工程力学 第2版 课件 第12章-静定结构位移计算

1静定结构的内力与位移计算

第十二章12-1静定结构的内力计算*§12-2静定结构的位移计算·莫尔定理本章主要采用截面法计算静定平面结构的内力。采用能量法——莫尔定理计算位移。212-2静定结构的位移计算·莫尔定理大型工程结构位移计算常采用能量法——莫尔定理312-2静定结构的位移计算·莫尔定理知识回顾：外力的功能量原理:

功和能相关的若干定理.能量法：应用能量原理得到的一些具体计算位移的方法.本节采用莫尔定理计算位移的基本内容是：

根据能量原理推导出基本变形下杆件的应变能和应变能密度、莫尔定理，然后通过例题介绍莫尔定理的应用。大型工程结构位移计算常采用能量法——莫尔定理1.常力的功FSW4知识回顾：外力的功2.常力偶的功3.变力的功假定外力F

是由零逐渐增大到F1

值。梁各点的加速度略去不计,这就保证了梁是静止的,受力变形后还是静止的。ABM1φ1变力F

的功为:F△1

OF

1F1

d同理，变力偶M1

的功为:若在若干外力作用下,梁发生变形时外力的总功为:5知识回顾：外力的功若在若干外力作用下,梁发生变形时外力的总功为:式中:n

为外力的总数;Fi

可以为力,亦可为力偶;

i

可以为线位移(挠度),亦可为角位移(转角);Fi——广义力;

i——广义位移;6一、基本变形下杆件应变能的计算基本变形在弹性范围内变形量与外力(内力)均呈线性关系。

轴向拉、压（FN

为轴力）弯曲

扭转（

为相对扭转角，T

为扭矩）（

为转角，M

为弯矩）（不计剪力）根据能量守恒定律，外力功W全部转化为储存于弹性体内的应变能Vε即：W=Vε通过计算外力功W，得到应变能Vε72.扭转圆轴的应变能1.拉压杆的应变能当轴力FN(x)和拉压刚度沿杆件长度为常数时:当扭矩T(x)和扭转刚度沿杆件长度为常数时:一、基本变形下杆件应变能的计算3.弯曲梁的应变能O1O284.组合变形时的应变能

在组合变形的情况下，当杆件横截面上有轴力、扭矩和弯矩时，整个杆件的应变能为一、基本变形下杆件应变能的计算注意：

应变能与内力的平方成正比，不再满足线性关系。

应变能计算可以使用叠加原理吗？思考：不能！5.应变能的普遍表达式9补充例题12-1求图示的阶梯杆在集中力F

作用下的应变能。解:1.列轴力方程2.分段求梁的应变能一、基本变形下杆件应变能的计算F

ll2EAEA补充例题12-2计算图所示简支梁在集中力F作用下的应变能。梁的弯曲刚度EI

为常数。ABFbalFBFAx1x2解:1.求支座反力2.分两段,列弯矩方程。3.分段求梁的应变能10二、应变能密度应变能密度:弹性体内任一点处单位体积的应变能.vε1.拉压杆的应变能密度2.扭转轴（剪切变形）的应变能密度忽略剪力的影响，弯曲梁的应变能密度同拉压杆.11——莫尔定理是计算构件和结构位移的基本方法之一！这个方法是应用外力的功和应变能的概念建立的。应变能在数值上等于外力在变形过程中所作的功。能量守恒——能量守恒并未涉及材料的性质,适用于所有的变形体。三、莫尔定理1.莫尔定理的推导即：W=Vε例如：对所研究的线弹性体的梁.外力的功：梁的弯曲应变能：式中：MF

(x)是力F作用下梁的弯矩,ΔF

是力F

作用点沿力F

方向的位移。能量守恒121.莫尔定理的推导以图示简支梁为例，计算力F

作用下梁任意截面K

处的线位移△K

（1）计算外力的功※步骤：在K

点施加一单位力计算外力功的思路是：按加载次序分两步考虑.FABKC△F

——单位力所引起的梁K

处的线位移

△F——力F所引起的作用点C

的线位移AB△1CK

△1——单位力所引起的点C

的线位移第二步:加载外力F，此时，单位力是一大小为1的恒力作用在梁上，随着梁的变形，该恒力的功与外力F的功为第一步:先施加单位力，

其外力功为:总的外力功为:131.莫尔定理的推导（2）计算应变能※步骤：建立弯矩方程:表示单位力作用下梁的弯矩方程当先后施加和F时,根据叠加原理，梁上任一横截面x上的弯矩为：故梁的应变能为：根据能量守恒：W=Vε

，有：显然，有：141.莫尔定理的推导整理得计算位移的莫尔定理为对桁架结构扭转变形的轴莫尔定理又称为单位荷载法、

莫尔积分法。对组合变形的结构，莫尔定理表达式为a.如果要求线位移，则应施加单位力b.如求角位移，则需施加单位力偶c.如求相对位，则需施加一对单位力或一对单位力偶。（2）计算应变能讨论：关键：建立内力方程！152.莫尔定理的应用四种基本变形下的莫尔定理表达式：162.莫尔定理的应用ABqlx例题12-5试用莫尔定理计算图示悬臂梁截面B的挠度和转角。

梁的弯曲刚度为EI。解：（1）建立外力q作用下梁的弯矩方程（2）去掉外荷载q，在B处施加铅垂方向的单位力，列弯矩方程为AB1lx（3）由莫尔定理计算B截面的挠度

wB（4）计算B截面的转角

θB去掉外荷载q，在B处施加单位力偶，列弯矩方程为AB1lx顺时转172.莫尔定理的应用例题12-6试计算图示刚架截面A的转角θA和截面C的铅垂位移wC。

各杆弯曲刚度EI均为常数。解：（1）建立外力F作用下刚架的弯矩方程（2）计算θA

。去掉外荷载F，在A处施加单位力偶由莫尔定理,得:顺时转