=135°；(3)见解析【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题、等边对等角【分析】（1）先根据等角的余角相等证得∠BAC=∠DAE，再根据全等三角形的判定证明即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得∠BCA=∠E=45°，再根据直角三角形的两锐角互余求得∠CAF=45°即可求解；（3）延长BF到G，使得FG=FB，根据全等三角形的判定与性质证明△AFB≌△AFGSAS，△CGA【详解】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，∵AB=AD∠BAC=∠DAE∴△BAC≌（2）解：∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌∴∠BCA=∠E=45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）证明：延长BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，∴BF=GF∠AFB=∠AFG∴△AFB≌∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠CGA=∠CDA，∵∠GCA=∠DCA=45°，∴在△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDA∴△CGA≌∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键．19．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）AB+BC=BD，见解析；（3）BC−AB=2CE，见解析【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、全等三角形综合问题【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，证明△ABD≌△MBDSAS，得出∠A=∠BMD，AD=MD，进而得出∠C=∠CMD，则DM=DC，等量代换即可得证；方法2：延长AB到N，使BN=BC，连接DN，证明△NBD≌△CBDSAS，得出∠BND=∠C，ND=CD，进而得出∠BND=∠NAD，则（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC=BD．方法1：在BD上截取BF=AB，连接AF，由1知∠BAD+∠BCD=180°，得出△ABF，△ADC为等边三角形，证明△ABC≌△AFDSAS，得出DF=BC，进而即可得证；方法2：延长CB到P，使BP=BA，连接AP，由1知AD=CD，则△ADC，△ABP是等边三角形，证明△PAC≌△BADSAS，得出（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC−AB=2CE，连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，证明△DFA≌△DECAAS，Rt△BDF≌和Rt△BDE【详解】解：（1）方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△MBD中，BD=BD∠ABD=∠MBD∴△ABD≌△MBDSAS∴∠A=∠BMD，AD=MD，∵∠BMD+∠CMD=180°，∠C+∠A=180°，∴∠C=∠CMD，∴DM=DC，∴DA=DC；方法2：延长AB到N，使BN=BC，连接DN，∵BD平分∠ABC，∴∠NBD=∠CBD，在△NBD和△CBD中，BD=BD∠NBD=∠CBD∴△NBD≌△CBDSAS∴∠BND=∠C，ND=CD，∵∠NAD+∠BAD=180°，∠C+∠BAD=180°，∴∠BND=∠NAD，∴DN=DA，∴DA=DC；（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC=BD．方法1：理由如下：如图2，在BD上截取BF=AB，连接AF，由（1）知∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠DAC=180°，∵∠DAC=60°，∴∠ABC=120°，∴∠ABD=∠DBC=60°，∴△ABF为等边三角形，∴AB=AF=BF，∠BAF=60°，∵AD=DC，∴△ADC为等边三角形，∴AD=AC，∠DAC=60°，∴∠DAF=∠BAC，∴△ABC≌△AFDSAS∴DF=BC，∴BD=BF+DF=AB+BC．方法2：理由：延长CB到P，使BP=BA，连接AP，由（1）知AD=CD，∵∠DAC=60°，∴△ADC是等边三角形，∴AC=AD，∠ADC=60°，∵∠BCD+∠BAD=180°，∴∠ABC=360°−180°−60°=120°，∴∠PBA=180°−∠ABC=60°，∵BP=BA，∴△ABP为等边三角形，∴∠PAB=60°，AB=AP，∵∠DAC=60°，∴∠PAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠PAC=∠BAD，在△PAC和△BAD中，PA=BA∠PAC=∠BAD∴△PAC≌△BADSAS∴PC=BD，∵PC=BP+BC=AB+BC，∴AB+BC=BD；（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC−AB=2CE．连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠FAD=180°，∴∠FAD=∠C，在△DFA和△DEC中，∠DFA=∠DEC∠FAD=∠C∴△DFA≌△DECAAS∴DF=DE，AF=CE，在Rt△BDF和RtBD=BDDF=DE∴Rt∴BF=BE，∴BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE，∴BC−BA=2CE．

六.由不等式组解集的情况求参数

20．关于x的方程2x−3a=a−7的解是非负整数，且关于y的不等式组6y−a>2y−1−14y+3A．8 B．12 C．15 D．18【答案】A【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解，熟知解一元一次不等式组及解一元一次方程的步骤是解题的关键．先根据所给方程的解为非负整数，得出a的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题．【详解】解：由方程2x−3a=a−7得：∵关于x的方程2x−3a∴7a−72解得a≥1，解不等式组6y−a>2y−1−14y+3∵此不等式组有且仅有3个整数解，∴0≤a−3解得：3≤a<7，∴3≤a<7，∵关于x的方程2x−3a=a−7的解是非负整数，∴符合条件的所有整数a的和是：3+5=8，故选：A．21．若关于x的不等式组4x−1+1<3xx<m的解集为x<3，那么mA．m=3 B．m>3 C．m<3 D．m≥3【答案】D【知识点】由不等式组解集的情况求参数【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，得出x<3x<m，然后根据不等式组的解集为x<3，求出m【详解】解：解不等组式得：x<3x<m∵不等式组的解集为x<3，∴m的范围为m≥3．故选：D．22．若关于x的不等式组x+a≥32x−3<1有3个整数解，则a的取值范围是【答案】4≤a<5【知识点】由不等式组解集的情况求参数【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得到关于a的不等式组，进行求解即可．【详解】解：解x+a≥32x−3<1，得：x≥3−a∵不等式组x+a≥32x−3<1∴3−a≤x<2，且三个整数解为：−1,0,1，∴−2<3−a≤−1，解得：4≤a<5；故答案为：4≤a<5．

七.一次函数与不等式的关系

23．已知点A−2,2，B2,3，当一次函数y=k−1x−k+2与线段AB有交点时，A．−13≤k≤2且k≠0 B．C．k≥3或0<k≤23 D．k≤【答案】D【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，由已知得直线y=k−1x−k+2恒过点P1,1，分别求出直线PA【详解】解：∵y=k−1∴直线y=k−1x−k+2（k为常数）恒过点当直线刚好过点A时，将A−2,2代入y=k−1x−k+2解得k=2此时k−1=2当直线刚好过点B时，将B2,3代入y=k−1x−k+2解得k=3，此时k−1=3−1=2，∴当直线y=k−1x−k+2与线段AB有交点时，k−1的取值范围为：k−1≥−1∴k的取值范围为：k≤23或故选：D．24．已知点P−1,y1,Q3,y2在一次函数y=(2m−1)x+2A．m≥1 B．m<1 C．m>12 【答案】C【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一元一次不等式的解集【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．【详解】解：∵点P−1,y1,Q3,∴y随x的增大而增大，∴2m−1>0，解得：m>1故选：C．25．如图，一次函数y1=−ax+3a≠0与y2=2kx−1k≠0交于点−2,3【答案】x>−2/−2<x【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集【分析】根据函数图象，可以发现当x>−2时，一次函数y1=−ax+3的图象在y本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键．【详解】解：由图象可知，当x>−2时，一次函数y1=−ax+3∴−ax+3>2kx−1的解集为故答案为：x>−2．26．若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>0的解集为．【答案】x>2【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的关系；直接利用一次函数图象，结合kx+b>0时，则y>0时对应x的取值范围，进而得出答案．【详解】解：根据函数图象可得y=kx+b与x轴交于2,0，且y随x的增大而增大，∴关于x的不等式kx+b>0的解集为x>2，故答案为：x>2．27．如图是将4个规格都相同的碗整齐叠放成一摞的示意图．小华结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律，发现y与x满足一次函数关系．如表是小华经过测量得到的y与x之间的对应数据：x/个1234y/cm68.410.813.2(1)求出y与x之间的函数表达式；(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm【答案】(1)y=2.4x+3.6(2)此时碗的数量最多为10个【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式和一元一次不等式的解法是解题的关键．1利用待定系数法解答即可；2根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集即可．【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)．将x=1,y=6和x=2,y=8.4分别代入y=kx+b，得k+b=62k+b=8.4解得k=2.4b=3.6∴与x之间的函数表达式为y=2.4x+3.6．（2）解：根据题意，得2.4x+3.6≤28.8，解得x≤10.5，∵x为非负整数，∴此时碗的数量最多为10个．28．某体育用品专卖店批发A、B两款跳绳，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价－进货价）类别价格A款跳绳B款跳绳进货价（元/根）1520销售价（元/根）2532(1)该商店第一次用625元购进A、B两种跳绳共35根，求A、B两种跳绳分别购进的根数；(2)第一次购进的A、B两款跳绳售完后，该体育用品专卖店计划再次批发这两款跳绳共100根（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于1865元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？【答案】(1)购进A款跳绳15根，B款跳绳20根(2)再次购进A款跳绳27根，购进B款跳绳73根，能获得最大销售利润，最大销售利润为1146元【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用．（1）设购进A款跳绳x根，B款跳绳y根，根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可；（2）设再次购进A款跳绳m根，则购进B款跳绳100−m根，销售利润为w元，先根据题意，列出不等式，求出m的取值范围，再根据总利润=A的利润+B的利润，得出w关于m的表达式，结合一次函数的增减性，即可解答．【详解】（1）解：设购进A款跳绳x根，B款跳绳y根．根据题意，得x+y=3515x+20y=625解得x=15y=20答：购进A款跳绳15根，B款跳绳20根．（2）解：设再次购进A款跳绳m根，则购进B款跳绳100−m根，销售利润为w元．根据题意，得15m+20100−m解得m≥27．根据题意，得w=25−15∵−2<0，∴w随m的增大而减小．∴当m=27时，w取最大值，且w=−2×27+1200=1146．此时100−m=100−27=73．∴再次购进A款跳绳27根，购进B款跳绳73根，能获得最大销售利润，最大销售利润为1146元．29．元旦前夕，某礼品超市要到批发市场采购A，B两种礼品共300件，已知A礼品的件数不少于B礼品的件数，采购总费用不超过4320元，两种礼品的批发价和零售价如下表．设该超市采购x件A礼品．品名批发价：元/件零售价：元/件A礼品1525B礼品1220(1)求该超市采购总费用y（单位；元）与x（单位；件）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)若该超市将这300件礼品全部以零售价售出，请运用你所学习的一次函数性质求出超市能获得的最大利润；(3)鉴于本次销售市场反馈良好，超市决定春节前再次采购相同数量礼品，受市场行情等因素影响，再次采购时，A礼品的批发价每件上涨了2mm>0元，同时B礼品批发价每件下降了m元．该超市决定不调整礼品的零售价，通过测算将所有礼品全部卖出获得的最低利润是2040元，求m【答案】(1)该超市的采购总费用y与x的函数关系式为y=3x+3600(2)商场能获得的最大利润为2880元(3)m=2【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、不等式组的经济问题【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，一次函数的应用；（1）该超市采购x件A礼品，则采购300−x件B礼品，根据总费用等于两种礼品的费用之和建立函数关系，再建立不等式组求解自变量的范围即可；（2）设总利润为W元，再利用总利润等于两种礼品的利润之和建立函数关系，再利用一次函数的性质可得答案；（3）设再次销售时总利润为T元，再利用总利润等于两种礼品的利润之和建立函数关系，再利用一次函数的性质分情况可得答案；【详解】（1）解：该超市采购x件A礼品，则采购300−x件B礼品，根据题意得：y=15x+12300−x由题意得：x≥300−x3x+3600≤4320解得：150≤x≤240，答：该超市的采购总费用y与x的函数关系式为：y=3x+3600150≤x≤240（2）解：设总利润为W元，根据题意得：W=25−15∵2>0，∴W随x的增大而增大，又150≤x≤240，∴当x=240时，W最大，最大值为2880，答：商场能获得的最大利润为2880元；（3）解：设再次销售时总利润为T元，根据题意得：T=①当2−3m>0即0<m<23时，T随又∵150≤x≤240，∴当x=150时，T有最小值为150×2−3m解得m=22②当2−3m<0即m>23时，T随又∵150≤x≤240，∴当x=240时，T有最小值为240×2−3m解得：m=2>2③当2−3m=0即m=23时，综上所述，m=2．八.一元一次不等式的整数解

30．若关于x，y的方程组3x+y=4x+2y=−3m+2的解满足x−3y>−7，则m的最小整数解为（

A．0 B．−1 C．−2 D．−3【答案】B【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的整数解、加减消元法【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．解方程组得x=6+3m5，y=2−9m5，由x−3y>−7得到6+3m5【详解】解：3x+y=4①①×2−②得：解得x=②×3−①得：解得y=∵x−3y>−7∴6+3m解得：m>−7∴m的最小整数解为−1，故选：B．31．若整数a使得关于x的方程2x−1+a=1的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组5y+62>yy−aA．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数、已知一元一次方程的解，求参数【分析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围．解出关于x的方程，根据解为非负数的条件，求出a的取值范围，解出关于y的一元一次不等式组，根据至少有3个整数解的条件，求出a的取值范围，找出所有符合条件的整数a的和．【详解】解：由2x−1+a=1，可得∵关于x的方程2x−1∴3−a2≥0解不等式组5y+62解得：−2<y≤a．∵一元一次不等式组5y+62∴a≥1．综上可得1≤a≤3．∴a可取的整数为：1,2,3．∴所有符合条件的整数a的和为1+2+3=6．故选∶D．32．解不等式组2x−1【答案】−1<x≤3，该不等式组的整数解为0，1，2，3．【知识点】求一元一次不等式组的整数解【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出整数解即可．【详解】解：2解不等式①，得x>−1，解不等式②，得：x≤3，∴不等式组的解集为：−1<x≤3，∴不等式组的整数解为0，1，2，3．

九.不等式的性质

33．若x>y，则下列各式正确的是（

）A．2−x>2−y B．x+1>y+1C．3x>2y D．x【答案】B【知识点】不等式的性质【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．【详解】解：A、因为x>y，所以−x<−y，所以2−x<2−y，故A不符合题意；B、因为x>y，所以x+1>y+1，故B符合题意；C、因为x>y，所以3x>3y，故C不符合题意；D、因为x>y>0，所以x2故选：B．

十.不等式的解集

34．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（

）A．x>8 B．8<x≤13 C．8≤x≤13 D．8≤x<13【答案】D【知识点】求不等式组的解集【分析】根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是弄明白图示的意思，列出不等式组．【详解】根据题意，得2x−3<23解不等式①得，x<13解不等式②得，x≥8∴不等式组的解集为：8≤x<13，则x的取值范围为8≤x<13．故选D．35．已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲，乙的面积分别为S1,S2S1>S2【答案】2026【知识点】多项式乘多项式与图形面积、求不等式组的解集【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，求不等式组的解集，根据长方形和正方形面积计算公式求出S1,S2，进而得到S1−S【详解】解：由题意得，S1=m+1∴S1∵S1∴m−3<n≤2025，∵满足条件S1−S∴2023≤m−3<2024，∴2026≤m<2027，∴m=2026，故答案为：2026．36．八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用A表示不大于A的最大整数，如：2=2，4.1=4，−3.99=−4(1)−3(2)若3+x=−5，求x【答案】(1)−2(2)−8≤x<−7【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确理解新定义和求出每一个不等式解集是解答此题的关键．（1）根据A表示不大于A的最大整数即可得；（2）根据新定义知−5≤3+x<−4，解之可得．【详解】（1）解：−3故答案为：−2；（2）解