重难点3-2 导数与不等式综合5大题型（练习）-高考数学二轮复习专练（新高考专用）（解析版）

重难点3-2导数与不等式综合5大题型

命题趋势

函数与导数一直是高考中的热点与难点利用导数研究不等式问题在近几年高考中出现的频

率较高。求解此类问题关键是要找到与待证不等式紧密联系的函数，然后利用导数工具来研

究函数的单调性、极值、最值（值域），从而达到目的。考查难度较大。

一、不等式证明的常用思路

1、移项构造函数法：证明不等式〃x）〉ga）（或〃x）〈g（x））转化为证明/3-雇工）〉0

（或/（x）—g（%）＜0），进而构造辅助函数Mx"4"）一g（“）；

2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题.

在证明过程中，等价转化是关键,此处＞#（X）a恒成立.从而於）〉四），

但此处f（X）与g（X）取到最值的条件不是同一个“X的值”.

3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

4、构造"形似''函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数

5、双变量不等式的处理策略：

含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，

具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.

二、不等式成立问题常用的转化规则

I、单变量不等式成立问题：一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立

（1）VASD,他4/（"。“〈/（力加

(2)Vxe£>,/??>/(A)<=>/??>/(x)nm

(3)3XGD//n</(A)<=>/n</(x)nm

(4)BXED,m>f{x)<^m>f[x}n.n

2、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数,)，二人”,工£仁力

(1)若％4四,M三仁青，总有〃％)<&(毛)成立，故「(同皿dLn；

(2)若片6[a同，叫c[c/],有/(xj<g(w)成立，故/(x)a<g(w)a；

(3)若去14a，句,切4cM，有〃xj<g(w)成立.，故/(初血〈&(电)2；

(4)若片4网切4间,有"%)=g(%),则”x)的值域是g(“值域的子集.

三、极值点偏移问题

|、极值点偏移问题的一般题设形式：

(।)若函数fM存在两个零点X,,x2且1wW,求证：内+%>2%(4为函数f(x)的

极值点)；

(2)若函数/(X)中存在为,々且玉工々满足/*1)=/(尤2)，求证：再+W>2%(x0

为函数/(x)的极值点)；

(3)若函数/。)存在两,个零点的且工户々，令厮二七上，求证：/'(/)>°；

(4)若函数/(%)中存在对七且项工超满足/(不)=〃当)，令与=当工，求证：

/'(%)>0.

2、运用判定定理判定极值点偏移的方法

(1)方法概述：

①求出函数/(幻的极值点.%；

②构造一元差函数/。)=/(/十M一/(-Vo-刈.

③确定函数b(x)的单调性；

④结合F(0)=0,判断F(x)的符号，从而确定f(x()+x)、f(x0-x)的大小关系.

口诀：极值偏离对称轴，，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

(2)抽化模型

答题模板：若已知函数/(*)满足/(为)=/(々)，/为函数/(x)的极值点，求证：

①讨论函数fM的单调性并求出/*)的极值点方;

假设此处/。)在(F，X°)上单调递减，在*0，收))上单调递增.

②构造/(X)=于(X。+X)——X)；

注：此处根据题意需要还可以构造成尸。)=/*)-/(2%-X)的形式.

③通过求导F'(X)讨论F(x)的单调性，判断出尸。)在某段区间上的正负，并得出

f5+幻与/(%一幻的大小关系；

假设此处尸(X)在(0，+8)上单调递增，那么我们便可得出

F(x)>F(x0)=f(x0)-/(x0)=0,从而得到：x>天时，f(/+工)>/(%-X).

④不妨设X<x0<x2，通过的单调性，f(xt)=f(x2),/(%+x)与f(x0-x)的大

小关系得出结论；

接上述情况，由于寸，/(%+幻>/(/一X)且七,/(x,)=/(x2)，故

f(xx)=f(x2)=f[x()+(x2-x0)1>f[x()-(x2-x0)]=/(2x0-x2),又因为石V.4,

2%一々<X。且/(幻在(F，而)上单调递减从而得到芭<2%-/从而与+£<2%得

证.

⑤若要证明「(巧二)<0,还需进一步讨论与生与今的大小，得出甘为所在的单

调区间,从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.

此处只需继续证明：因为玉+工2<2%,故与旦<M，由于/*)在(TO,%)上单调递

减，故/'(七当<0.

四、证明与数列有关的不等式

1、证明此类问题时长根据已知的函数不等式，用关于正整数〃的不等式替代函数不等式中

的自变量。通过多次求和达到证明的目的。此类问题一般至少两问，已知的不等式常由第一

问根据待证式的特征而得来。

2、已知函数式为指数不等式(或对数不等式),而待证不等式为与对数有关的不等式(或与

【变式1-11(2023.安徽宿州.统考一模)已知函数/(幻=2e“+23-/(e为自然对数的

底数)，若-3在yo)上恒成立，则实数。的取值范围是_____.

【答案】［ln3-3,^5］

【解析】由”23=2eT+2aT+32(),令

g(x)=2ev-x2+2ax-a2+3=>=2(el-x+a),

令〃(x)=2(e、7+a)=/(x)=2(e'7)>0,则人(x)在(0,+8)上单调递增，

/?(0)=2(1+«).

(1)当时，g'(x)20恒成立，即函数g(x)在(0，+。)上单调递增，

则有g(0)=5-"20，解得4£1一1,石］;

(2)当。<—1时，则存在%>。使彳导〃(毛)=。,

则一(0,为)时,一(力=心)<0,g(x)在(。，王)上单调递减；

X£(天,”)时，g,X)=Mx)>(),g。)在小,a)上单调递增.

•••g")min=g(/)=2e”-(%-〃『+3之0,又

/心%)=2(e"-/+a)=0=e%=7)-a,

g(AM=2e%-(e"丫+3N0n题e(。，皿3］.

K

Va=x0-e°,令M(x)=x-e*,xs(0,ln3］,则M'(x)=l-e'<0,

・・・M(x)在(0,ln3］上单调递减.

贝！］M(幻2M(hi3)=ln3-3,M(x)<M(0)=-l，故a?［In33,-1).

综上，〃电n3-3,班］.

故答案为：［ln3-3,右］

【变式1-2)(2023秋天津高三统考期末般函数=*(幻=1-云，a"R,

已知曲线>=fM在点(I,/⑴)处的切线与直线x-y+1=。垂直.

(1)求。的值;

(2)求以幻的单调区间；

(3)若句,(用+力.1工飞(幻对黄：6((),y)成立，求〃的取值范围.

【答案】(1)2;(2)答案见解析；(3)[0,e]

【解析】(1)/(x)的定义域为(0,+。)，

v/(x)=lnx-|ar2==

ZA

由于直线x-y+l=O的斜率为1,•'Jx(l-a)=-l,/.a=2.

(2)g(x)=e-bx,g\x)=ex-b,

①当人40时，g《)=ej>0,g(x)在R上单调递增;

②当人>0时，令g'(x)=0有x=ln》,

当xe(v,lnb)时,g'(x)<0,g(x)单调递减，

当x《lnb,E)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.

综上所述"40,屋”的单调递增区间为R,

人〉。，且(司的单调减区间为工«—，1也)，g(“的单调增区间为(11访，”).

(3)由"(力+历WxgW恒成立，等价于xe—(x+lnxR0,

^-h(x)=xQx-b(x+\nx)(x>0),///(x)=i>+l)eA-Z?(l+—)=(x+l)(eA--),

①若〃=0时，"(x)=(x+l)e'>。，所以皿幻在(o,~)上单调递增，

〃(0)=0,gph[x}>0,；茜足一力(x+lnx)20,

②若力<0时，贝！]。'(幻>。，所以在(。，~)上单调递增，

当尤趋近于0时，力(另趋近于y,不成立，

故人<0不满足题意.

x

③若“0时，令〃(x)=0,：.b=xe,3x0e(0,+oo),〃(飞)=0

xe(O,y),〃(x)vO,力。)单调递减，x€(x0,+ooX^(x)>0，力(幻单调递增，

只需心)min=/k)=x0e%-+In%)=再eq(I一X。一In.)N0即可,

二.1一%一In%20,「./+In/W1,

令〃2(x)=x+lnx(x>0),/n(x)=i+->0,，〃7(外在(。,+8)上单调递增，

，〃⑴=】，.■.天)£(0,1]时，x0+lnx0<l,

y=xex,y=(x+l)e'>0，所以)，=xe，在(0,1]上单调递增,

Ae'e(0,e]，即。=不夕"e(0,e],

综上：/2t[0,e].

【变式1-3](2023•湖南•模拟预测)已知函数/(工)=产-皿矿口亦。).

(।)讨论函数的单调性；

2

(2)证明：当XN()时,COSX+^y-l>0；

(3)若xN。,/(x)>sinx-cosx+2-av,求实数。的取值范围.

【笞案】(1)解析见解析；(2)证明见解析；(3)[,内).

【解析】(1)fM=^-ax,则r“)=1­，=。(4-1),

当。>0时，令r(x)<0=、<。，令/"(x)>0=x>0,

所以函数在(y，o)上单调递减，在(。，叱)上单调递增；

当。<0时，令,f'(x)<0=x<。，令/'(x)>0=x>0,

所以函数在(F，0)上单调递减，在(0.+8)上单调递增.

综上，函数/*)的单调减区间为(―,。)，单调增区间为(。、+8);

2

(2)令g(x)=cosx+'_l,J}[]g，(K)=-sinx+x,

设G(x)=-sinx+x,贝(]6'。)=-8$4+120,

所以函数G(x)单调递增，有/(x)=G(x”G(0)=0,

所以函数双外在。+8)上单调递增，有g(x)?g(0)=0,

2

所以当xNO时，cosx++■-1>(),即证；

(3)/(x)>sinx-cosx+2-ar,BPertr-av>sinx-cosx+2-ar,

即e"*Nsinx—cosx+2,=ear-sinA+COSX-2,

贝!〃'(x)=ae复-cosx-sinx,

若文20,当时，ear>er,//(A)>e'-cosx-sinx,

令〃(x)=x-sinx,贝5]〃'(％)=1-cosxZO,

则函数〃(x)单调递增，且函x)N〃(0)=0,即xNsinx;

令v(.r)=e'-x-1，贝！]/(x)=e'—1,

令v'(x)vOnxvO,令u'(x)>0=x>0,

所以函数贝・。在(YO,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

则v(x)Nv(0)=0,即elx+1,

PJfUZe*>x-f-l>sinx+l，贝IJ/?'(x)Ne'一cosx-sinxN1—cosxN。,

所以函数〃⑴在【。，”)上单调递增，且版*注〃(。)=0,

即eu,>sinA-cosx+2恒成立.

当&<1时，〃(0)=a-1v0,

存在实数%>。，使得Vxe(0,/)均有“⑴<。,

则函数加x)在(。，与)上单调递减，且尔尤)<皿0)=(),不符合题意,

所以当av1时，不符合题意.

综上，”的取值范围为[1，叱).

【变式1-4](2023•内蒙古模拟预测)已知函数/(H=e'-"+e2—7.

(1)当。=2时，求曲线y=/(x)在x=2处的切线方程；

7

(2)若对任意的工之。，/•⑴恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)y=(e2-2)x-7;(2)(^,e2-7^

【解析】(1)当。=2时，〃x)=e、—2x+e2—7，所以7(x)=e=2,

所以〃2)=2eJll,/'(2)=eJ2,

所以所求切线方程为)=(2©2-11)=卜2-2)&-2),即)，=仁-2卜-7.

7

(2)对任意的K"),八幻士丁/恒成立,

7

等价于对任意的1之0,e'—ar+e?—??7/恒成立.

①当x=0时，e2—6NO显然成立.

②当x＞（）时，不等式e'“+e，-7”9挈介于4〃.4e'-7丁+4e?—28

4X

x2222

、△/\4e-7x+4e-28KCPI,,、4（x-l）e,-7x-4e+28

设g（力二-------;---------,所以/（同=」——』-----------------•

XX

tg/z（x）=4（x-l）er-7x2-4e2+28,贝心«"=4胧,-l4x=2x（2e'-7）.

当xw（0/n?时，"’（力＜0，当时，”（力＞0,

所以小）在（。，1限上单调递减，在（吟*0）上单调递增.

因为川0）=4（6-0＜0,所以小n斗。，

又因为在力（力=4（4-1）廿一7/-462+28=0中，〃（2）=0,

所以当xe（O,2）时，g'（x）＜0,当x«2*）时，g'（x）＞。，

所以g（x）在（。,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增，

所以g（x：Ln=g（2）=生2-28,

所以a«e、7,即"的取值范围为（Fe2-71

【变式1-5】（2023.安徽宿州.统考一模）已知函数/（幻=犬+a（x-m.D（e为自然过数

X

的底数），"，〃eR.

（1）当方=0时，讨论“X）在（0,+8）上的单调性；

（2）当人=1时，若存在,使/（x）＞0，求〃的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）（T-e,+x）

【解析】（1）当人=0时，f（x）=x2+a（x-lnx）,的定义域为（0,+e）,

°,alx1+cix-a

J(x)=2x+a——=-----------------

XX

当/+8aW0,即一8Wa40时，/'（工）之0且不恒为0,

所以/（X）在（0,+8）上单调递增；

当〃＜—8时，方程2/+公—。=0有两不等正根±‘片+&

4

结合定义域由f\x）＞。可得xef°"、产"'

由，（x）＜o可得"一〃一斤^-a+yJa2+8。

4

­、，_/、.._—Q—yla"+8a—a+Ja"+8a.一、一、乂

所以“力在区间-----------，-----------上单倜理减，

\/

.,_、—八_a_da-+8a_a+&i~+8a、­、

在区间。，-----------和-------------，+8上单调递增；

/Z

当。＞0时，方程2丁+OV一a=。有一负根———“+8a和一正根

4

—a+\Jcr+8〃

/

4

结合定义域由r（x）＞。可得3#+8a,y

由广（力＜。可得X©「+J：+阻,

所以/（X）在区间。,"1+&'上单调递减，

在区间一1——，+8上单调递增.

综上可知：当8时，"4）在区间"f+8-；入8"上单调递

I7

减，

_x_„—ci—yjci~+8rt«—a+A/T+84.、，一….一

在区间0,-----------和-------------，+8上单调递增；

当-时，/（x）在（0,*）上单调递增;

当。>0时，”力在区间0,3丫+8a上单调递减，

\

_、—_a++8a.

在区a间-----------,+°°上单倜递增.

/

(2)法一：分离变量可得：八"二t,令FQ)="二t，xWLe］,

.r-lnxx-lnx

则

「e、(ei\

--2xI(x—Inx)——x21--^-(Inx—2x+l)+x(2lnx—x—1)

Y\_I—)八x，=2L___________________________f

—)2U-lnx)2

易得当时,lnx-2.r+l<0,且21nx7—lv0,从而9(x)<。，

所以外力在［1,日单调递减，于是〃>F*)而0=F(e)=-l-e.

即”的取值范围为(T-e,*c).

法二：当人=1时J(x)=V+a(x-lnx)一上，令g(x)=f+a(x-lnx),h(x)=-,

xx

则f(x)>0,即为,

而网力在［Le］上单调递减，所以当时，Mx)Z〃(e)=l,

又8e)="+讹-。，

i.当g(e)>，z(e),即/+讹一〃>1时，〃>T-e,符合题意；

ii.当—l-e时，由(1)知g(力在［㈤上是增函数,

恒有g(x)—g(e)W/i(e)=l,故不存在x«Le］,使g(x)>-x)；

iii.当。<一8时，由于IWxWe时,x-lnx>0,

所以g(x)=炉+~\nx)<x2-8(.r-ln.r),

令皿x)=/_8(x_lnx),则〃«x)=2x_8_g=2(工-4一+4)=2。-2)2、°,

XXX

所以，〃(x)在U，e］上是增函数，最大值为，"(e),

X/??(e)-/;(e)=e2-8(e-l)-l=e2-8e+7=(e-l)(e-7)<0,

所以"?(e)</?(e),此时恒有g(x)〈〃(x),

因此不存在x«l，e］,使8(x)>〃(x).

综上可知，t7>-l-e，即〃的取值范围为(T-e,”).

【题型2双变量不等式求参问题】

[例2](2022秋・河北•高三南宫中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=Hnx+x2,g(x)=货-m+2,awR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若孙£(0,+巧，龙e[-2,-1],使得2/(%),,&(七)，求实数”的取值范围.

【答案】(i)单调性见解析；(2)(-8,-2白5。，+8)

【解析】(I)由题意知：/⑺的定义域为(。，+司，=,

XX

当a'O时，/立，・••/(X)在(O，y)上单调递增；

当。<。时，令ra)=。有尸旧，故当六卜,,则广(“<0；

若"'(旧’+8，则/'(x)>0；

.../(X)在，门)上单调递减，在[1,+8]上单调递增；

综上所述：当a"时」("在(0,+8)上单调递增；

当。<0时，/(力在，,旧)上单调递减，在[旧，+8)上单调递增.

(2)当a=0时，Vre(0,~K»),2f(x)=2x2>0;Vxe[-2,-l],^(x)=2x3+2<0;

••.2/。；)>月伉)恒成立，不合题意；

当心0时，取K=min

2<I

则2/(xj=2aInx}+2xf<2aIn+1=6/=(x,)，符合题意；

当a<0时，若斗«0,3),加,使得2”N)Wg(w)，则

max1

由(1)知：=/|旧>a'旧《；

g(x)=2x'-av+2,/(.r)=6x2-6z>0,••・&(工)在［-2,-1］上单调递增，

，g(x)a=g(一1)=a,

r.2aInJ-,-a<a,即2aInJ-.<2a,.t.In21,解彳导：a<-2e2；

综上所述：实数〃的取值范围为(-8，-2/］=(0,+8).

【变式2-1】(2022秋・江西•高三校联考阶段练习)已知函数=f+x-ln(x+l)

(।)若关于*的方程/(x)-"?=0(/〃eR)在区间一最2上恰有2个不同的实数解，求，"的

取值范围；

pX「］］「］

(2)设函数/?*)=—+〃(，?wR),若肛w--,2,Vx2e-,2总有/(8)«/?(9)成立，求

xL2JL2J

〃的取值范围.

【答案】(I)0</n<-l-in2;(2)心Y

【解析】(1)/(x)=x7+x-ln(x+l),xe-1,2,

由/(力一加=0得d+x-ln(v+l)=m,

由题意，曲线丁=/(幻与直线产，〃在区间42］上恰有2个交点.

/@)=2工+1-」,

x+1x+\

当xe［一女)时，/V)<0；当…),2］时，/V)>0,

所以/(x)在区间［-(0］上单调递减，在区间。2］上单调递增，

当x=0值,/(“)取最小值,最小值为八0)=。.

/(-1)=-^+ln2,/(2)=6-ln3,

乙■

又/（-fvf（2）,・,.0＜机＜-；+ln2.

（2）由“十；,2,VX2G1,2总有/（%）”工）成立可知，

所以在给定区间上，/（X）min~C＜U.

由（2）知在区间［-打］上,/（A）min=/（0）=0,

..//（r）=xe!-£=e^-l）,

xx~

当g,l）时，以x）＜0;当xe（l,2］时，〃'"）＞（）,

・•・函数〃（x）在区间上单调递减，在区间亿2］上单调递增，

・\Mx）min=MD=e+〃，所以OKe+〃,：,n＞-e.

【变式2-2】（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（”）=〃心+了，晨.丫）=2/一奴+2,

（1）讨论函数的单调性；

（2）若斗＜0,2）,加,使得"（内）M&（&），求实数〃的取值范围.

【答案】（I）答案见解析；（2）（f-叫（0,-Kc）

【解析】（1）由题意知：“X）的定义域为（0，笆），/'㈤/+户■,

XX

当心0时，r（/）＞。恒成立，.•./（/）在（。,+8）上单调递增；

当。＜。时，§XG（0,V^）,贝1」:（力＜。；若工£（々,+8）,贝!］广（工）＞0；

・•・/（五）在（o，G）上单调递减,在（G，+4上单调递增；

综上所述：当时，在（0,+8）上单调递增；

当*0时，〃X）在他/工）上单调递减，在（G，+8）上单调递增.

2

（2）当4=0时，VXG（0,+OO）,2f（x）=x＞0；V.re［-2,-l］,g（x）=2x'+2＜0；

・••2/（内）＞雇工）恒成立，不合题意；

2fl

当〃〉()时，取X=min{l,e2%2=-1,

贝U2/(不)=2aIn芭+x：<2a\ne22a+\=a=g(x,),符合题意；

当”<0时，若孙€(0,+oo),3^6[-2,-1],使得2/(%)48(七),则

2/(")而0Wg(x)a

由(1)知：/(x"n=/(G)=；

g(x)=2f-ov+2,.\/(X)=6X2-«>0,「.g(x)在[-2,-1]上单调递增，

二•g(xLx=g(T)=4，

/.2aIn4-a-a<a，即2aIn4^a<2a,/.In4-aN1,解彳导.a<-e2；

综上所述：实数4的取值范围为(f-白(0,-KX)).

【变式2-3】(2022.湖南.安仁县第一中学校考模拟预测)已知/(x)=〃lnx+；Y-2xm€R且

“/0)在(0,+8)上单调递增，g(x)=co&cinx.

(1)当“取最小值时，证明恒成立

(2)对小句，叫elf,使得丛^一〃北(不)成立,求实数〃的取值范围.

-eJX2

【答案】(1)证明见解析；(2)],+功

【解析】(।)由题意可知尸(x)=2+x-220在(0,+8)上恒成立，

参变分离得。2(2%-/)2=1,•・・/访=1,此时/(制=1g+3——2儿

设〃(x)=/(x)_-x2-^-1=lnx-x+l,/f(x)=--i=^—,

(2JXA

令〃(x)>0=0<x<l，令/(*)<0nx>l,

••・〃(x)在(0,1)上单调递增，在(Lw)上单调递减.

.-.//(%)</|(1)=0,.../(小呆…]恒成立，

(2)g'(x)=-sinr+sinx+xcosLT=ACOsx,

当xe(O,g)时，xcosx>0,g'(x)>0,

••・g@)在(0,9单调递增；

当时，xcosx<0,g'(x)<0,

乙

・•・g(x)在(宗外单调递减；

g(0)=l,吗)=1,g⑺=T,

'1•以x)在(()/)上的最小值为-1.

易知g(x)为偶函数，由偶函数图象的对称性可知g*)在(-乃")上的最小值为

由题意可得F团,使得当L-成立’即心—斗j成

立.

由(I)可知々一足々>1>。，

1!，_

参变分离得〃2区二，设媒6=2二，xwg，e］，即只需。2°()加即可.

jr-lnxx-lav

(1)-X-lll¥+1

2

"(6=

(x-lnr)2

由(1)知InxWx-l得一Inx?l-x,

1.,、1,,_14—

-x—Inv+12—x+1—x+1=2—x=----->0

2222

令”(x)>0nlvx<e，令"(x)<0n』vxv1,

,今x)在(Ll)上单调递减,在(Le)上单调递增.

e

，0(x)min=Wl)=-；，

又已知。>1.故。的取值范围为［1,*4

【题型3利用导数证明不等式成立】

【例3】(2023•福建・漳州统考二模)已知函数/。)=如一〃sin%—e'(〃油eR).

(1)当力=0时，讨论/(x)的单调性；

(2)若g(x)=\x3-e1求证：当〃=6=1B寸，对VxeQ+co),恒有/")<屋力.

【答案】(1)当时，”力在R上单调递减；当。>0时，〃力的单调递增区间为

单调递减区间为(In4*0);(2)见解析

【解析】(1)当人=0时，/(x)="一e［所以广。)二4一，，

当时，/'(”<0,此时/(力在R上单调递减；

当。>0时，令冲)>0，解得:x<lna,

所以/(力在(yjna)上单调递增；

令广(“<(),解得：x>lna,所以/(“在(ln«4w)上单调递减;

综上所述：当心0时，/(力在R上单调递减；

当。>0时，/(力的单调递增区间为(Flna),单调递减区间为(lna,a).

(2)证明：当a=8=l时，/(x)=x-sinx-cA(x>0),

令函数0(/)=$访工一_¥(工>0),^(A)=COSA-1<0,

所以夕(X)在(。，+8)上单调递减,且。(0)=0,所以sinxT<0,即si-,

所以当O,?),0<sinx<x,则sin^vg,所以sin29V,

所以当xe5收sin.v<1<.r，则呜苦，所以叫<

令函数〃(x)=g(x)-/(x)=-x3-er-x+sinx+er=sinx-x+-x3(x>0),

+,=0(x>。),

所以Mx)在(0,+力)上单调递增,又〃(0)=0,

所以又寸Vxw(o,y),a(x)>0恒成立，

所以当a乂小时,对Vxe((),欣)，恒有

【变式3-1】(2023•山东・潍坊统考一模)已知函数/(力二。112送(力=/-工.

(1)讨论/(力的单调性；

(2)证明：当x«(),2)时，/(x)＜5W.

【答案】(।)函数“X)在(。，口)上单调递增；(2)证明见解析

【解析】(।)函数“X)的定义域为(。，+司，

f'(x)=e'-llrLr+--=e1-1lar+—,

xIx)

ig/?(x)=1FLT+—,贝J]=,

XXXX

所以当Ovxvl时，〃(x)＜0,函数〃w单调递减，

当x〉l时，〃(x)＞0,函数M.r)单调递增,

所以人(力—(1)=1,

所以/'3=尸(山+斗。,

所以函数/(X)在(0,+8)上单调递增；

(2)原不等式为011m工》2一工=丫卜一1),即则w二,

Ae

即证弊《W在x«°，2)上恒成立，

ee

r〃/、ev-xev1-x

设/(£)=/，贝”(")二百h，

所以，当人＜i时，/(，)＞。，心)单调递增；当Q1时,«耳＜0,/⑺单调

递减，

所以/(》)《/⑴=」，

e

=lar-x+l,/*(x)=—-1=---,

当Ovx＜l时，公)＞。，G)单调递增；当x〉l时，，(力＜0,G)单调递

减，

所以心I=，(1)=。，所以la3—1,

且在x«0,2)上有InX<I所以可/得\/到\,即In塔r4之Y—1，

X—1<1ee

所以在xe(0,2)时,有/(x)4g(x)成立.

【变式3-2】(2023.陕西铜川校考一模)已知函数/。)二如】<+〃,

(1)若)，=/(同存在零点,求〃的取值范围；

2

(2)若a之一，求证：.出+a>e”/.

e

(\'

【答案】(1)ac-8=；(2)证明见解析

x

【解析】(1)由/(工)=。可得-a=xlnx,令〃(x)=xlnx,其中％>0,

贝！J〃'(x)=l+lnx,由p'(x)<0可彳导0vx<1,由p(x)>0可彳导,

ee

所以，函数P(”的减区间为(。，£|,增区间为(%及

所以，P(”min=pR)=T'

且当0<xvl时，lnx<0,贝(]p(x)=xlnxvO;

当x>l时，lnx>0，贝IJp(x)=xlnx>0,

作出函数y=T与函数y=p(x)的图象如右图所示：

由图可知，当-a时，即当时，直线产一。与函数产力⑴的医象有

ee

公共点，

即函数/(X)有零点，故

e

(2)证明：因为r(x)=l+lnx="(x),所以，函数“X)、的单调性相同,

则函数/("的减区间为(03),增区间为Q+8),

所以，/(3必卜一］又由于丘|,所以/(X)《①，

设g(x)=「,其中x>0,则g'(x)=詈,令/(力=0,可得x=l.

当0<%<1时,g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增,

当Q1时，g'(x)<o,此时函数g(x)单调递减,g(x)<g(l)=-©t

e

由于①②两式中等号不能同时成立，故有/("〉履”.

所以/(e')>g(e、)，即胧'+"。1.

【变式3-3](2022秋・湖北・襄阳高三校联考期中)已知函数

/(x)=4aeT+(2-4ae)x-2Inx(a>0).

(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：/(x)..(2-4讹)％+lna+3.

【答案】(1)增区间为―)，减区间为(0,D；(2)证明见解析

【解析】(1)因为/(x)=4ae”+(2-4ae)x-2lnx,且〃>0

?

所以f'M=4aeK--+2-4t/e.

x

22

令函数g(x)=4ac，——+2-4i/c,jjpJ，(x)=4ac'+r>0,

xx~

所以以外即r(x)在(o,+oo)上单调递增.

又广⑴=0,所以当XG(0，l)时，/VX0;当xe(1,+00)时，r(x)>0.

故人幻的单调递增区间为(1,xo),单调递减区间为(()/)•

(2)证明：要证/(x)N(2-4ae)x+lna+3,gpijE4aex-2Inx-In«-3..0.

令函数力(G)=4e'G-ln4-21nx-3,«>0f则力'(a)=4c'-',

a

当”(0,!)时，〃⑷<0，屈。)单调递减；

4e

当ac(上,+oo)时，h\a)>Q,43)单调递增.

4e

故“(a)min=A(，7)=x-21nx+21n2—2.

2r-2

令函数0(x)=x_21nx+21n2-2,x>0，则Q'(x)=]——=:------.

XX

当xe(O⑵时，M(x)vO,9(%)单调递减；

当xe(Z+<»)时,(p'(x)>0,奴x)单调递增，

故W*)min=W(2)=0・

故x—21nx+