数列知识点所有性质总结

一、等差数列

1.等差数列的定义：（d为常数〉（）;

2.等差数列通项公式：

,首项：，公差:d,末项：

推广：.从而；

3.等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4.等差数列的前n项和公式：

C“（4+4”）〃（〃一1）.Jo,1八A2n

S„=---!...-=na.+-------d=—〃~+（4——d）n=An~+Bn

21222

（其中A.B是常数，所以当d#Q时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+l的等差数列的中间项

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

S2M+1=（2〃+1*+/川）=（2〃+1）%

5.等差数列的判定方法

（1）定义法：若或（常数）是等差数列.

（2）等差中项：数列是等差数列.

⑶数列｛%｝是等差数列=勺=&〃+〃（其中〃力是常数）。

（4）数列是等差数列，（其中A.B是常数）。

6.等差数列的证明方法

定义法：若或（常数）是等差数列.

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称

作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项an=67,+（n-1）d

②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）：

③偶数个数成等差，可设为…，，…（注意；公差为2）

8..等差数列的性质：

（1）当公差时，

等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差：

前〃和S”=〃弓+〃（丁）d=g〃2+（4是关于„的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时，则有，特别地，当时，则有.

注：4+%=。2+，*=%+4-2=…，

（4）若、为等差数列，则都为等差数列

（5）若｛｝是等差数列，则，…也成等差数列

（6）数列｛〃/为等差数列，每隔k（ka汽'）项取出一项（〃,“,册*〃,“+2代，金川，•一）仍为等差数列

（7）设数列是等差数列，d为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和，是前n项的和

1.当项数为偶数时，

5奇=4+%+%+・一+〃2,1

c〃（出+4,“）

S偶=%+“4+■1ha==〃4”+1

2n3乙

S偶—S奇=na,^-nan=—a”）

2.当项数为奇数时，则

$2”+1=S奇+S偶=（2〃+1）〃同S奇=（〃+1）%”S奇/t+1

'=>=>---=----

S奇-S偶=4+1S偶=”4*iS偶n

（其中是项数为2n+l的等差数列的中间项）.

（8）、的前和分别为、，且

则A器泊怒…

（9）等差数列的前n项和，前11项和，则前m+n项和

（⑹求S“的最值

法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特

殊性。

法二：（1〉“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和

即当由可得达到最大值时的值.

（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。

即当山可得达到最小值时的值.或求中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取值二

次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量.

二、等比数列

1.等比数列的定义:比。称为公比

2.通项公式：

0,首项:田：公比:国

推广:团从而得回或团

3.等比中项

（1）如果闭成等比数列，那么削L做团与团的等差中项.即:团或团

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个1两个等比中项互为相反数）

（2）数列｛/｝是等比数列O&2=q-.%用

4.等比数列的前n项和田公式：

(1)当B时，□

(2)当团时,团

=_^1--------^-qn=A-AB"=A,B,,-A,(A伐A',B'为常数)

、-ql-q

5.等比数列的判定方法

(1)用定义：对任意的n,都有回豳为等比数列

(2)等比中项:13(030)皿为等比数列

(3)通项公式:团瓯为等比数列

(4)前n项和公式:同加为等比数列

6.等比数列的证明方法

依据定义：若13或国3为等比数列

7.注意

(D等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、

称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

(2)为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；

如昔数个数成等差，可设为…，…(公比为，中间项用表示)；

8.等比数列的性质

(1)当4于1时

①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底为公比

②前n项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比

(2)对任何m,nGM,在等比数列｛如中，有劣=特别的，当m=l时,便得到等比数列的通项公式.因

此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

2

⑶若m+n=s+t(m,n,s,teN*)，则anam=q•q.特别的，当n+m=2k时，得-atn=ak

注：=«2-^-1=^-2•••

(4)列伍』的｝为等比数列，则数列也｝,伙•凡｝,｛《:｝,伙"•”,｝｛%｝化为非零常数)均为等比数列.

(5)数列｛%｝为等比数列，每隔k(ke项取出一为4皿，…)仍为等比数列

⑹如果｛〃“｝是各项均为正数的等比数列,则数列｛log”%｝是等差数列

⑺若12为等比数列,则数列团,团,团，成等比数列

aa

(8)若｛〃“｝为等比数列,则数列4……„>。”+1a+2。2”，的”+l-2n+2....%”成等比数列

(9)①当团时，②当国时，

">(),则&｝为递增数列一1>0,则｛4｝为递减数列

lq<o,则｛%｝为递减数列，则｛%｝为递增数列

③当q=l时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列)；

④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列目中.当项数为2.(喧助时闻.

(11)qS“+・

若■/是公比为的等比数列，则Siq”Sm

例1.(1)设回是等差数列，且同求图及S15值。

(2)等比数列团中,团,团，前n项和Sn=126,求n和公比q。

(3)等比数列中，q=2,S99=77,求a3+a6+…+a99；

(4)项数为奇数的等差数列团奇数项之和为80,偶数项之利为75,求此数列的中间项与项数。

解：(1)由已知可得比所以团=2同S15=E1

时，所以团或团

又r=忙也=126，所以[夕=2或卜

"qM=6[〃=6

・・。+—+佝~+。

(3).599=(4+47)+(%+4+~+%)+«3+%+99)

=I~~+F1(4+4+,,•+,如)64+。6+,•'+。99=44

\qq)

评注：分解重组，引导发现(龄、(0)与(0)的关系，从而使问题获得简单的解法。

(q+。见)〃

⑷设等差数列共2n-l项，则互=------2__=/_=色=〃=]6

S偶(出+—~2)(〃一1n-\75

A2M

所以此数列共31项.中间项=5^-5^=80-75=5

评注：(1)在项数为项的等差数列中，；

(2)在项数为四项的等差数列田中以

变式：(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后三项的和为146,且所有•项的和为国则这个

数列项；

(2)已知数列13是等比数列，且回团团，则

回9.

(3)等差数列前团项和是团，前瓜项和是瓦则它的前团项和是210.

(4)等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项之和之比为(3n+l):(2n+3),求.团。(=0)

例2、设等差数列的前n项之和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0,

(1)求公差d的取值范围。

(2)指出S1,S2,S3,…Sn中哪一个值最大，并说明理由。

解：(1)0,0,即团

由团,代入得:必

(2)解一：由团,田可知间所以S6最大。

解二:比由回可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S6最大。

解三：0,由团得13。

又抛物线开口向下，所以S6最大。

评注：求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点，用配方法求解借

助等差数列的性质判断,通过“转折项”求解;借助二次函数图象求解。(经过原点)

变式:(1)已知等差数列｛an｝中，团问S1,S2,S3,…Sn中哪一个值最大。

(2)数列团是首项为国公比为团的等比数列，数列团满足

a=-(iga1+lga,+…+lg/)(&eN*),

k'

①求数列团的前团项和的最大值；②求数列团的前12项和团.

略解:(1)由题得瓦・•・一・•司是首项为3,公差为何的AP。

由回，得瓦・•.数列邮勺前回项和的最大值为⑦

（2）由（1）当团时，团，当EI时,团,

••・当时，

当团时,E0

--n2+—n(n<7)

44

S：=•

111

-n2--n+2\(〃>7)

44

例3.（1）由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项

与第4项之和为第2项与第4项之枳的11倍，求数列的通项公式.

解：当时，得不成立，J,・•・

由①得，代人②得一••・

说明：用等比数列前田项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1.

（2）若数列团成等差数列，且团求0.

解：（法一）基本量法（略）：

（法二）设一则圆

团得：团回，，团

2

:.Sn+tn-(n+m)A+(〃+m)B=-(n+m).

评注：法二抓住「等差数列前n项和的特征回。

变式：设｛an｝为等差数列,Sn为｛an｝的前n项和，已知S7=7,S15=75Jn为数列翎｝的前n项和，求

Tn©

解：法一：（基本量法）设｛an｝首项为al,公差为d,则团

・♦.此式为n的一次函数，.•・｛｝为等差数列，I.o

法二：｛an｝为等差数列，设Sn=An2+Bn,J

解之得：J,下略。

例4.已知等差数列，

（1）在区间上，该数列有多少项？并求它们的和：

（2）在区间上，该数列有多少项能被整除？并求它们的和.

解：%=110+6（〃-1）=6〃+104,

（1）由，得，乂，

・•・该数列在上有项，其和.

（2）:，・•.要使能被整除，只要能被整除，即，

比.•.团.•.比.•.右巨向⑦上品.前刑中救回整院的女6布团须印第回须，属彳。囿

等堤、等就故列傕展段应用氮习参考题

一、选择题

1.在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）

A.34B.35C.36D.37

2.｛an｝是等差数列，且al+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9的值是（）

A.24B.27C.30D.33

3.设函数/*）满足危+1）=2"71〃£N'）且网）=2,则/20）为（）

A.95B.97C.I05D.I92

4.若13是等差数列，首项13,则使前n项和

成立的最大自然数n是：（）

A.4005B.4006C.4007D.4008

5.等差数列｛an｝中，已知al=-6,an=0,公差d£N*,则n(n23)的最大值为()

A.5B.6C.7D.8

6.设命题甲:Z^ABC的•个内角为60o,命题乙:ZXABC的三个内光的度数成等差数列.那么…

(A)甲是乙的充分不必要条件(B)甲是乙的必耍不充分条件

(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7.已知等差数列｛an｝的公差为正数，且23・27=—12抱4+26=-4,则520为()

A.180B.-I80C.90D.—90

8.现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的

根数为..)

A.9B.10C.19D.29

9.由公差为d的等差数列al.a2.a3…重新组成的数列al+a4,a2+a5,a3+a6…是()

A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列

C.公差为3d的等差数列D.非等差数列

10.在等差数列｛an｝]」，若59=18.511=240泡11-4=30,贝1」11的值为()

A.14B.15C.16D.17

二、填空题

11.在数列｛an｝中,al=l,an+l=(nWN*),则是这个数列的第项.

12.在等差数列｛an｝中,已知Sl00=10,si0=100,则SI10=.

13.在一9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为一21的等差数列，则n=.

14.等差数列｛儿｝的前〃项和分别为S”、7；,若&=3-,则&•=_______.

Tn3〃+1b]]

15.已知等差数列｛.n｝的公差dWO,且al,a3,a9成等比数列,则的值.

16.若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地：若是等比数列，旦

则｛｝是等比数列，其中........

17.设m€N+,log2m的整数部分用F(m)表示，则F(l)+F(2)+…+F(1024)的值..

三、解答题(本大题共5小题.共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.若等差数列5,8,11,…与3,7,11,…均有100项,问它们有多少相同的项？

19.在等差数列｛an｝中，若al=25且S9=S17,求数列前多少项和最大.

20.已知f(x+l尸x2-4,等差数列｛an｝中,al=f(x-l).a2=-,a3=f(x).

⑴求X值：(2)求。2+的5+…+。26的值.

21.已知数列｛an)的前n项和为Sn,且满足an+2Sn-Sn-l=0(n注2),al=.

(1)求证：｛｝是等差数列：(2)求an表达式；

⑶若bn=2(l—n)an(n22),求证：b22+b32+---+bn2<l.

13.14等天、等说数列性琥度应用氮习题4第谷碟

一、选择题：

l.C2.D3.B4.C5.C6.C7、A8、B9、B10、B

二、填空题：

11.612,-11013.514.15.16.17、8204

三、解答题：

18.设这两个数列分别为｛an｝、｛bn｝,则an=3n+2,bn=4n—1,令ak=bm,贝!I3k+2=4m—1.

3k=3(m—1)+m,m被3整除.设m=3p(p£N*),则k=4p—1.

Vk.[1,100]..则lW3pWl(X)且lWpW25..・••它们共有25个相同的项.

19.VS9=S17,a1=25,.*.9X25+d=17X25+d,解得d=-2,

.•・工=25〃+幽二2(—2)=一(〃-13)2+169.由二次函数性质知前13项和最大.

2

20.、(1)Vy(x_1)=(x—1—I)2—4=(x—2)2—4

f(x)=(x-1)2-4,AaI=(x-2)2-4,a3=(x-1)2-4,乂al+a3=2a2,解得x=0或x=3.

(2)Val.a2.a3分别为0、一、一3或一3.一、O.\an=—(n—1)或an=(n—3)

①当an=—(n—1)时，a24a5+…+a26=(a2+a26)=

②当an=(n—3)时,a2+a5+…+a26=(a2+a26)=.

21.(1)V—an=2SnSn_1..*.—Sn+Sn—l=2SnSn_l(n>2),又SnWO.

••・-=2,又==2,.\｛｝是以2为首项，公差为2的等差数列.

(2)由(1)=2+(n—1)2=2n,Sn=,当n22时，an=Sn—Sn—1=一

n=l时,al=Sl=,.\an-

(3)由(2)知hn=2(1—«)«/•=—.,.加2+/%2+…+〃“2=_L+_L_+...+—L-<—?—+―?—+...H-------------

n2~3,n~1x22x3

223〃一1〃n

三、等差数列与等比数列性质的比较

等差数列性质等比数列性质

1.定义an+ran=d(n^l)；an-an.,=d(n2)^-=q(n^l),-^=q(n>2)

anan-l

a=q+(〃-l)d/i-1

2、通项nci,=acq

公式n-rn

a=a*+(n-而d(n,mGN")

na,=a>nq

(a+a“)〃

q=l,Sn=na);

3.前n项和S”=2

n1-q1-q

S“=〃Qi+2d

a、A.b成等差数列SAT；a、A.b成等比数列西

田是其前k项回与后k项团的等差中项，即：E=S（不等价于瓦只能⑶）；

团是其前k项团与后k项团的等差中项，即:0=团13是其前k项团与后k项团的等比中项，

4.中项

即：E

an是其前k项an.k与后k项徐+卜的等差中项，

团是其前k项目与后k项团的等比中项，

ak+a,1+k即:团

即:an=n

2

an是其前k项a2与后k项的

等比中项，即：

若m+n=p+q,则圆+=出+%

a)若m+n=p+q,则*=ClP'Uq特别地，若

5.下标和公式

特别地,若m+n=2p,则a“+a“=2apm+n=2p,则以•〃“=〃：

等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾等比数列的第k项与倒数第k项的积等于

6.首尾项性质

两项的和，即：团首尾两项的积，即：闭

｛[”｝为等差数列，若m,n,p成等差数列,则（为等比数列,若m,n,p成等差数列，则

成等差数列〃成等比数列

（两个等差数列的和仍是等差数列）（两个等比数列的积仍是等比数列）

等差数列值｝,值｝的公差分别为例,则数列｛团｝仍等比数列｛町,但｝的公比分别为胤则数列

为等差数列，公差为历｛勖仍为等比数列，公差为0

等差数歹也｝,｛的公差分别为d,e,则数等比数列｛4｝,｛4｝的公比分别为p,q，

列｛。“+〃1仍为等差数列，公差为d+e则数列｛QjbJ仍为等比数列，公差为

pq

取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新取出等比数列的所有"奇（偶）数项，组成的新数

数列仍为等差数列，且公差为⑦列仍为等比数列，且公比为13

7、结论

无此性质；

若a,n=n,an=m(m}n),则ain+n=0

若S=n,S=m(m*n),则S=-(m+n)

mnm+n无此性质；

无此性质；

若8〃=5,（”工〃），则—°

回成等差数列，回成等差数列，公比为田

公差为〃/d

当项数为偶数历时，同当项数为偶数回时,0

当项数为奇数回时，

-S--R—_--C-l-n-

s偶5奇=。|+95照

当项数为奇数回时，团

0,0

5=(2〃"，：=小

①定义法：

②等差中项概念；4,。"+2工0)

①定义法：③函数法：(均为不为0的常数，

),则数列是等比数列.

②等差中项概念：2%=*+当+](n22)

④数列｛an｝的前n项和形如

③函数法：关于n的一次函数数列是

8、等差(等比)首项为D+Q,公差为D的等差数列：队团均为不等于0的常数且qWl),则数列

数列的判断方④数列□的前n项和形如口(a,b为常数)，B是公比不为1的等比数列.

法那么数列□是等差数列，13佃均为不等于0的常数且q#l),则数列

④数列｛a0｝的前n项和形如§=加2+加13是公比不为1的等比数列.

S“=Aqn-A(A,q均为不等于0的常

(a,b为常数)，那么数列(a/是等差数列，

数且qWl),则数列｛q｝是公比不为1的

等比数列.

9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列

四、数列的通项公式的求法

求数列通项的相关知识

1.两个基本公式

(1)等差数列的通项公式：。

(2)等比数列的通项公式：。

2.三个基本方法

(1)法：。

(2)叠加法：。

<3>累乘法:团。

求数列通项的应用举例

该题型主要的出现形式为给出数列的一些递推关系式，求证数列为特殊数列，并求通项。因此要熟悉

各种递推关系式，了解各种递推关系式所对应的数列类型。

求数列通项的方法很多，如：观察法、定义法、公式法、法、叠加法、累乘法、构造法、递推法、

待定系数法等。下面就几种常见的类型举例：

1.0法(利用关系吐最后要注意可化简的要化简)

例1.已知下列两数列团的前n项和sn的公式，求回的通项公式。

22

(1)Sn=n+no(2)\=/?+;?+1

解：(1)当n=l时,回；

当n>l时,团=军团，验证n=l时，此式也成立。

••an=2〃o

(2)当n=l时，目；

当n>l时,0=0=0,

.[05=1）

.•a„=J。

"[2n（H>1）

点评：要先分n=l和另两种情况分别进行运算，然后验证能否统一.

例2.已知数列的前项和，求证是等比数列.

证明：当时，，所以

当时，

・•・,/.（与无关的常数）

又当时，也满足，所以是等比数列。

练习：

1.已知下列两数列出的前n项和$n的公式，求山的通项公式。

2

（1）S“="+4〃。（2）S）t=w+1

答案：（1）□；（2）a

2.已知数列团的苜项团其前团项和助求队

解：:国二团,

・•・，•二,即，

,/，由此推出，0

2.叠加法

例1.（团型数列）

已知瓦求团。

解：V0,.*.0,0,…，团

将上面各式叠加，得但，

得13,当n=l时,此时也成立，所以得

总结：一般地，对于型如必类的通项公式，只要团能进行求和，则宜采用此方法求解。

练习：若在数列13中,团,团，求通项册

答案：a=3+—（z）-l）2n2--（w-l）w（?7?-1）

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3.累乘法

例1.（团型数列）

已知团求回。

解：;同，0，••.瓦

••

••,••O

总结：一般地，对于型如加固n）•田类的通项公式，当团的值可以求得时，宜采用此方法。

练习：在数列｛对中曾=1,（n+1）-0=n-0,求E3的表达式。

解：Et]（n+1）•@=n•团得团0=6）•@•0-0=0月斤以目。

4.构造法（构造等差或等比数列求通项公式）

例L（型数列）

已知数列满足，，求。

解：符等式两边同时除以得：O

即，对，都有。

所以数列是以为首项，为公差的等差数列。

□=0,0O

总结：由递推关系式都可转化为等差数列。

例2.（型数列）

已知数列的首项，，求。

解：，即，

又；,A,•,・，

・••是等比数列，首项为，公比为2。

••>••0

总结：一般地，己知，可把化成的形式，其中由待定系数法求得。

例3.（团型数列）

若数列团满足团且团求队

解：•・力，・・局两边取对数,得0,

・•・是以为首项，以2为公比的等比数列，

••,••O

结论：形如（其中p,r为常数）型，（1）若p>0,,用对数法.

（2）若p<0,用迭代法。

例4.（团型数列）

在数列团中团，且0,求团。

解法一：・.・团，

设回，待定系数法得比或电

,或

••・，……①，……②

联立①②，得。

解法二：;团，，团，，回为等比数列。

1K2

：•-q=（%-4）•3"=3''。••a2—q=3°,%-a2=3,•••,«„-anA=3»

以上各式相加得，：.。

结论：形如（其中P,q为常数）型，（1）当p+q=l时，用转化法；（2）当时，用待定系数法。

练习：

1.若数列团满足团，且团，求M

解：由踹瓦••闻

.••数列是公差为1的等差数列，首项为，

2.若数列团满足闭，且团，求团。

解：

・••数列是等比数列，公比为2,首项为

5.待定系数法

例.设数列团的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若cl=2,c2=4,c3=7,c4=12,求通项

公式cn

解：设g=〃+

a+b=2q=2

a+d+bq=4

a+2d+bq2=7bI=\=n"3

a+3d+bq'=12a=1

五、数列求和的方法和技巧

数列在高考中的要求：

1.等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它

们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数

列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。

2.数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。立弄清通项公式的意义一一项数◎的

函数：理解通项公式的作用--可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。

3.数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾

函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重直加、直乘、迭代等解题技巧的训练。

数列求和是高中数学的一个重点，也是高考的热点，纵观我市近几年的高考的最后一题，都是数列与函数、不

等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性通、

解法灵活等特征成为高考的压轴题。

1.公式法：

利用以下公式求数列的和

1.Sn=幽/2=na1+"（丁（｛/｝为等差数列）

a

2.Sn=4'W）=「%q①/1）或=叫（q=\）（｛an｝为等比数列）

\-q\-q

3.r+”+32+……..=〃（〃+1）（2〃+】）

6

13+23+33+....+〃3=产〃+1）］2等公式

2

例如:已知数列同团，求前团项和团

解：S/?=（l2-l）+（22-2）+（32-3）+……+（/一〃）

=(1+22+32+....+/)-(1+2+3+....+〃)

+1)(2〃+1)n(n+1)

=(6-----------丁

_(〃一1)〃(〃+1)

亍

2•分组求和法

对于数列段若团且数列团、0……都能求出其前团项的和，则在求团前闭项和时，可采用该法

例如：求和:团

解:设ia

Sn=q+a2++a4+...+alt

=(1-10-')+(1-IO-2)+(1-IO-3)+(1-IO-4)+……+(l-l()-n)

=Q+1+二一5)-(10'+10_2+10-34-10-4+……4-1(T)

“个1相加

=/2_l(l_10-)

3,倒序相加法(或倒序相乘法)

(1).倒序相加法

在教材上推导等差数列回前回项和目的公式：©就使用的是该法

例如:求和团

解:0……①

又5=sin289°+sin288°+sin287°+……+sin2l0

=cos2r+cos220+COS23°+……+COS289"

即S=cos2r+cos220+COS23°+……4-cos289....②

由①+②得2S=(sin2r+cos2l°)+(sin22c+cos22°)+……+(sin289°+cos289°=89

,S二丝

2

(2).倒序相乘法

例如：已知团、回为两个不相等的正数，在团、团之间插入0个正数，使它们构成以团为首项，团为末项的等

比数列，求插入的这用个正数的积2

解：设插入的回个正数为回、回、原……回且数列团、田、乐团、……团、国成等比数列

贝ljab=%-=a2•«„_)=...

pn=ax.々2q..../....①

乂〃“二〃”•q-q-2...q....②

n

由①X②得p：=(，竹”)(生《1)...(4/1)=(•)"...〃”=[ab)2

4.错位相减法

对于数列，若且数列、分别是等差数列、等比数列时，求该数列前项和时，可用该方法

例如：己知数列瓦勒求数列的加顶却回

解:团

在上式两边同乘以(或除以)等比数列12的公比3,得

3S/?=1X324-3X33+5X34+……+[2(〃-1)-1]3"+(2〃-1)3向

由①〜②(两等式的右边错位相减)

25«=lx3'+(3x32-lx32)+(5x33-3x33)+.--+{(2n-1)3"-[2(/7-l)-l]3n}-(2n-1)3w+,

=1X3,+2X32+2X33+...+2X3,,-(2??-1)3H+,=lx3'+2(32+33+---+3n)-(272-l)3d+,

=3+(3rt+,-9)-(2n-1)-3n+,=(2-2〃)3"“-6

/.5〃=5-1)-3""+3

5.裂项相消法

常见的裂项方法有：

11_lJ1、

1.------=­(--------)

n[n+k)knn+k

No.-------1-----=——(----------1--)、

(2〃-1)(2〃+1)22/?-l2〃+l

o1：11.

o.--------------=—[-------------------J

〃5+lX〃+2)2〃(〃+l)(〃+I)(〃+2)

4.]---1——f==—(yjn+k-\[n)

\/n+k+\/nk

例如：己知数列：，求数列前项和

解:团

Sn=一(V3—VT)H—(\/4—V2)+—(V5—>/3)+…H—(J/?+2—Vw)

2222

」[(