第一章特殊的平行四边形精讲精练

第一章特殊的平行四边形第一节：菱形一、知识点归纳一、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

二、菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

三、菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．

②菱形面积=（a、b是两条对角线的长度）四、菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；

②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．

几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

二、课前预习1．在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE＝（）A．70° B．40° C．75° D．30°【解答】解：在菱形ABCD∵∠ABC＝80°，∴∠ABD＝40°．∵BA＝BE，∴∠BAE＝＝70°．故选：A．2．在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（）A．AO＝CO B．AO＝BO C．AO⊥BO D．AB⊥BC【解答】解：添加AO⊥BO，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，AO⊥BO，∴▱ABCD为菱形，只有选项C正确；选项A、B、D都错误；故选：C．3．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（）A．20 B．24 C．40 D．48【解答】解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：A．4．下列说法中不正确的是（）A．对角线垂直的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等【解答】解：A．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；B．四边相等的四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．三、典型例题例题1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列结论中不一定成立的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC【分析】利用菱形的性质邻边相等、对角线互相垂直且平分进而分析即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OA＝OC，AC⊥BD，无法得出AC＝BD，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，故选：B．例题2、在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC＝90° B．AB＝CD C．AC⊥BD D．AB∥CD【分析】根据四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断．【解答】解：因为四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，因为AC⊥BD，所以平行四边形ABCD是菱形．故选：C．例题3、在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为C，交BC于点E，若AC＝，AE＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．5 B．4 C．2 D．3【分析】由三角形面积得出＝＝，设BC＝x，则OB＝2x，在Rt△OBC中，由勾股定理得出方程，解方程得出BC＝，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，∵AE⊥BC，∴△ABC的面积＝BC×AE＝AC×OB，∴＝＝，设BC＝x，则OB＝2x，在Rt△OBC中，由勾股定理得：（x）2﹣（2x）2＝（）2，解得：x＝，∴BC＝，∴菱形ABCD的面积＝BC×AE＝×2＝5；故选：A．例题4、如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE，添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（）A．∠BAD＝∠BDA B．AB＝DE C．DF＝EF D．∠BDC＝∠BAD【分析】由AAS证明△ADF≌△BEF得出AD＝BE，证出四边形AEBD是平行四边形，再证出BD＝BE，即可得出结论．【解答】解：添加一个条件∠BDC＝∠BAD，使四边形AEBD是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠C，∴AD∥BE，∴∠ADF＝∠BEF，∵点F是AB的中点，∴AF＝BF，在△ADF和△BEF中，，∴△ADF≌△BEF（AAS），∴AD＝BE，又∵AD∥BE，∴四边形AEBD是平行四边形，∵∠BDC＝∠BAD，∠BAD＝∠C，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∵AD＝BC，AD＝BE，∴BD＝BE，∴四边形AEBD是菱形；故选：D．例题5、如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD为菱形，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），点C，D分别在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A． B．4 C．4 D．20【分析】根据题意和勾股定理可得AB长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），∴OA＝2，OB＝1，∴AB＝＝，∴菱形ABCD的周长等于4AB＝4．故选：C．例题6、在如图所示的网格中，已知线段AB，现要在该网格内再确定格点C和格点D，某数学探究小组在探究时发现以下结论，以下结论不正确的是（）A．将线段AB平移得到线段CD，使四边形ABDC为正方形的有2种 B．将线段AB平移得到线段CD，使四边形ABDC为菱形的（正方形除外）有3种 C．将线段AB平移得到线段CD，使四边形ABDC为矩形的（正方形除外）有2种 D．不存在以AB为对角线的四边形ACBD是菱形【分析】根据正方形和菱形的性质判断即可．【解答】解：A、将线段AB平移得到线段CD，使四边形ABDC为正方形的有2种，正确，不符合题意；B、将线段AB平移得到线段CD，使四边形ABDC为菱形的（正方形除外）有3种，正确，不符合题意；C、将线段AB平移得到线段CD，不存在使四边形ABDC为矩形的，错误，符合题意；D、不存在以AB为对角线的四边形ACBD是菱形，正确，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形、正方形的性质画出图形解答．四、课堂练习1．（2020春•越秀区期末）若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（）A．96 B．48 C．24 D．12【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴S＝×6×8＝24．故选：C．2．（2020春•迁西县期末）如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40°【解答】解：∵∠1＝50°，∠2＝20°，∴∠BCD＝110°，在菱形ABCD中，BC＝CD，∴∠BDC＝35°，故选：C．3．（2020秋•金台区期中）菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（）A．20，48 B．14，48 C．24，20 D．20，24【解答】解：如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝＝5，∴此菱形的周长是：5×4＝20，面积是：×6×8＝24．故菱形的周长是20，面积是24，故选：D．4．（2021•北海一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为．【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AB＝5，∴AB＝10，∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；故答案为：40．5．（2020秋•文山市期末）已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为．【解答】解：BD＝8，则BO＝DO＝4，菱形周长为20，则AB＝5，菱形对角线互相垂直平分，∴OA2+OB2＝AB2，AO＝3，AC＝6，故菱形的面积S＝×6×8＝24．故答案为24．五、课后作业1．（2020秋•金台区期中）菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（）A．20，48 B．14，48 C．24，20 D．20，24【解答】解：如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝＝5，∴此菱形的周长是：5×4＝20，面积是：×6×8＝24．故菱形的周长是20，面积是24，故选：D．2．（2020秋•陕西期中）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）若AB＝5，求AC的长．【解答】（1）证明：∵∠ADF＝∠BAD，∴AB∥DF，∵AF⊥AC，BD⊥AC，∴AF∥BD，∴四边形ABDF是平行四边形；∵DA平分∠BDF，∴∠ADF＝∠BDA，∴∠BAD＝∠BDA，∴BD＝AB，∴四边形ABDF是菱形．（2）解：∵DA平分∠BDF，∴∠ADF＝∠BDA，∵BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，∵FA＝FD，∴△ADF是等边三角形，∴AF＝DF＝CD＝5，∵∠FAC＝90°，∴AC＝＝5．第二节矩形一、知识点归纳一、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．二、矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

三、由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）二、课前预习1．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝（）A．20° B．40° C．80° D．100°【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB＝OA＝OC，∵∠OAD＝40°，∴∠ODA＝∠OAD＝40°，∴∠COD＝∠ODA+∠OAD＝40°+40°＝80°，故选：C．2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，BO＝4，则矩形的边BC的长是（）A．6 B．8 C．6 D．4【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AO＝BO＝CO＝4，∠ABC＝90°∴AC＝8∵∠BOC＝120°，AO＝BO∴∠OAB＝∠OBA＝60°∴△AOB为等边三角形∴AB＝BO＝4在Rt△ABC中，BC＝＝4故选：D．3．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝4，故选：A．4．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E是CD的中点，已知AB＝5，OE＝6，则AC的长为（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴O为BD的中点，∵E为CD的中点，∴OE为△ABC的中位线，∵OE＝6，∴BC＝2OE＝12，∵AB＝5，∴AC＝＝13，故选：D．三、典型例题例题1、矩形不具备的性质是（）A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直【分析】依据矩形的性质进行判断即可．【解答】解：矩形不具备的性质是对角线互相垂直，故选：D．例题2、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，即可得出结论．【解答】解：矩形的对边平行且相等、四个角都是直角、对角线互相平分且相等；平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，但对角线不一定相等．故选：B．例题3、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（）A．6 B．8 C． D．【分析】根据等边三角形的性质首先证明△AOB是等边三角形即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴OA＝AB＝4，∴AC＝2OA＝8，故选：B．例题4、如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，DF⊥AE于F，若EF＝CE＝1，AB＝3，则线段AF的长为（）A．2 B．4 C． D．3【分析】根据四边形ABCD是矩形，EF＝CE，DF⊥AE，证明△DFE≌△DCE，即可得到DF＝DC，进而得出AE＝AD，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：连接DE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADE＝∠DEC，∵DF⊥AE，∴∠DFE＝90°，∵FE＝CE，∵DE＝DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF＝DC，∠FED＝∠DEC，∴∠FED＝∠ADE，∴AE＝AD，∴BE＝BC﹣EC＝AE﹣EC，在Rt△ABE中，设AE为x，由勾股定理可得：AB2+BE2＝AE2，即32+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝5，所以AE＝5，∴AF＝AE﹣EF＝5﹣1＝4，故选：B．例题5、如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，BD＝12，则EF的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】连接AC，由矩形的性质可得AC＝BD＝12，由三角形中位线定理可求EF的解．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝12，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF＝AC＝6，故选：A．例题6、如图，在矩形ABCD中放置了一个直角三角形EFG，∠EFG被AD平分，若∠CEF＝35°，则∠EHF的度数为（）A．55° B．125° C．130° D．135°【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠AFE＝∠CEF＝35°，根据角平分线的定义得到∠GFH＝∠CEF＝35°，根据平角的定义即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF＝35°，∵∠EFG被AD平分，∴∠GFH＝∠CEF＝35°，∵∠G＝90°，∴∠GHF＝90°﹣35°＝55°，∴∠EHF＝180°﹣55°＝125°，故选：B．四、课堂练习1．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC【解答】解：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形．故选：B．2．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD；理由如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．3．请你在一张长为18cm、宽为16cm的矩形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，且等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上，你剪下的等腰三角形的面积是cm2．【解答】解：如图四边形ABCD是矩形，AD＝18cm，AB＝16cm；本题可分三种情况：①如图1：△AEF中，AE＝AF＝10cm；S△AEF＝•AE•AF＝50cm2；②如图2：△AGH中，AG＝GH＝10cm；在Rt△BGH中，BG＝AB﹣AG＝16﹣10＝6cm；根据勾股定理有：BH＝8cm；∴S△AGH＝AG•BH＝×8×10＝40cm2；③如图3：△AMN中，AM＝MN＝10cm；在Rt△DMN中，MD＝AD﹣AM＝18﹣10＝8cm；根据勾股定理有DN＝6cm；∴S△AMN＝AM•DN＝×10×6＝30cm2．故答案为30或40或50．4．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，∵OE＝1，CE⊥BD，∴由勾股定理可知：CE＝1，故答案为：1．五、课后作业1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5【解答】解：如图，连接OP，∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD＝×10＝5，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP，∴××6×8＝×5•PE+×5•PF，解得PE+PF＝4.8．故选：B．2.矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为．【解答】解：在矩形ABCD中A（﹣3，2），C（0，4），B（0，2）．∴点D的横坐标为﹣3，纵坐标为4．∴点D的坐标为（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．3．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝．【解答】解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝2，∴AB＝2CD＝2×2＝4，故答案为：4．4．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．【解答】（1）解：相等；理由是：∵直线l∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OF＝OC，∴OE＝OF．（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，理由是：∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵OE＝OF＝OC＝OA，∴AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形．第三节正方形一、知识点归纳一、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

二、正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．三、正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．二、课前预习1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．故选：D．2．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．非以上答案【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形．对角线互相平分且相等的四边形是矩形．故选：B．3．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【解答】解：A、只有两组对边平行的四边形是平行四边形，故此选项错误；B、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项错误；C、四条边相等的四边形是菱形，此选项正确；D、根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误；故选：C．4．下列说法正确的是（）A．正方形的每一条对角线平分一组对角 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个内角都是直角 D．平行四边形是轴对称图形【解答】解：A．正方形的每一条对角线平分一组对角，故A选项符合题意；B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；C．菱形的四个内角不一定都是直角，故C选项不符合题意；D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；故选：A．5．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（）A．15° B．32.5° C．22.5° D．30°【解答】解：∵AC、BD是正方形ABCD对角线，∴∠BAE＝∠ABD＝45°，又AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∴∠DBE＝67.5°﹣45°＝22.5°，故选：C．

三、典型例题例题1、下列说法正确的是（）A．四边都相等的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形四边形是菱形【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可．【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故不符合题意；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故不符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故符合题意；D、对角线相等的平行四边形四边形是矩形，故不符合题意．故选：C．例题2、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．每一条对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直【分析】先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质．【解答】解：因为矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．故选：A．例题3、下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B，C，D错误，故选：A．例题4、如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为（）A．2﹣2 B．﹣1 C．2﹣ D．﹣1【分析】根据正方形的性质和角平分线的性质，可以得到∠BCE和∠BEC的度数，根据勾股定理，可以得到BD的长，然后即可得到DE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝BC＝CD＝DA＝1，∴∠BCD＝90°，∴BD＝＝，∵AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACD，∴∠BCE＝67.5°，∠DCE＝22.5°，∵∠BEC＝∠EDC+∠DCE＝45°+22.5°＝67.5°，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∵BC＝1，∴BE＝1，∴DE＝BD﹣BE＝﹣1，故选：D．例题5、如图，正方形ABCD和▱AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和▱AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定【分析】连接BD交AC于O，根据正方形以及平行四边形的面积计算公式，即可得到S1、S2的大小关系．【解答】解：如图所示，连接BD交AC于O，则AC⊥BD，正方形ABCD的面积S1＝AC×BD＝AC×BO，▱AEFC的面积S2＝AC×BO，∴S1＝S2，故选：B．例题6、如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（）A． B． C． D．【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．【解答】解：连接AE，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．作点A关于BC的对称点H点，如图2，连接BH，则A、B、H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．根据对称性可知AE＝HE，所以AE+DE＝DH．在Rt△ADH中，DH＝，∴BF+DE最小值为．故选：D．四、课堂作业1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，则AC的长是．【解答】解：连接BD，如图所示：∵E、F分别是AB，AD的中点，且EF＝2，∴EF是△ABD的中位线，∴BD＝2EF＝2×2＝4，∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴AC＝BD＝4．故答案为：42．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为16，则OH的长等于．【解答】解：∵正方形ABCD的周长为16，∴BC＝4，又∵O是正方形对角线的交点，∴O是BD的中点，∵H是CD边的中点，∴OH是△DBC的中位线，∴OH＝BC＝2．故答案为：2．3．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠E＝．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，故答案为：22.5°．4．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°．5．若正方形ABCD的边长为12，E为BC边上一点，BE＝5，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM长为．【解答】解：如图，∵正方形的边长为12，BE＝5，∴AE＝＝13，①点F在CD上时，如图1，在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BME＝90°，∴BF⊥AE，∴S△ABE＝×13•BM＝×12×5，解得BM＝；②点F在AD上时，如图2，在Rt△ABE和Rt△BAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），∴AF＝BE，连接EF，则四边形ABEF是矩形，∴BM＝AE＝，综上所述，BM的长为或．故答案为：或．五、课后作业1．如图，E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC中点．求证：AE＝AF．【解答】证明：∵正方形ABCD，∴∠D＝∠B，AD＝AB＝DC＝BC，∵E、F分别为边DC、BC中点，∴DE＝DC，BF＝BC，∴DE＝BF，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS），∴AE＝AF．2．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．【解答】解：在Rt△AEF和Rt△ABF中，，∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），∴FE＝FB．∵正方形ABCD，∴∠ACB＝∠BCD＝45°，在Rt△CEF中，∵∠ACB＝45°，∴∠CFE＝45°，∴∠ACB＝∠CFE，∴EC＝EF，∴FB＝EC＝EF．3．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝CF+AE；（2）当AE＝2时，求EF的长．【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，∴F、C、M三点共线，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，∴EF＝CF+AE；（2）解：设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，则EF＝5．4．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．【解答】解：证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．综合练习1．如图，菱形ABCD对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形高DE长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm【解答】解：∵菱形ABCD对角线AC＝8cm，BD＝6cm，∴AC⊥BD，OA＝AC＝×8＝4cm，OB＝BD＝×6＝3cm，根据勾股定理，AB＝＝5cm，菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AB•DE，即×8×6＝5DE，解得DE＝4.8cm．故选：C．2．在菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（）A．2 B．4 C．1 D．2【解答】解：如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∵菱形ABCD的周长为8，∴AB＝2，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAB：∠ABC＝1：2，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝2，∵在Rt△OAB中，∠OAB＝∠DAB＝30°，∴OB＝1，OA＝OB＝，∴