第四章图形的相似精讲精练 - 网课

贾老师数学同步辅导班讲义第4讲图形的相似第一节平行线分线段成比例一、知识点归纳1、比例性质：①；②（其中b叫做比例中项）2、更比性质(交换比例的内项或外项)：3、反比性质(把比的前项、后项交换)：．4、合、分比性质：．5、等比性质：如果，那么6、如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）7、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。二、课前预习1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F．若＝，则的值为（）A． B． C． D．2．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和D，E，F．若，DE＝4，则DF的长为（）A．10 B． C．12 D．143．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，AD＝3，BD＝2，则AE与EC的比是（）A．9：4 B．3：5 C．9：16 D．3：24．如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝4，BC＝8，则DF＝（）A．10 B．11 C． D．三、典型例题例1、如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（）A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5例2、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（）A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3例3、如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，且DE∥BC，DF∥AC，若AE：EC＝1：2，BF＝6，则DE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4例4、如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE＝（）A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4例题5、如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为（）A．9 B．5 C．4 D．3例6、如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝四、课堂作业1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，过点B的直线DE分别交l1，l3于点D，E．若AB＝2，BC＝4，BD＝3，则线段BE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．92．如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝9，BC＝6，DF＝10，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．73．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（）A． B． C． D．4．如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．9五、课后作业1．（2021•肥东县二模）如图，AB∥CD∥EF，下面等式成立的是（）A．AC•CE＝BD•DF B．AC•AE＝BD•BF C．AC•DF＝CE•BD D．CD2＝AB•EF2．（2020秋•开封期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（）A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：43．（2020秋•成华区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（）A． B． C． D．第二节相似多边形及性质一、知识点归纳一、相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.二、相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.三、相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.二、课前预习1．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm2．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：163．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16三、典型例题例题1、下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等边三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个直角三角形例2、下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个圆 B．任意两个等腰三角形 C．任意两个菱形 D．任意两个矩形例3、下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（）A．三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．圆例4、下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个矩形 B．都有内角是80°的两个等腰三角形 C．两个菱形 D．都有内角是100°的两个等腰三角形例5、两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16例6、若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16四、课堂作业1．下列说法中，错误的是（）A．全等图形一定是相似图形 B．两个等边三角形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似2．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（）A．没有发生变化 B．放大了10倍 C．放大了30倍 D．放大了100倍3．下列各组图形中，一定相似的是（）A．两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．两个平行四边形 D．两个菱形4．下列说法错误的是（）A．等边三角形都相似 B．矩形都相似 C．等腰直角三角形都相似 D．正方形都相似五、课后作业1．下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似 B．两个含45°角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含30°角的直角三角形必相似2．若两个相似六边形的周长的比是3：2，其中较大一个六边形的面积为81，则较小一个六边形的面积为．3．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似．其中说法正确的序号是．第三节相似三角形的判定一、知识点归纳一、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.

（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.

（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.

三、直角三角形相似判定定理

斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.四、相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．二、课前预习1．如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，若AB＝10，AE＝8，DE＝6，则BC的长为（）A． B． C． D．2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2DB，DE＝2，则BC＝（）A．6 B．5 C．4 D．33．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝4，则＝（）A． B． C． D．4．如图，DE是△ABC的中位线，则的值为（）A． B． C． D．三、典型例题例1、如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（）A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD例2、如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF、BE．求证：△ABE∽△DEF．例3、如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．例4、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是上AB一点，连接DE，BD2＝BC•BE．证明：△BCD∽△BDE．例5、如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；求证：△EBF∽△FCG．例6、如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．四、课堂练习1．（2021•温江区校级模拟）如图，在△ABC中，点D为AB上一点，且，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，下列结论正确的是（）A． B． C． D．2．如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC分成三部分，且DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（）A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：43．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．6 C．4 D．44．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD延长线上一点，BE与AD交于F，若CD＝2DE，则等于（）A． B． C． D．五、课后作业1．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：AB＝（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：22．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A． B． C． D．3．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AE：EC＝1：4，那么S△ADE：S△EBC＝（）A．1：24 B．1：20 C．1：18 D．1：16第四节相似三角形的综合应用一、课前预习1．为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这条河的大致宽度是（）A．90m B．60m C．100m D．120m2．张华同学的身高为160厘米，某一时刻他在阳光下的影子长为200厘米，与他相邻近的一棵树的影子长为6米，则这棵树的高为（）米．A．3.2 B．4.8 C．5.2 D．5.63．小明身高是1.6m，影长为2m，同时刻教学楼的影长为24m，则楼的高是．二、典型例题例1、如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（）A．5m B．6m C．125m D．4m例2《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（）尺．A．50 B．45 C．5 D．4.5例3、如图，小芳在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离BE＝20米，镜子与小芳的距离ED＝2米时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A，已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5米，铁塔AB的高度为（）（根据光的反射原理，∠1＝∠2）A．18m B．15m C．20m D．16m例4、如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE＝1.2m．测得AB＝1.6m．BC＝18.4m．则建筑物的高CD＝（）A．13.8m B．15m C．18.4m D．20m例5、如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m．若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．2πm2 D．3.24πm2例6、已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6m，并测得BC＝2.2m，CA＝0.8m，那么树DB的高度是（）A．6m B．5.6m C．5.4m D．4.4m二、课堂练习1．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（）A．6.4m B．7m C．8m D．9m2．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m3．小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的