第二章 一元二次方程精讲精练

目录TOC\o"1-2"\h\u5067第二章一元二次方程专题 118932第一节一元二次方程的定义 1220第二节直接开平方法 715208第三节配方法 1127560第四节公式法 16554第五节因式分解法 2213330一元二次方程综合练习题 2915490第六节根与系数的关系 323432第七节增长率问题 3719978第八节利润问题 4223638第九节其他问题 5016972一元二次方程的应用综合练习 58第二章一元二次方程专题第一节一元二次方程的定义一、知识点归纳1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，（）这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

要点诠释：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

二、课前预习1．（2021•潜江模拟）下列是一元二次方程的是（）A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝0【解答】解：A、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：C．2．（2020秋•姜堰区期末）已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（）A．a≠0 B．a≠1 C．a＞1 D．a≤2【解答】解：∵方程（a﹣1）x2+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，解得a≠1．故选：B．3．（2021•武汉模拟）方程3x2﹣2x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和2 B．3和﹣2 C．3和﹣1 D．3和1【解答】解：方程3x2﹣2x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为3和﹣2，故选：B．三、典型例题例1（基础）方程5x2﹣2＝﹣3x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．5、3、﹣2 B．5、﹣3、﹣2 C．5、3、2 D．5、﹣3、2【分析】直接利用一元二次方程中各部分的名称分析得出答案．【解答】解：5x2﹣2＝﹣3x整理得：5x2+3x﹣2＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是：5、3、﹣2．故选：A．例2（基础）（2019秋•兰州期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x＝ B．ax2+c＝0 C．a2x﹣3x＝x（1﹣x） D．x（x2﹣1）＝0【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；B、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；D、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．例3（基础）（2019秋•襄阳期末）已知x＝1是一元二次方程2x2﹣cx＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣2【分析】将x＝1代入方程可得关于c的方程，解之可得．【解答】解：将x＝1代入方程2x2﹣cx＝0，得：2﹣c＝0，解得c＝2，故选：B．例4（提高）（2019秋•邗江区校级期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）A．2011 B．2015 C．2019 D．2020【分析】把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，然后利用整体代入的方法计算2015﹣a+b的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+4＝0得a﹣b+4＝0，所以a﹣b＝﹣4，所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣4）＝2019．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．例5（提高）（2019秋•常德期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（）A．5 B．﹣4 C．4 D．﹣1【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．例6（满分）（2019秋•黄冈期末）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．【解答】解：把x＝﹣3代入方程得：9+3k﹣6＝0，解得k＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义．就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．例7（满分）（2019秋•淮安区期末）已知a是方程x2+3x﹣1＝0的根，则代数式a2+3a+2019的值是（）A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021【分析】根据一元二次方程的解的定义，将a代入已知方程，即可求得（a2+3a）的值．【解答】解：根据题意，得a2+3a﹣1＝0，整理得，a2+3a＝1，所以a2+3a+2019＝1+2019＝2020．故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．四、课堂练习1．（2021春•西城区校级月考）给出下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②（x﹣9）2＝1；③4x2+2x﹣1＝0；④x+3＝；其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①a＝0时ax2+bx+c＝0是一元一次方程，②（x﹣9）2＝1是一元二次方程，③4x2+2x﹣1＝0是一元二次方程；④x+3＝是分式方程．故一元二次方程有2个，故选：B．2．（2020秋•昭阳区期末）下列方程中，一元二次方程共有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2﹣＝4；④x2﹣3x＝4；⑤x2﹣+3＝0．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①3x2+x＝20，④x2﹣3x＝4，⑤x2﹣+3＝0符合一元二次方程的定义；②2x2﹣3xy+4＝0中含有两个未知数，不是一元二次方程；③x2﹣＝4不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；综上所述，一元二次方程共有3个．故选：B．3．（2021•泸县模拟）已知关于x的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1，则a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+x+2a﹣4＝0得1﹣1+2a﹣4＝0，解得a＝2．故选：D．4．（2020秋•肥城市期末）在一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（）A．﹣1，4 B．﹣1，﹣4 C．1，4 D．1，﹣4【解答】解：一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是﹣1，﹣4．故选：B．五、巩固练习1．（2021•江西模拟）关于x的方程（a﹣3）﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则（）A．a≠±3 B．a＝3 C．a＝﹣3 D．a＝±3【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，∴a2﹣7＝2且a﹣3≠0，解得：a＝﹣3，故选：C．2．（2020秋•鹤城区期末）将方程3x2＝﹣6x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、6、8 B．3、﹣6、﹣8 C．3、﹣6、8 D．3、6、﹣8【解答】解：将方程3x2＝﹣6x+8化为一元二次方程的一般形式为：3x2+6x﹣8＝0，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、6、﹣8．故选：D．3．（2020秋•凤凰县期末）关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则（）A．a≠±1 B．a＝﹣1 C．a＝1 D．a＝±1【解答】解：∵关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，∴|a|+1＝2且a+1≠0，∴a＝1，故选：C．4．（2021春•福州月考）下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣4＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程不是一元二次方程；②x2+﹣4＝0属于分式方程；③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定义；④x2﹣2+x3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．故选：A．第二节直接开平方法一、知识点归纳1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

.二、课前练习题1．（2020秋•南京期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5【解答】解：（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，故选：A．2．（2020秋•市中区期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝4，x2＝﹣4 B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝4【解答】解：∵x2＝4，∴x＝2或x＝﹣2，故选：C．三、典型例题例1（基础）（2020•颍州区一模）解方程：（x﹣3）2＝4．【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝±2，∴x＝5或x＝1；例2（基础）（2020•宿松县模拟）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．【分析】根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣1例3（提高）（2019秋•江城区期中）解方程4x2﹣13＝12【分析】移项，合并同类项，两边开方，即可求出答案．【解答】解：移项得：4x2＝13+12，4x2＝25，，，．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．例4（提高）（2019秋•雁塔区校级月考）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣25＝0；（2）x2﹣1＝215．【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．（2）根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2﹣25＝0，∴x﹣2＝±5，∴x＝7或x＝﹣3；（2）∵x2﹣1＝215，∴x2＝216，∴x＝±6【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．例5（满分）（2019春•蜀山区期中）解方程：（y+2）2﹣6＝0【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．【解答】解：（y+2）2﹣6＝0，（y+2）2＝12，y+2＝±2，y1＝2﹣2，y2＝﹣2﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．四、课堂作业1．（2020秋•白云区期末）方程x2﹣1＝0的解是（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x＝±1 D．无实数根【解答】解：x2﹣1＝0，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1，故选：C．2．（2020秋•云县校级期末）一元二次方程（x﹣3）2﹣4＝0的解是（）A．x＝5 B．x＝1 C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x1＝1，x2＝5【解答】解：∵（x﹣3）2﹣4＝0，∴（x﹣3）2＝4，则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得x1＝5，x2＝1，故选：D．五、巩固练习1．（2020秋•平顶山期末）已知x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，则a＝．【解答】解：∵x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，∴（﹣1）2﹣a＝0，解得，a＝1，故答案为：1．2．（2020秋•孟津县期末）解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．【解答】解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），解得：y1＝，y2＝﹣．第三节配方法一、知识点归纳1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.二、课前预习1．（2021•泸县模拟）将一元二次方程x2﹣2x＝1配方，其正确的结果是（）A．（x+1）2＝2 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝2【解答】解：x2﹣2x＝1，配方得：x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2．故选：D．2．（2020秋•郁南县期末）一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝﹣6 D．（x+2）2＝﹣2【解答】解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，∴（x+2）2＝6．故选：A．3．（2020秋•兰陵县期末）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣6）2＝8【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x+9＝8，∴（x﹣3）2＝8，故选：A．4．（2020秋•费县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝11【解答】解：∵x2﹣4x﹣7＝0，∴x2﹣4x+4＝11，∴（x﹣2）2＝11，故选：D．三、典型例题例1（基础）（2020•闽侯县模拟）解方程：x2﹣6x﹣8＝0．【分析】利用配方法得到（x﹣3）2＝17，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2‒6x＝8，x2‒6x+9＝17，（x﹣3）2＝17，x﹣3＝±，所以x1＝3+，x2＝3﹣．例2（基础）（2019秋•天门期末）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．例3（提高）（2019秋•青浦区校级期中）用配方法解方程：2x2﹣6x﹣1＝0【分析】根据配方法解方程的步骤依次计算可得．【解答】解：∵2x2﹣6x＝1，∴x2﹣3x＝，∴x2﹣3x+＝+，即（x﹣）2＝，∴x﹣＝±，则x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．例4（提高）（2019秋•徐汇区校级月考）用配方法解方程：20x2+12x＝．【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：原方程化为：x2+x＝，∴x2+x+＝，∴（x+）2＝，∴x＝【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．例5（满分）（2020•泉港区一模）解方程：x2﹣4x＝1．【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：配方得x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，开方得x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．例6（满分）（2020•武汉模拟）解方程：x2﹣4x﹣3＝0．【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝，开方得x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．四、课堂作业1．（2020秋•沙依巴克区期末）一元二次方程x2+6x﹣6＝0配方后化为（）A．（x+3）2＝15 B．（x﹣3）2＝15 C．（x﹣3）2＝3 D．（x+3）2＝3【解答】解：∵x2+6x﹣6＝0，∴x2+6x+9＝15，∴（x+3）2＝15，故选：A．2．（2020秋•沈北新区期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0时，原方程应变形为（）A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣2）2＝8 C．（x+2）2＝0 D．（x+2）2＝8【解答】解：∵x2﹣4x﹣4＝0，∴x2﹣4x+4＝8，∴（x﹣2）2＝8，故选：B．3．（2020秋•乌苏市期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0时，原方程应变为（）A．（x﹣2）2＝9 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝9 D．（x+1）2＝9【解答】解：∵x2﹣2x﹣8＝0，∴x2﹣2x＝8，∴x2﹣2x+1＝9，∴（x﹣1）2＝9，故选：C．五、巩固练习1．（2020秋•遂宁期末）用配方法解一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5，则方程可变形为（）A．2（x﹣6）2＝43 B．（x﹣6）2＝43 C．2（x﹣3）2＝16 D．（x﹣3）2＝16【解答】解：∵2x2﹣12x﹣9＝5，∴2x2﹣12x＝14，x2﹣6x＝7，则x2﹣6x+9＝7+9，即（x﹣3）2＝16，故选：D．2．（2020秋•双阳区期末）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（）A．（x﹣3）2＝﹣14 B．（x+3）2＝﹣14 C．（x﹣3）2＝4 D．（x+3）2＝4【解答】解：x2﹣6x＝﹣5，x2﹣6x+9＝4，（x﹣3）2＝4．故选：C．3．（2020秋•渌口区期末）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3【解答】解：x2+2x＝1，x2+2x+1＝2，（x+1）2＝2．故选：A．第四节公式法一、知识点归纳1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，当时，.

2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

3.用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意符号）；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.二、课前预习1．（2020秋•北海期末）用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，则x＝＝＝3±2，故选：D．2．（2020秋•普宁市期末）用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：这里a＝3，b＝5，c＝1，∵△＝25﹣12＝13，∴x＝，故选：A．3．（2020秋•市北区期末）解方程：4x2﹣6x﹣3＝0．【解答】解：△＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84，x＝＝，所以x1＝，x2＝．4．（2021春•三水区校级月考）解方程：2x2﹣10x＝3．【解答】解：2x2﹣10x﹣3＝0，△＝（﹣10）2﹣4×2×（﹣3）＝124，x＝＝，所以x1＝，x2＝．三、典型例题例1（基础）（2019秋•玉田县期中）一元二次方程ax2+bx+c＝0（c≠0）的求根公式是（）A． B． C． D．【分析】根据求根公式即可求出答案．【解答】解：一元二次方程的求根公式为x＝，故选：A．例2（基础）（2019秋•行唐县期末）解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y＝﹣2或y＝；例3（提高）（2019秋•竞秀区期末）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴x＝（第三步）∴x1＝，x2＝（第四步）（1）小明解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是_______________________________．（2）写出此题正确的解答过程．【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）故答案为：一，原方程没有化成一般形式；（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．∴x＝【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．例4（提高）（2019秋•达川区期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：3x2﹣4x+2＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝2，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24，∴x＝＝，则x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式x＝是解题的关键．例5（满分）（2019秋•长白县期中）用公式法解方程：4x2+4x﹣1＝﹣10﹣8x．【分析】先将方程整理为一般式，再利用公式法求解可得．【解答】解：将方程整理为一般式，得：4x2+12x+9＝0，∵a＝4，b＝12，c＝9，∴△＝122﹣4×4×9＝0，则x＝＝﹣，即x1＝x2＝﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．例6（满分）（2019秋•黄浦区校级期中）解方程：3x2﹣16x+5＝0【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（3x﹣1）（x﹣5）＝0，3x﹣1＝0，x﹣5＝0，x1＝，x2＝5．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．四、课堂作业1．（2020秋•溆浦县期末）x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0【解答】解：A．此方程的解为x＝，不符合题意；B．此方程的解为x＝，不符合题意；C．此方程的解为x＝，符合题意；D．此方程的解为x＝，不符合题意；故选：C．2．（2020秋•上海期末）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．【解答】解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0，方程有两个不等的实数根，x＝＝，即x1＝+3，x2＝﹣3．3．（2021春•淮北月考）用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，则x＝＝，即x1＝，x2＝．五、课后作业1．（2020秋•江门期末）解方程：x2+5x+8＝2（x+4）．【解答】解：方程可化为：x2+3x＝0，x（x+3）＝0，解得，x＝﹣3或x＝0．2．（2020秋•江城区期末）用公式法解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，∴x＝＝＝，∴，．3．（2020秋•丘北县期末）解方程．（1）x2﹣4x+1＝0；（配方法）（2）2x2+x﹣1＝0．（公式法）【解答】解：（1）x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，解得，x1＝2+，x2＝2﹣；（2）2x2+x﹣1＝0．∵a＝2，b＝1，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝﹣1，x2＝．第五节因式分解法一、知识点归纳1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.二、课前预习1．（2020秋•南京期末）方程x2﹣x＝0的根为（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝0【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x﹣1＝0或x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，故选：B．2．（2020秋•南充期末）方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（）A．1 B．2 C．1和2 D．﹣1和﹣2【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2，故选：C．3．（2020秋•鼓楼区期末）方程x2﹣x＝0的解是（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝1 D．x1＝0，x2＝1【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故选：D．4．（2020秋•濮阳期末）方程x（x+3）＝0的解是（）A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝﹣2 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3【解答】解：∵x（x+3）＝0，∴x＝0或x+3＝0，解得x1＝0，x2＝﹣3，故选：C．三、典型例题例1（基础）（2019春•浏阳市期中）计算：选择适当方法解下列方程（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x＝3或x＝﹣1；（2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0或3x+2＝0，所以x1＝1，x2＝﹣．例2（基础）（2019秋•罗湖区校级期中）解方程（1）x2+x﹣3＝0（2）（2x+1）2＝3（2x+1）【分析】（1）先写出a，b，c的值，再计算△，然后用公式法求解即可；（2）先将原方程右边的移到左边，然后利用因式分解法进行分解即可．【解答】解：（1）∵x2+x﹣3＝0∴a＝1，b＝1，c＝﹣3∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝1+12＝13＞0∴x＝＝∴x1＝，x2＝．（2）∵（2x+1）2＝3（2x+1）∴（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0∴（2x+1）（2x+1﹣3）＝0∴（2x+1）（2x﹣2）＝0∴2x+1＝0或2x﹣2＝0∴x1＝﹣，x2＝1．【点评】本题考查了利用公式法和因式分解法解一元二次方程，属于基本计算能力的考查，难度不大．例3（提高）（2018秋•铜陵期末）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2【分析】（1）利用配方法将原方程变形，进而得出方程的解；（2）直接利用提取公因式法分解因式解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0x2﹣4x+4＝5（x﹣2）2＝5，则x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2．2（x﹣3）2﹣（3﹣x）（3+x）＝0，（3﹣x）[2（3﹣x）﹣（3+x）]＝0，（3﹣x）（3﹣3x）＝0，故3﹣x＝0或3﹣3x＝0，解得：x1＝3，x2＝1．【点评】此题主要考查了因式分解法解方程以及配方法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．例4（基础）（2019•洛宁县三模）解方程（1）（x﹣1）2＝2（2）x2﹣7x+6＝0【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）x﹣1＝∴x1＝1+x2＝1﹣（2）（x﹣6）（x﹣1）＝0，x﹣6＝0或x﹣1＝0，所以x1＝6，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是掌握因式分解法和直接开平方法．例5（满分）（2019春•南岗区校级期中）解方程：（1）x（x﹣3）＝6﹣2x（2）2x2﹣7x+3＝0【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x（x﹣3）＝6﹣2x，∴x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），∴（x+2）（x﹣3）＝0，∴x＝3或x＝﹣2．（2）∵2x2﹣7x+3＝0，∴（2x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x＝或x＝3．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．例2（满分）（2019秋•思明区校级期中）解方程（1）x2+6x＝0（2）x2﹣4x﹣3＝0【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+6x＝0，∴x（x+6）＝0，则x＝0或x+6＝0，解得x＝0或x＝﹣6；（2）∵x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，解得x﹣2＝±，∴x＝2+或x＝2﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．四、随堂练习1．（2021•红桥区模拟）方程x2+x﹣6＝0的两个根为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝3【解答】解：∵x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，则x+3＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2，故选：B．2．（2020秋•开封期末）方程x（x﹣1）+x﹣1＝0的解是（）A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝1【解答】解：∵x（x﹣1）+x﹣1＝0，∴（x﹣1）（x+1）＝0，则x﹣1＝0或x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，故选：D．3．（2020秋•南京期末）方程x2﹣x＝0的根为（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝0【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x﹣1＝0或x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，故选：B．4．（2020秋•平顶山期末）x2+3x＝0的解为（）A．x＝0 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3【解答】解：∵x2+3x＝0，∴x（x+3）＝0，∴x＝0或x+3＝0，∴x1＝0，x2＝﹣3．故选：C．5．（2020秋•蓬江区期末）方程x2﹣x＝0的解是（）A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．没有实数根【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，∴x1＝0，x2＝1，故选：C．五、课后作业1．（2020秋•沂水县期末）方程x（x﹣5）＝2（x﹣5）的解是（）A．﹣5 B．2 C．2或﹣5 D．2或5【解答】解：∵x（x﹣5）＝2（x﹣5），∴x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0，则（x﹣5）（x﹣2）＝0，∴x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝5，x2＝2，故选：D．2．（2021•邢台模拟）方程20（x+1）＝x（x+1）的解为（）A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1【解答】解：∵20（x+1）＝x（x+1），∴（x+1）﹣x（x+1）＝0，∴（x+1）（1﹣x）＝0，则x+1＝0或1﹣x＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝1，故选：D．3．（2020秋•高平市期末）一元二次方程x（x﹣1）＝x﹣1的根是（）A．1 B．﹣1 C．1和0 D．﹣1和0【解答】解：∵x（x﹣1）＝x﹣1，∴x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，则（x﹣1）2＝0，∴x﹣1＝0，解得x1＝x2＝1，故选：A．4．（2020秋•长垣市期末）方程x（x﹣2）＝2x的解是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝4【解答】解：∵x（x﹣2）＝2x，∴x（x﹣2）﹣2x＝0，∴x（x﹣4）＝0，则x＝0或x﹣4＝0，解得x1＝0，x2＝4．故选：D．一元二次方程综合练习题一．选择题（共3小题）1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（）A．﹣2 B．0，2 C．0，﹣2 D．2【解答】解：﹣x（x﹣2）＝0，﹣x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2．故选：B．2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（）A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x﹣＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2＝0【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；B．方程x2﹣x﹣＝0的两根之和为2，符合题意；C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；D．方程x2﹣2＝0的两根之和为0，不符合题意；故选：B．3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（）A．a≠5 B．a≥1 C．a＞1且a≠5 D．a≥1且a≠5【解答】解：由题意知，△＝（﹣4）2﹣4×（a﹣5）×（﹣1）≥0，且a﹣5≠0，解得：a≥1且a≠5，故选：D．二．解答题（共4小题）4．解方程（1）3x2﹣8x+4＝0；（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2【解答】解：（1）3x2﹣8x+4＝0，（3x﹣2）（x﹣2）＝0，∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，∴x1＝，x2＝2；（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，∴3x﹣4＝0或x+2＝0，∴x1＝，x2＝﹣2．5．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．【解答】解：a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2＝a3+2a2+a﹣a3﹣a2﹣3a﹣2＝a2﹣2a﹣2∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，∴a2﹣2a﹣4＝0，∴a2﹣2a＝4，∴原式＝4﹣2＝2．6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．【解答】（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4（m+1）＝（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵m是方程的一个实数根，∴m2+（m+3）m+m+1＝0．整理得：2m2+4m+1＝0解得：m＝．7．用适当的方法解方程：（1）3x2﹣2x＝0；（2）（x﹣1）2＝4；（3）x2+2x﹣5＝0；（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0；分解因式得：x（3x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝；（2）（x﹣1）2＝4；开方得：x﹣1＝±2，解得：x1＝3，x2＝﹣1；（3）x2+2x﹣5＝0，配方得：x2+2x+1＝6，即（x+1）2＝6，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；方程整理得：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣2）（2x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝2.5；（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15方程整理得：x2+x﹣3＝0，a＝1，b＝1，c＝﹣3∴b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣3）＝13，∴x＝；解得：x1＝，x2＝．7．用适当的方法解方程：（1）3x2﹣2x＝0；（2）（x﹣1）2＝4；（3）x2+2x﹣5＝0；（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15【解答】解：（1）3x2﹣2x＝0；分解因式得：x（3x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝；第六节根与系数的关系一、知识点归纳如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．二、课前预习1．（2020秋•鄂州期末）一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2020秋•遂宁期末）若一元二次方程5x﹣1＝4x2的两根为x1和x2，则x1•x2的值等于（）A．1 B． C． D．【解答】解：方程化为4x2﹣5x+1＝0，根据题意得x1•x2＝．故选：B． 3．（2020秋•东台市期末）方程x2﹣5x﹣6＝0的两根之和为（）A．﹣6 B．5 C．﹣5 D．1【解答】解：设方程的两根是x1、x2，那么有x1+x2＝﹣＝﹣（﹣5）＝5．故选：B．三、典型例题例1（2020•鼓楼区一模）已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝________，x1x2＝__________．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2和x1x2的值．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．故答案为：﹣2；﹣．例2（2020•泰兴市一模）一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情况是（）A．无实数根 B．有两个正根 C．有一个正根，一个负根 D．有两个负根【分析】先求出“△”的值，再根据根的判别式的内容得出即可．【解答】解：x2﹣4x+2＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，且x1+x2＝4＞0，x1•x2＝2＞0，∴有两个正根，故选：B．例3（2020•汉阳区校级模拟）已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是_______.【分析】设另一根为a，直接利用根与系数的关系可得到关于a的方程，则可求得答案．【解答】解：设方程的另一根为a，∵﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，∴﹣3+a＝4，解得a＝7，故答案为：7．【点评】本题有要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．例4（2019秋•五华县期末）若x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x1+x2+2x1x2的值为________．【分析】先利用根与系数的关系式求得x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，再整体代入即可求解．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根∴x1+x2＝﹣＝2，x1x2＝＝﹣1∴x1+x2+2x1x2＝2﹣2＝0．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2＝﹣，x1x2＝．例5（2020•玉泉区模拟）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1x2+10＝0，求m的值．【分析】（1）由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣3、x1x2＝m﹣1，结合2（x1+x2）+x1x2+10＝0可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：（1）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根，∴△＝32﹣4（m﹣1）＝13﹣4m≥0，解得：m≤．（2）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1．∵2（x1+x2）+x1x2+10＝0，即﹣6+（m﹣1）+10＝0，∴m＝﹣3．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合2（x1+x2）+x1x2+10＝0，找出关于m的一元一次方程．例6（2019秋•海陵区校级期中）已知一元二次方程的两根分别是3和0，则这个一元二次方程是（）A．x2+2x﹣15＝0 B．x2+3x＝0 C．x2﹣9＝0 D．x2﹣3x＝0【分析】根据根与系数的关系即可判断．【解答】解：∵一元二次方程的两根分别是3和0，∴x1+x2＝3，x1•x2＝0，∴这个一元二次方程是x2﹣3x＝0．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握根与系数的关系．四、课堂练习1．（2020秋•东莞市期末）已知一元二次方程x2﹣8x﹣c＝0有一个根为2，则另一个根为（）A．10 B．6 C．8 D．﹣2【解答】解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t＝8，解得t＝6，即方程的另一个根为6．故选：B．2．（2020秋•莒南县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是1，则另一个根是（）A．5 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7【解答】解：设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β，则有：α+β＝6，∵α＝1，∴β＝6﹣1＝5．故选：A．3．（2021•青羊区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若x1+x2＝3，则k的值为．【解答】解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得k＞；（2）根据题意得x1+x2＝2k+1，则2k+1＝3，解得k＝1．故答案为1．4．（2021•黄冈一模）设x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5．∵x1+x2﹣x1x2＝1，即﹣m﹣（﹣5）＝1，∴m＝4．故答案为：4．五、课后作业1．（2021•碑林区校级模拟）若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝．【解答】解：∵方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6，∴|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，∴|x1﹣x2|＝7，故答案为：7．2．（2021春•东湖区校级月考）已知m，n是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实数根，则＝．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实数根，∴m+n＝2，mn＝﹣4，∴＝＝﹣．故答案为：﹣．3．（2020秋•雅安期末）设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，＝4x1﹣1，∴＝4﹣x1，∴原式＝4﹣x1+4+x1﹣1＝4（+）﹣1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，故答案为：55第七节增长率问题一、知识点归纳列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

(2)降低率问题：

平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

二、课前预习1．（2021•长丰县模拟）一种商品原价100元，经过两次降价后的售价是60元，设平均每次降价的百分率为x，那么所列方程正确的是（）A．60（1+x）2＝100 B．60（1+2x）＝100 C．100（1﹣x）2＝60 D．100（1﹣2x）＝60【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意，得100（1﹣x）2＝60．故选：C．2．（2020秋•孟津县期末）某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x．则下面所列方程正确的是（）A．36（1﹣x）2＝48 B．36（1+x）2＝48 C．36（1﹣x）2＝48﹣36 D．48（1﹣x）2＝36【解答】解：依题意得：36（1+x）2＝48．故选：B．3．（2020秋•金台区期末）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（）A．y＝5（1+2x） B．y＝5x2 C．y＝5（1+x）2 D．y＝5（1+x2）【解答】解：依题意，得y＝5（1+x）2．故选：C．三、典型例题例1（2020•铁西区二模）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2018年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率．【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：（1﹣x）2＝0.25，解得：x＝0.5＝50%或x＝1.5（舍去）答：该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率为50%．【点评】本题考查一元二次方程的应用，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．例2（2019秋•薛城区期末）某药品原价为100元，连续两次降价a%后，售价为64元，则a的值为（）A．10 B．20 C．23 D．36【分析】可先用x表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于x的方程．【解答】解：当药品第一次降价%时，其售价为100﹣100a%＝100（1﹣a%）；当药品第二次降价x后，其售价为100（1﹣a%）2．∴100（1﹣a%）2＝64．解得：a＝20或a＝﹣180（舍去），故选：B．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于64即可．例3（2020•晋安区一模）随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的64元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（）A．年平均下降率为80%，符合题意 B．年平均下降率为18%，符合题意 C．年平均下降率为1.8%，不符合题意 D．年平均下降率为180%，不符合题意【分析】等量关系为：2年前的生产成本×（1﹣下降率）2＝现在的生产成本，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设年平均下降率为x，则可得：100（1﹣x）2＝64，通过解方程得到一个根为1.8，即x＝1.8＝180%，所以年平均下降率为180%，不符合题意，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．例4（2019秋•娄底期末）一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（）A．10% B．15% C．18% D．20%【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：100×（1﹣x）2＝81，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍，难度一般．例5（2020•安徽模拟）为执行“均衡教育“政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A．2500（1+2x）＝12000 B．2500（1+x）2＝1200 C．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000【分析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2017年投入教育经费+2017年投入教育经费×（1+增长率）+2017年投入教育经费×（1+增长率）2＝1.2亿元，据此列方程．【解答】解：设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2＝12000．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．四、课堂练习1．（2021春•滨江区校级月考）疫情期间，有3人确诊新型冠状肺炎，经过两轮传染后共有147人确诊新型冠状肺炎，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则（）A．3x2＝147 B．3（1+x）2＝147 C．3（1+x+x2）＝147 D．（3+3x）2＝147【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，依题意，得：3（1+x）2＝147，故选：B．2．（2020秋•舞钢市期末）自从国家实行“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富道路，据统计某地区2018年6月份有贫困人口2.85万人，通过社会各界的努力，2020年6月份统计贫困人口减少至0.73万人，若设2018年6月份到2020年6月份该地区贫困人口的年平均下降率为x，则根据题意可列方程为（）A．2.85（1﹣2x）＝0.73 B．0.73（1+x）2＝2.85 C．0.73（1+2x）＝2.85 D．2.85（1﹣x）2＝0.73【解答】解：依题意得：2.85（1﹣x）2＝0.73．故选：D．3．（2020秋•莘县期末）为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（）A．67500（1+2x）＝90000 B．67500×2（1+x）＝90000 C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2＝90000 D．67500（1+x）2＝90000【解答】解：依题意，得67500（1+x）2＝90000，故选：D．五、课后作业1．（2020秋•龙泉驿区期末）某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，可列方程为（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．81（1﹣x）2＝100 D．100+100（1﹣x）+100（1﹣x）2＝81【解答】解：依题意得：100（1﹣x）2＝81．故选：B．2．（2020秋•临清市期末）某小区2018年屋顶绿化面积为2000m2，计划2020年屋顶绿化面积要达到2880m2．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．2000（1+2x）＝2880 B．2000×（1+x）＝2880 C．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝2880 D．2000（1+x）2＝2880【解答】解：依题意得：2000（1+x）2＝2880．故选：D．3．（2020秋•承德县期末）某口罩加工厂2020年一月份口罩产值达50万元，第一季度总产值达175万元，若设二、三月份的月平均增长率为x，则由题意可列方程为（）A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175【解答】解：设二、三月份的月平均增长率为x，则二月份口罩产值为50（1+x）万元，三月份口罩产值为50（1+x）2万元，依题意得：50+50（1+x）+50（1+x）2＝175．故选：D．第八节利润问题一、知识点归纳利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

二、课前预习1．（2020秋•福州期末）某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（）A．（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680 B．（x﹣12）（360﹣40x）＝1680 C．（x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680 D．（16+x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680【解答】解：设售价应涨价x元，则：（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680，故选：A．2．（2020秋•宁德期末）某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，该玩具的单价每上涨1元，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元，则下列说法错误的是（）A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元 B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件 C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件 D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝3750【解答】解：设涨价x元，根据题意可得：A、∵（30+x）表示涨价后玩具的单价，∴A选项正确，不符合题意；B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B选项正确，不符合题意；C、∵（300﹣10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C选项正确，不符合题意；D、∵可列方程（30+x﹣20）（300﹣10x）＝3750，故D选项错误，符合题意，故选：D．3．（2020秋•鼓楼区期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为．【解答】解：由题意可得，（40﹣x）（20+2x）＝1250，故答案为：（40﹣x）（20+2x）＝1250．4．（2021春•长兴县月考）某商场销售一批衬衣，每件衬衣的进价为80元，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣的售价应为多少元？【解答】解：设每件衬衣降价x元，则每件衬衣的售价为（80+50﹣x）元，每件衬衣盈利（50﹣x）元，平均每天可售出（30+）＝（30+2x）件，依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，整理得：x2﹣35x+250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，又∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴x＝25，∴80+50﹣x＝105（元）．答：每件衬衣的售价应为105元．三、典型例题例1（2020•谷城县校级模拟）某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：（44﹣x）（20+5x）＝1600解方程得x＝4或x＝36，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴x＝36不合题意舍去，答：每件服装应降价4元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．例2（2019秋•平江县期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于20元，经调查发现．若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．（1）若每件衬衫降价4元，则每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天盈利1200元．则每件衬衫应降价多少元？【分析】（1）可直接根据每件的利润×销售量＝总利润，求出结果；（2）此题首先根据盈利1200元，列出一元二次方程：（20+2×x）×（40﹣x）＝1200，然后解出即可．【解答】解：（1）（20+2×4）×（40﹣4）＝1008元．答：商场每天销售这种衬衫可以盈利1008元．（2）设每件衬衫降价x元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利1200元，根据题意得：（20+2x）×（40﹣x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，（x﹣10）（x﹣20）＝0，解得：x1＝10，x2＝20，答：每件衬衫降价10元或20元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利1200元．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意找出题中的等量关系每件的利润×销售量＝总利润．例3（2019秋•龙岗区期末）某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨0.1元，月销售量就减少1kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？【分析】先根据销售利润＝每件利润×数量，再设出单价应定为x元，再根据这个等式列出方程，即可求出答案．【解答】解：设销售单价定为x元，根据题意得：（x﹣40）[500﹣（x﹣50）÷0.1]＝8000．解得：x1＝60，x2＝80当售价为60时，月成本[500﹣（60﹣50）÷0.1]×40＝16000＞10000，所以舍去．当售价为80时，月成本[500﹣（80﹣50）÷0.1]×40＝8000＜10000．答：销售单价定为80元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据销售利润＝每件利润×数量这个等式列出方程是解决本题的关键．例4（2019秋•澧县期末）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．（1）当售价为22万元/辆时，平均每周的销售利润为_______万元；（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【分析】（1）根据销售价减去进价等于利润，单件的利润乘以销售量即可求解；（2）根据销售利润等于单件利润乘以总销售量即为总利润．【解答】（1）根据题意，得（22﹣15）（8+6）＝98．故答案为98．（2）设每辆汽车降价x万元，则售价为（25﹣x）万元，根据题意，得（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90整理，得x2﹣6x+5＝0解得x1＝1，x2＝5．为了尽快减少库存，x＝5，25﹣x＝20．答：每辆汽车的售价为20万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．例5（2019秋•阜阳期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加______件，每件商品，盈利______元（用含x的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论；（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；（3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元．故答案为：2x；50﹣x．（3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2000，整理，得：x2﹣35x+250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，∵商城要尽快减少库存，∴x＝25．答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．四、课堂作业1．（2021•南昌模拟）洪城小超市以每千克42元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售．为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售．已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜18）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若洪城小超市要获利1920元，则这种干果每千克应降价多少元？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（2，120），（4，140）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100．（2）依题意得：（60﹣42﹣x）（10x+100）＝1920，整理得：x2﹣8x+12＝0，解得：x1＝2，x2＝6．∵要让顾客得到更多实惠，∴x＝6．答：这种干果每千克应降价6元．2．（2021•洪洞县二模）平遥牛肉久负盛名．据史料记载，清代时已誉满三晋．其制作工艺独特，用料讲究，所产牛肉营养丰富，具有扶胃健脾之功效