双曲线的8大必考点-教师版

双曲线的8大必考点（高二专题讲义·教师版）人教A版·选择性必修第一册·圆锥曲线一、知识清单（一）双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a（且0<两个定点叫焦点，两焦点间的距离2c叫焦距。定义里的“绝对值”不能丢：若只写PF1−三种退化情形：2a=2c时轨迹是两条射线；2a>2c时轨迹不存在；（二）标准方程与基本量焦点在x轴上：x2a2−y2b2=焦点在y轴上：y2a2−x2b2=核心关系c2=a实轴长2a，虚轴长2b；顶点在实轴端点上，虚轴的两个端点不在双曲线上（这是与椭圆最大的差别）。a永远对应正项的分母：方程中哪一项为正，焦点就在哪个轴上。（三）渐近线x2a2−y2b速记法：把标准方程右边的1改为0，得x2与已知双曲线共渐近线的双曲线可设为x2a2−y2b（四）离心率e=ca=1+b2a等轴双曲线：a=b，此时e=求离心率的基本套路：把条件（垂直、共线、比例、角度）化成关于a、b、c的齐次关系，再除以a化为e的方程；解出后必须用e>（五）常用结论（均可由定义推出）1.焦点到渐近线的距离等于b；2.过焦点且垂直于实轴的弦（通径）长为2b3.焦点三角形面积S=b24.焦半径：设Px0,y0在右支上，F（六）点差法设弦AB的两端点在双曲线上，中点为Mx0,注意：双曲线的中点弦极易“算得出、不存在”。求出斜率后必须把直线方程代回双曲线，验证判别式大于零，否则弦根本不存在。（七）五条高频易错第一，把c2=a第二，渐近线斜率写反，ba与a第三，由PF1−第四，点差法求出弦方程就交卷，不检验存在性。第五，直线与双曲线联立时忽略二次项系数为零的情形（直线与渐近线平行时只有一个交点，但不是相切）。二、八大核心考点考点1定义辨析与焦半径求值核心要点：抓住“差的绝对值等于2a”，先定支，再算焦半径；每个结果都要用PF≥【典例1】双曲线x216−y29=1的左、右焦点为F1解：由方程得a=4，b=由定义PF1−检验：右支上的点到右焦点的距离最小为c−a=所以PF点拨：判断“哪条焦半径大”只看支：右支上到左焦点远、到右焦点近。【典例2】双曲线y29−x216=1的上、下焦点为F2解：a=3，b=4，所以PF2=检验：双曲线上的点到焦点的距离最小为c−a=所以PF点拨：本题没给在哪一支，因此出现两个候选值；c−【变式1】双曲线x225−y211=1的左、右焦点为F1解：a=5，b=11，c=所以PF1=所以PF点拨：左支与右支的公式方向相反，先判断“谁减谁”再动笔。【变式2】已知F1、F2两点间的距离为6，动点P满足PF1−PF2=解：由2c=6得c=3，由因为0<2a<所以方程为x2点拨：这里是c2=a考点2求标准方程核心要点：先定型（焦点在哪根轴），再定量（a、b、c三个量知二求一）；渐近线已知时优先用共渐近线设法。【典例1】已知双曲线的渐近线为y=±13解：先假设焦点在x轴上，则ba=13，即代入点3,2得99b2改设焦点在y轴：y2a2−x2b代入3,2：2a2−所以方程为y2点拨：只给渐近线不给轴，必须先讨论两种情形；出现b2【典例2】已知双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，且经过点22解：由实轴长2a=4得a=设方程为x24−y2解得9b2=所以方程为x2点拨：“实轴长”对应2a，写方程时代入的是a2【变式1】已知双曲线的渐近线为y=±2x，且经过点解：若焦点在x轴，则ba=2，代入1故焦点在y轴：ab=2，即b代入1,3：9a2−所以方程为y2点拨：点在“哪一侧”可以由代入后是否出现负数判断，比凭感觉猜轴可靠。【变式2】已知双曲线的焦点为F10,−5、解：焦点在y轴，c=5；距离之差的绝对值为2a=6，故由c2=a所以方程为y2点拨：焦点坐标直接给出轴的位置，省去讨论；b2考点3渐近线相关问题核心要点：方程化标准式再读渐近线；焦点到渐近线距离恒为b；两条渐近线互相垂直等价于a=【典例1】已知双曲线2x解：化为标准式x24−y28=渐近线为y=±焦点23,0到直线2所以渐近线为y=±2x点拨：结论“焦点到渐近线距离等于b”可以记住，但想不出时用点到直线距离公式现算最快。【典例2】双曲线x2a2−y解：渐近线为bx−ay=0，圆心相切即圆心到直线的距离等于半径：2ba平方得4b2=a2所以ba点拨：分母a2+b【变式1】已知双曲线y24−解：焦点在y轴，渐近线为y=±两条渐近线关于坐标轴对称，互相垂直即斜率之积为−1：2得4m=1所以m=4（此时点拨：“渐近线垂直”与“等轴双曲线”是一回事，a=【变式2】已知双曲线的渐近线为y=±解：分两种情形。若焦点在x轴，则ba=3若焦点在y轴，则ab=3，即b所以离心率为2或23点拨：只给渐近线、没定轴时必是两个答案；若题目还给了一个点或一条范围，就能唯一确定。考点4离心率求值与范围核心要点：把几何条件翻译成a、b、c的等式或不等式，除以a2化为e；求范围时别忘了e【典例1】双曲线x2a2−y2b2=解：设PF2=m，则PF在直角三角形PF1F2中，斜边F1所以c2=5点拨：先让定义“消灭”一个未知量（把m换成a），再用勾股定理，最后一步才出现e。【典例2】双曲线x2a2−y解：设PF2=t，则PF1=右支上的点到右焦点的距离最小为c−a，因此必须a≥所以e=ca≤2点拨：范围问题一律用“焦半径不低于c−【变式1】已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，求离心率e。解：虚轴长2b、实轴长2a，由条件2b=2⋅e=所以e=点拨：“虚轴长是实轴长的k倍”即b=ka，代入【变式2】已知双曲线x2a2−y2b解：点P在右支时，由PF1−PF需2a≥c−a，得c≤所以1<点拨：比例型条件先解出PF2的具体值（含考点5焦点三角形核心要点：定义式与余弦定理联立；面积公式S=【典例1】双曲线x24−y25=1的两个焦点为F1解：a2=4，b2=5，c=S=所以△PF1点拨：公式里的b2不是c2，也不是【典例2】双曲线x29−y2=1的左、右焦点为F1、解：a=3，c2=10于是PF由余弦定理cosθ所以cos∠F点拨：平方和用“差的平方+2倍积”整体求出，比分别解两个焦半径省时，也避免取舍错误。【变式1】双曲线y212−x24=1的两个焦点为F1解：a2=12，b2=S=所以面积为4。点拨：θ=90∘【变式2】双曲线x2−y23=1的左、右焦点为F1、解：a=1，c=2，F1在△PF1所以cos∠P点拨：注意所求角在顶点F1考点6中点弦与点差法（必须检验存在性）核心要点：点差法给出k=b2【典例1】双曲线x2−y解：设弦的端点为Ax1,y1、Bx2两式作差：x1−x故候选直线为y−1=代回双曲线：2x2−2x−所以不存在以M1点拨：点差法只产生“候选”直线，双曲线还必须过判别式这一关；这正是双曲线比椭圆多出来的陷阱。【典例2】双曲线x24−解：由点差法k=弦所在直线为y−1=检验：7x2−所以斜率为2，方程为y=点拨：检验时只算Δ的符号即可，不必解出交点坐标。【变式1】双曲线2x2−解：标准式为x2−y22=1直线为y+1=−检验：14x2−所以方程为y=−4x+点拨：中点纵坐标为负时分母为负，斜率符号随之翻转，写完后可用图形大致判断方向是否合理。【变式2】双曲线x24−解：点差法给出k=b2对应的直线为y−1=代回得x2所以不存在这样的弦。点拨：当点差法算出的斜率正好等于±b考点7直线与双曲线的位置关系核心要点：联立后先看二次项系数是否为零（平行渐近线时只有一个交点，不是相切）；弦长用AB=【典例1】直线y=x2与双曲线x22−y解：代入得x22−x24=所以A2,1，B点拨：本题联立后是一次方程，只有两个具体交点，直接求坐标比套弦长公式更快。【典例2】求双曲线x2解：a2=3，b2=得43−y2=所以通径长为233，与公式点拨：通径公式2b【变式1】直线y=kx−1与双曲线解：代入得1−当1−k2当1−k2≠0时，需Δ=4所以k可取1、−1、52、点拨：“只有一个公共点”包含相切与平行渐近线两种情形，只算Δ=【变式2】双曲线x24−y212=1的右焦点为F4,0解：令x=4，代入得164解得y212=3，所以AB=12，与通径公式点拨：垂线过焦点即为通径，先认出这是什么弦，再用公式可以秒出答案。考点8定值与定点问题核心要点：定值题先设点再算乘积，把“另一条支上的对称点”代换进式子，往往一步抵消；定点题先求动直线方程中截距与斜率的关系，再看它是不是关于斜率的线性式。【典例1】已知A、B是双曲线x24−y2=1上关于原点对称的两点，P证明：设Ax1,y1则kPA由两点都在双曲线上得y02=x0所以kPA⋅k点拨：把两个点都代进双曲线方程作差，是这类定值题的唯一核心步骤，不要试图用斜率公式硬展开。【典例2】已知P是双曲线x2−y证明：双曲线化为x22−y22=设Px0,y0所以d1d2故距离之积为定值1。点拨：两条渐近线关于坐标轴对称，点到它们的距离乘积里分子的x0【变式1】已知P是双曲线x24−解：渐近线为y=±x2，即x设Px0,y0故d1d2所以距离之积为定值45点拨：结论可以推广——到两条渐近线距离之积恒为a2b2a2+b【变式2】已知直线l过点T1,1，与双曲线x24−y2=解：设Mx0,y0又T、M、A、B共线，A、B在l上，故kAB于是x04y所以中点M的轨迹为x2−x点拨：中点轨迹题就是“点差法+共线”两式联立；求出方程后要说明只是其中一段弧，这是定值定点类问题最常见的追问。三、强化训练【强化训练1】双曲线x29−y216=1的左、右焦点为F1解：a=3，c=5。左支上PF2−【强化训练2】已知双曲线的渐近线为y=±22解：设焦点在x轴，则ba=22，b2=a22所以方程为x2【强化训练3】已知双曲线y2m−解：焦点在y轴，渐近线y=±abx=±e=【强化训练4】已知双曲线的离心率为2，且经过点2,解：e=2说明a=b（等轴双曲线）。设焦点在x轴，代入2,所以方程为x2【强化训练5】双曲线x25−y24=1的两个焦点为