九年级数学上册 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 单元综合复习与检测 湘教版

九年级数学上册第2章锐角的正弦、余弦、正切单元综合复习与检测湘教版一．选择题（共10小题，满分30分）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinB的值是（）A． B． C． D．2．cos60°的值等于（）A． B． C． D．3．若三个锐角α，β，γ满足sinα＝0.848，cosβ＝0.454，tanγ＝1.804，则α，β，γ的大小关系为（）A．β＜α＜γ B．α＜β＜γ C．α＜γ＜β D．β＜γ＜α4．如图，6个全等的小正方形放置在△ABC中，则tanA的值是（）A．2 B． C．3 D．5．人字梯为家庭常用工具．如图，若AB，AC的长都为2m，当α＝53°时，人字梯顶端A离地面BC的高度是（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）（）A．1.0m B．1.2m C．1.6m D．1.8m6．如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为α的斜坡练习滑雪，从点A滑行到点B．若AB＝300米，则小旺下降的高度为（）A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．米7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（）A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定9．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝21，AD＝8，sinB＝．则tan∠EDC的值为（）A． B． C． D．10．2025年4月24日，长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，成功将陈冬、陈中瑞、王杰3名航天员搭载的神舟二十号载人飞船送入太空，标志着中国空间站进入了稳定的常态化运营阶段．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，此时火箭距海平面的高度AL为（）A．a•sinθ千米 B．a•cosθ千米 C．a•tanθ千米 D．千米二．填空题（共8小题，满分24分）11．如图，在Rt△ABC中，，则BC＝_______．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是__________________．13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosB＝__________________．14．计算：＝__________________．15．如图，某汽车车门的底边长为a米，车门侧开后的最大角度为β，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是__________米（用含a和β的式子表示）．16．某河堤横断面如图所示，堤高BC＝12米，斜面坡度为是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，则AC长为_________________米（结果保留根号）．17．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，tan∠ABC＝，则BC边的长是_________．18．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离等于__________________米．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）计算：（1）cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°；（2）3tan30°+tan245°﹣2sin60°．20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AC＝3，求sinA的值．21．（8分）如图，AD是△ABC的中线，，，．（1）求BC；（2）求∠DAC．22．（10分）如图，在热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的垂直高度CD为90米，且点A、D、B在同一直线上．（1）求AC的长；（2）求建筑物A、B间的距离．（结果保留根号）23．（10分）“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶1200m高的山峰，由山底A处先步行600m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，，BC＝4．（1）求AC的长；（2）求tan∠BAD的值．25．（12分）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C，D在道路b上．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m．（1）求∠ACB的度数；（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）

参考答案一．选择题1．解：在Rt△ABC中，sinB＝＝，故选：D．2．解：．故选：D．3．解：利用计算器进行计算，即sinα＝0.848，则α≈58°；cosβ＝0.454，则β≈63°；tanγ＝1.804，则γ≈61°．故α＜γ＜β．故选：C．4．解：如图，∵6个全等的小正方形放置在△ABC中，∴∠EHF＝90°，HF＝2EH，∠HEF＝∠A，∴．故选：A．5．解：过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADC＝90°，∵AC＝2m，∠C＝α＝53°，∵，∴AD＝AC•sin53°≈2×0.8＝1.6（m）．∴人字梯顶端A离地面BC的高度是1.6m．故选：C．6．解：如图：由三角函数可知，，∴，∴AC＝300sinα米，∴小旺下降的高度为300sinα米，故选：A．7．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵AB＝13，BC＝12，∴AC＝＝＝5，∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，tanB＝＝，因此选项A、B、D是错误的，选项C是正确的，故选：C．8．解：∵把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形，∴∠A的大小不变，∴sinA的值不变，故选：C．9．解：在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴，∴，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣6＝15，∴，∴∠EDC＝∠C，∴．故选：B．10．解：AR＝a千米，∠ARL＝θ，∴AL＝AR•sin∠ARL＝asinθ千米．故选：A．二．填空题11．解：Rt△ABC中，∵，∴AB＝26，∴，故答案为：10．12．解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故答案为：．13．解：由勾股定理得，AB＝，∴．故答案为：．14．解：原式＝×﹣1＝﹣1＝．故答案为：．15．解：某汽车车门的底边长为a米，车门侧开后的最大角度为β，如图：过点N作NH⊥OM于点H，则NH为最大距离，由题意可得：在Rt△OHN中，ON＝a，∠NOH＝β，∴NH＝ON•sin∠NOH＝asinβ，故答案为：asinβ．16．解：∵斜面坡度为，BC＝12米，∴，即，∴米．故答案为：12．17．解：作AD⊥BC于点D，如图所示，当C在C1的位置时，∵AB＝15，AC＝13，tan∠ABC＝，设AD＝4x，则BD＝3x，∴（3x）2+（4x）2＝152，解得x＝3，∴AD＝12，BD＝9，∵AC1＝13，∴C1D＝＝＝5，∴BC1＝BD﹣C1D＝9﹣5＝4；当点C在C2位置时，同理可得，BD＝9，C2D＝5，∴BC2＝9+5＝14；由上可得，BC边的长是4或14，故答案为：4或14．18．解：小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，如图，过P作PC⊥AB于C，则PC就是灯塔P到环海路的距离，依题意，∠PAC＝90°﹣60°＝30°，∠PBC＝90°﹣30°＝60°，∴∠APB＝60°﹣30°＝30°，∴∠APB＝∠PAB＝30°，∴PB＝AB＝400m，∴，故答案为：．三．解答题19．解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝＝1．20．解：∵AC＝3，AB＝2，∠B＝90°，根据勾股定理，∴．21．解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E．∵，∴∠C＝45°．∵，∠C＝45°．∴AE＝CE＝2．∵，∴．∴BE＝3AE＝6．∴BC＝BE+CE＝6+2＝8．（2）如图，过点A作AE⊥BC于点E．由条件可知CD＝BD＝4，∴DE＝EC＝2，又∵AE⊥CD，∴AD＝AC，则∠ADC＝∠C＝45°，∴∠DAC＝90°．22．解：（1）∵EF∥AB，∴∠A＝∠ECA＝30°，∵CD⊥AB，CD＝90米，∴AC＝2CD＝180（米）；（2）在直角△ACD中，∠A＝30°，tanA＝，∴AD＝CD＝90（米）；同理，BD＝CD＝30（米），则AB＝AD+BD＝120（米）．23．解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，∵登顶1200m高的山峰，由山底A处先步行600m到达B处，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°，∴∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝1200m，AB＝600m，在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝600m，∴，∴DE＝DF﹣EF＝1200﹣300＝900（m）；答：登山缆车上升的高度DE为900m；（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝900m，∴，∴从山底A处到达山顶D处需要的时间，答：从山底A处到达山顶D处大约需要38.8min．24．解：（1）∵∠B＝90°，∴tanC＝＝，∵BC＝4，∴AB＝3，由勾股定理得到：AC＝＝5；（2）过D作DH⊥AC于H，∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，∵AD平分∠BAC，∴DH＝DB，∵△ADC的面积＝DC•AB＝AC•DH，∵DC＝BC﹣BD＝4﹣BD，∴3×（4﹣BD）＝5×BD，∴BD＝，∵AB＝3，∴tan∠BAD＝＝．25．解：（1）如图，由题意可得∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM．∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∴∠BCM＝∠CB