高考数学数列知识点总结题型归纳

数列一、与数列有关的概念1、数列的定义：2、数列的项：3、数列中项的特性：4、项数：5、数列的分类：（1）数列按项数分为：（2）数列按单调性分为：（3）证明一个数列是递增数列，需要证；证明一个数列是递减数列，需要证明；6、数列的一般形式可以写成，简记为。7、数列的通项公式：8、数列的递推公式：9、数列的前n项和公式：10、数列前n项和Sn与通项an之间的关系：。二、等差数列1、等差数列的定义：2、等差数列的定义式（递推公式）：3、等差数列的通项公式：；通项公式的推论公式：；从等差数列的通项公式来看，等差数列的项与项数之间的关系呈现函数关系。4、等差中项的概念：；5、等差中项的推论：6、等差数列前n项和公式：；；从等差数列的前n项和公式来看，等差数列的前n项和与项数n之间的关系呈现函数关系。7、等差数列前n项和公式推导过程（倒序相加法求和）：。eg：设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________。8、三个数成等差数列，这设这三个数分别为四个数成等差数列，则设这四个数分别为9、识别与证明等差数列的方法：（1）定义法：证明数列是等差数列的常用方法，（证明、识别）（2）通项公式法：（识别）（3）前n项和公式法：（识别）（4）等差中项法：（识别）10、等差数列的性质（举例理解），若{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．则：（1）等间距的抽取，仍是等差数列；eg：在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝（2）等长度的截取，也成等差数列；eg：已知Sn为等差数列an的前n项之和，且S3=15，S6（3）若、是等差数列，则{pan＋qbn+s}也是等差数列。（4）若是等差数列的前n项和，则，推导过程如下：。（5）若、分别是等差数列、的前n项和，则。此处有两个题型。eg：设等差数列、前n项和分别为、，若。则，。（6）算术平均数：若an是等差数列，则也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的（7）若项数n为偶数，则；若项数n为奇数，则；等差数列单调性与前n项和最值问题，若an为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和eg：已知等差数列的前项和为，若，则取最大值时的值是。eg：已知等差数列an的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d等于eg：在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为。三、等比数列1、等比数列的定义：2、等比数列的定义式（递推公式）：3、等比数列的通项公式：；等比数列通项公式的推论：。4、等比中项的概念：注意：只有的两个数才有等比中项，的两个数没有等比中项。eg：若成等比数列，则y的值为。5、等比中项的推论：6、等比数列前n项和公式：；。7、等比数列前n项和公式推导过程（乘公比错位相消法）：（注意格式，加号、等号对齐）8、三个数成等比数列，这设这三个数分别为四个数成等比数列，则设这四个数分别为9、识别与证明等比数列的方法：①②③④10、等比数列的性质（举例理解），若{an}为等比数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．则：（1）等间距的抽取，仍是等比数列。（2）等长度的截取，也成等差数列。（3）若、是等比数列，则等也是等比数列．（4）若项数为偶数，则eq\f(S偶,S奇)＝q；若项数n为奇数，则eq\f(S奇－a1,S偶)＝q.11、等比数列单调性，若{an}为等比数列，a1为首项，q为公比（1）若公比q＜0，则数列{an}为（2）若公比q=1，则数列{an}为（3）若，则数列{an}为（4）若，则数列{an}为（5）若，则数列{an}为（6）若，则数列{an}为12、等比数列前n项积最值问题，若{an}为等比数列，a1为首项，q为公比，Tn是前n项之积。（1）若正向等比数列满足，且，则当n=m时，Tn有最小值。（2）若正向等比数列满足，且，则当时，Tn有最小值。（3）若正向等比数列满足，且，则当n=m时，Tn有最值。（4）若正向等比数列满足，且，则当时，Tn有最值。四、数列求通项公式的方法1、累加法，适用于：，累加法是最基本的三个方法之一。eg：已知数列满足，求数列的通项公式。【答案：】eg：已知数列满足，求数列的通项公式。【答案：】2、累乘法，适用于：，累加法是最基本的三个方法之一。eg：已知数列{}中，，求数列的通项公式。【答案：】eg：设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.【答案：】3、构造等比数列求通项公式（待定系数法），适用于：，待定系数法是最基本的三个方法之一。（1）形如的递推公式，构造成；eg：已知数列中，，求数列的通项公式。【答案：】eg：已知数列中，求通项。【答案：】（2）形如的递推公式，构造成；eg：在数列中，求通项.【答案：】eg：在数列中，,求通项.【答案：】（3）形如的递推公式，构造成；eg：已知数列满足，求数列的通项公式。【答案：】（4）形如的递推公式，构造成的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。eg：已知数列满足，求数列的通项公式。【答案：】eg：数列中，若,且满足,求.【答案：】（5）形如的递推公式，构造成；eg：已知数列满足，求数列的通项公式。【答案：】4、阶差法（1）已知求eg：已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为【答案】an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2))（2）递推公式中既有eg：记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则an＝________.【答案：－2n-1】eg：已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。【答案：】（3）对无穷递推数列eg：设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________.【答案：eq\f(2,2n－1)】5、取对数法，适用于(其中p,r为常数)型，（p>0，）eg：设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式。【答案：】eg：数列中，，（n≥2），求数列的通项公式。【答案：】五、求数列前n项和的方法1、乘公比错位相减法，求数列的前n项和，其中分别是。eg：已知，求数列的前n项和.【答案：】eg：数列的前n项和为。【答案：】2、裂项求和eg：求数列的前n项和.【答案：】eg：数在数列中，，又，求数列的前n项的和.【答案：】eg：。【答案：】3、倒序求和eg：求的值。【答案：S＝44.5】eg：求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值。【答案：0】考点01等差数列及其前n项和1．记为等差数列的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．2．已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．3．记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．154．已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．5．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（

）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．8．记为等差数列的前n项和．已知，则A． B． C． D．9．设为等差数列的前项和，若，，则A． B． C． D．10．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2C．4 D．811．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（）若

A．是等差数列B．是等差数列C．是等差数列D．是等差数列12．在等差数列中，若=4，=2，则=A．-1 B．0 C．1 D．613．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则A． B． C． D．14．设是等差数列的前项和,若,则A． B． C． D．15．记为等差数列的前n项和，若，，则.16．记为等差数列的前n项和．若，则公差．17．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为．18．记为等差数列的前n项和．若，则．19．已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是.20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=，Sn的最小值为．21．记为等差数列的前项和，若，则.22．记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则.23．设是等差数列，且，，则的通项公式为．24．已知为等差数列，为其前n项和，若，，则.25．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是.26．在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.27．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．28．已知数列中，，（），则数列的前9项和等于.29．设是数列的前项和，且，，则．考点02等比数列及其前n项和1．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．402．已知数列的前n项和为，若，则（

）A．16 B．32 C．54 D．1623．记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．4．已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．35．记为等比数列的前n项和.若，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．106．设是等比数列，且，，则（

）A．12 B．24 C．30 D．327．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（

）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–18．数列中，，对任意，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．59．已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则A． B．C． D．10．已知等比数列满足，，则A． B． C． D．11．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．12．已知为等比数列，，，则.13．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=．14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=．15．设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=．16．若等差数列和等比数列满足，，则.17．等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知=，=，则=．18．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝，S5＝．19．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．20．数列中为的前n项和，若，则.21．设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则.22．若三个正数，，成等比数列，其中，，则．23．已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.考点03等差数列的通项公式及前n项和1．记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．2．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．3．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．5．记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．6．等差数列{}中，.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.考点04等比数列的通项公式及前n项和1．设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．2．已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.3．等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．4．记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．考点05等差等比综合1．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．2．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．3．设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．4．已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求和：．5．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.6．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式．7．已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.(Ⅰ)求和的通项公式；(Ⅱ)设，，求数列的前项和.考点06数列通项公式的构造1．记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．2．已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.3．设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．4．记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．5．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．6．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明7．已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.8．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．9．记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.10．设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．11．已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.12．已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式．13．已知数列的前n项和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令.求数列的前n项和.14．已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项.（Ⅰ）设，求证：是等差数列；（Ⅱ）设，求证：15．已知是等比数列，前n项和为，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.16．已知数列的前n项和，其中．（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若，求．17．已知各项都为正数的数列满足，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的通项公式.18．已知是公差为3的等差数列，数列满足．（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求的前n项和．19．在数列中，（1）若求数列的通项公式；（2）若证明