北师大版数学 寒假作业04 基本平面图形（梳理讲练培优） 同步练习 含答案

基本平面图形（2大知识点5大考点18类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点1】直线、射线、线段直线，射线与线段的区别与联系2.基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线．(2)线段的性质:两点之间，线段最短．3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：【知识点2】角1．角的度量（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：（3）角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.（4）角的分类∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°（5）画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.2．角的比较与运算（1）角的比较方法:①度量法；②叠合法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地，还有角的三等分线等.3．方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.考点与题型目录【考点一】直线、射线、线段【题型1】直线、射线、线段的辨析.............................................3【题型2】直线、射线、线段的数量与直线相交的交点个数.........................4【题型3】尺规作图——画线段、射线、直线.....................................5【题型4】直线、线段的基本性质...............................................5【考点二】与线段有关的计算【题型5】线段和与差与线段中点的辨析.........................................6【题型6】线段和与差与线段中点的运算.........................................6【题型7】探究线段间的数量关系...............................................7【题型8】与线段有关的动点问题...............................................7【题型9】两点之间的距离.....................................................8【考点三】角的概念【题型10】角的概念理解与表示方法............................................9【题型11】钟面角...........................................................10【题型12】方向角...........................................................10【考点四】角的比较与运算【题型13】角的比较.........................................................11【题型14】与角平分线有关计算...............................................11【题型15】三角板中角的计算.................................................12【题型16】旋转图形中角的计算...............................................13【考点五】多边形和圆的初步认识【题型17】多边形的截角.....................................................14【题型18】多边形对角线条数及对角线分成三角形的个数规律.....................14第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直线、射线、线段的辨析【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图各图中，表示线段、射线的是（）A．

B．

C．

D．

【变式1】（2024七年级上·山西·专题练习）如图，下列说法正确的是（

）A．点在射线上B．直线比直线长C．线段与线段是同一条线段D．射线与射线是同一条射线【变式2】（2024七年级上·山东·专题练习）观察图形，下列说法正确的有个．直线和直线AB是同一条直线；线段BD和线段DB是两条不同的线段；射线和射线AD是同一条射线．【题型2】直线、射线、线段的数量与直线相交的交点个数【例2】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（

）A．6个 B．1个或4个 C．6个或4个 D．1个或4个或6个【变式1】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）在一条线段中间另有个点，则这个点可以构成（

）条线段．A． B． C． D．【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是直线l上的三个点．（1）图中以点B为端点的射线有条，分别是；（2）直线l还可以表示为．【题型3】尺规作图——画线段、射线、直线【例3】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（

）A．画线段厘米 B．画射线厘米C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（）A． B． C． D．【题型4】直线、线段的基本性质【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）下列4个现象中，可用事实“两点之间，线段最短”来解释的有（

）①用两个钉子就可以把木条固定在墙上．②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．④把弯曲的公路改直就能缩短路程．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是（

）A．从张庄去李庄走直线最近B．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉C．数轴是一条特殊的直线D．一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是（填序号）．【题型5】线段和与差与线段中点的辨析【例5】．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（

）

A． B．当点C为的中点时，C．如果，那么 D．如果，那么【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（

）A． B． C． D．【题型6】线段和与差与线段中点的运算【例6】（23-24七年级上·山西晋城·阶段练习）综合与实践【基础巩固】（1）如图1，点，，都在线段上，，是的中点，则图中共有线段__________条．【深入探究】（2）在（1）的条件下，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．

【拓展提高】（3）如图2，在（2）的基础上，是的中点，若，求的长．

【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（

）A． B． C．或 D．或【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：①③若，则；④若，则上述结论中，所有正确结论的序号是．【题型7】探究线段间的数量关系【例7】（22-23七年级上·河南许昌·期末）如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，．(1)求线段的长度．(2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为．(3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果．【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（

）A． B． C． D．【变式2】（22-23七年级上·广东东莞·期末）如图，将一根绳子对折一次后用线段表示，点在上，且，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最短的一段为，则这条绳子的原长为．【题型8】与线段有关的动点问题【例8】（19-20七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）(1)若，当点C、D运动了，求的值．(2)若点C、D运动时，总有，直接填空：___________．(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．【变式1】（20-21七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（）A． B． C． D．【变式2】（19-20七年级上·湖北武汉·期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为（用a，b的式子表示）．【题型9】两点之间距离【例9】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）阅读感悟：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，一条直线上有A、B、C、D四点，线段，点C为线段的中点，线段，请你补全图形，并求的长度．以下是小华的解答过程：解：如图2，因为线段，点C为线段的中点，所以____________．因为，所以______．小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点D在线段上，事实上，点D还可以在线段的延长线上．完成以下问题：(1)请填空：将小华的解答过程补充完整；(2)根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度．【变式1】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，，则（

）A．6或 B．6或2 C．6或3 D．2【变式2】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，线段，点分别是线段和线段的中点，则线段的长为．【题型10】角的概念理解与表示方法【例10】（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于角的说法中，正确的个数为（

）①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．A．0 B．1 C．2 D．3【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列选项中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（

）A． B． C． D．【变式2】（2024七年级上·河南·专题练习）（1）图中可以用一个大写字母表示的角有；（2）以A为顶点的角有；（3）图中一共个角（不包括平角）．【题型11】钟面角【例11】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）下午四点多，小李潜心钻研桃李杯的思维题，开始时时针与分针的夹角是，结束时发现时间还不到当天下午五点，且时针与分针的夹角还是，小李钻研了分钟．【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）1点到3点之间（包括1点和3点）钟表的时针和分针成的时刻有（

）次．A．3 B．4 C．5 D．6【题型12】方向角【例12】（23-24七年级上·江苏南京·期末），两个海上观测站的位置如图所示，在灯塔北偏东方向上，，则在灯塔的方向．【变式1】（23-24六年级下·山东淄博·期末）点B看点A是北偏西58度，则由点A看点B是（

）A．南偏东58度 B．南偏东32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度【变式2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是（

）A．东偏南 B．南偏东 C．东偏南 D．南偏东【题型13】角的比较【例13】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）比较大小：【变式1】（23-24七年级·全国·假期作业）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是．（填“＞”，“＜”或“＝”）【变式2】（2018七年级上·全国·专题练习）已知，，则．（填“大于、小于或等于”）【题型14】与角平分线有关计算【例14】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）在一节综合实践课上，老师与同学们以“同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；用直尺画射线，使平分．”为问题背景，展开研究．(1)提出问题：如下图，若，求的度数；

(2)探索发现：如下图，的值是__________；

(3)拓展探究：若点在直线的同侧，利用下图探索与之间的数量关系．请直接写出它们之间的数量关系．

【变式1】已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（

）A． B． C．或 D．30°或【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从顶点任意作一条射线，若是的平分线，是的平分线，，则的度数为【题型15】三角板中角的计算【例15】（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，若，求的度数【变式1】（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数为（

）．A． B． C． D．【变式2】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，平分，平分，若，则．【题型16】旋转图形中角的计算【例16】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上，BM为的平分线．(1)求和的度数；(2)若为的平分线，求的度数．(3)若将图中三角尺逆时针旋转20度，则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论．【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一副三角尺角和角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，在旋转过程中三角板的边始终在的内部，则的度数为（

）A． B． C． D．无法确定【变式2】（2024七年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为．【题型17】多边形的截角【例17】（20-21七年级下·全国·课后作业）一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（

）A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18【变式1】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（

）A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5【变式2】（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是．【题型18】多边形对角线条数及对角线分成三角形的个数规律【例18】（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题：(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形；(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形；(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，它把边形分成个三角形；（用含的式子表示）(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为．【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m+n=．【变式2】（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）已知：从边形的一个顶点出发共有6条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成6个三角形；正边形的边长为7，周长为49．则的值为．

基本平面图形（2大知识点5大考点18类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点1】直线、射线、线段直线，射线与线段的区别与联系2.基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线．(2)线段的性质:两点之间，线段最短．3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：【知识点2】角1．角的度量（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：（3）角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.（4）角的分类∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°（5）画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.2．角的比较与运算（1）角的比较方法:①度量法；②叠合法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地，还有角的三等分线等.3．方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.考点与题型目录【考点一】直线、射线、线段【题型1】直线、射线、线段的辨析.............................................3【题型2】直线、射线、线段的数量与直线相交的交点个数.........................5【题型3】尺规作图——画线段、射线、直线.....................................7【题型4】直线、线段的基本性质...............................................8【考点二】与线段有关的计算【题型5】线段和与差与线段中点的辨析.........................................9【题型6】线段和与差与线段中点的运算........................................11【题型7】探究线段间的数量关系..............................................14【题型8】与线段有关的动点问题..............................................17【题型9】两点之间的距离....................................................21【考点三】角的概念【题型10】角的概念理解与表示方法...........................................24【题型11】钟面角...........................................................26【题型12】方向角...........................................................28【考点四】角的比较与运算【题型13】角的比较.........................................................30【题型14】与角平分线有关计算...............................................31【题型15】三角板中角的计算.................................................35【题型16】旋转图形中角的计算...............................................37【考点五】多边形和圆的初步认识【题型17】多边形的截角.....................................................40【题型18】多边形对角线条数及对角线分成三角形的个数规律.....................42第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直线、射线、线段的辨析【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图各图中，表示线段、射线的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本题考查了线段，射线，直线的表示方法；根据线段，射线，直线的表示方法对各个选项逐一进行判断即可得出答案．解：A．图中是直线，射线，故选项A不符合题意；B．图中是线段，射线，故选项B符合题意；C．图中是射线，线段，故选项C不符合题意；D．图中是线段，射线，故选项D不符合题意；故选：B．【变式1】（2024七年级上·山西·专题练习）如图，下列说法正确的是（

）A．点在射线上B．直线比直线长C．线段与线段是同一条线段D．射线与射线是同一条射线【答案】C【分析】本题考查了直线、射线、线段的相关概念，熟练掌握直线、射线、线段的相关概念是解此题的关键．根据直线、射线、线段的相关概念逐项分析即可得出答案；解：点在射线AB上，选项不正确，不符合题意；直线可以向两端无限延长，无法比较大小，选项不正确，不符合题意；线段和线段是同一条线段，选项正确，符合题意；射线和射线是两条不同的射线，选项不正确，不符合题意，故选：C．【变式2】（2024七年级上·山东·专题练习）观察图形，下列说法正确的有个．直线和直线AB是同一条直线；线段BD和线段DB是两条不同的线段；射线和射线AD是同一条射线．【答案】【分析】本题主要考查了直线、射线、线段，解决本题的关键是根据直线、射线、线段的定义进行判断．解：直线是向两个方向无限延伸的，直线和直线AB是同一条直线，故正确；线段有两个端点，不延伸，线段BD和线段DB是同一条线段，故不正确；射线有一个端点，向一个方向无限延伸，射线和射线AD的端点相同，延伸的方向相同，是同一条射线，故正确；说法正确的有个．故答案为：．【题型2】直线、射线、线段的数量与直线相交的交点个数【例2】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（

）A．6个 B．1个或4个 C．6个或4个 D．1个或4个或6个【答案】D【分析】本题考查了直线相交问题，分成经过一个交点和不经过一个交点两种情况进行讨论求解即可．解：四条直线经过同一个交点，这时只有一个交点，如图所示：四条直线不经过同一个交点，这时有4个交点，如图所示：四条直线没有公共交点，两两相交，这时有6个交点，如图所示：故选：D．【变式1】（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）在一条线段中间另有个点，则这个点可以构成（

）条线段．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了线段的计数，掌握线段的定义是解答本题的关键．根据线段的定义即可求解．解：这个点可以构成：（条），故选：C．【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是直线l上的三个点．（1）图中以点B为端点的射线有条，分别是；（2）直线l还可以表示为．【答案】2射线、射线直线或直线或直线或直线或直线或直线【分析】本题考查了射线与直线的表示法，注意表示射线时必须把顶点字母写在前．（1）根据射线的表示方法解答即可；（2）根据直线的表示方法解答即可．解：（1）图中以点B为端点的射线有2条，射线、射线；故答案为：2，射线、射线；（2）直线l还可以表示为：直线或直线或直线或直线或直线或直线；故答案为：直线或直线或直线或直线或直线或直线．【题型3】尺规作图——画线段、射线、直线【例3】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要查了尺规作图—作一条线段等于已知线段．根据作图可得，即可求解．解：根据题意得：．故选：C【变式1】（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（

）A．画线段厘米 B．画射线厘米C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得【答案】B【分析】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答案．解：A、线段可以度量，因此可以画线段厘米，原说法正确，不符合题意；B、射线无法度量，因此不可以画射线厘米，原说法错误，符合题意；C、在射线上可以截取厘米，原说法正确，不符合题意；D、延长线段到C，使得，原说法正确，不符合题意；故选：B．【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在操作课上，同学们按老师的要求操作：①作射线；②在射线上顺次截取；③在射线上截取；④在线段上截取，发现点B在线段上．由操作可知，线段（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了线段的和差及基本作图知识，准确把握线段的和差关系是解题的关键．根据即可求得．解：，，，，，，故选：D．【题型4】直线、线段的基本性质【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）下列4个现象中，可用事实“两点之间，线段最短”来解释的有（

）①用两个钉子就可以把木条固定在墙上．②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．④把弯曲的公路改直就能缩短路程．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】D【分析】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，认真分析题干，运用线段的性质和直线的性质判断即可．解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上可以用两点确定一条直线来解释．②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线可以用两点确定一条直线来解释．③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设可以用两点之间，线段最短来解释．④把弯曲的公路改直就能缩短路程可以用两点之间，线段最短来解释．所以可用事实“两点之间，线段最短”来解释的有③④，故选：D．【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是（

）A．从张庄去李庄走直线最近B．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉C．数轴是一条特殊的直线D．一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标【答案】D【分析】依据两点之间线段最短，直线、射线、线段的联系与区别，数轴的定义，两点确定一条直线等知识点逐项分析判断即可．解：A.从张庄去李庄走直线最近，属于“两点之间线段最短”的知识，故选项不符合题意；B.向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉，属于“直线可以无限延长”的知识，故选项不符合题意；C.数轴是一条特殊的直线，属于数轴的定义知识，即“数轴是一条有方向、有刻度的直线”，故选项不符合题意；D.一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标，属于“经过两点有且只有一条直线”，故选项符合题意；故选：．【点拨】本题主要考查了两点之间线段最短，直线、射线、线段的联系与区别，数轴的定义，两点确定一条直线等知识点，熟练掌握直线的相关特性是解题的关键．【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是（填序号）．【答案】①②③【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质，逐一判断即可解答．解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”；②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”；③会场摆直茶杯，体现了基本事实“两点确定一条直线”；④弯河道改直，体现了基本事实“两点之间线段最短”；所以，在上列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有①②③，故答案为：①②③．【题型5】线段和与差与线段中点的辨析【例5】．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（

）

A． B．当点C为的中点时，C．如果，那么 D．如果，那么【答案】C【分析】本题主要考查了线段的中点性质，根据线段的中点性质可推出，，当时，，即可推出，进而即可得解，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分．解：A：∵M、N分别是、的中点，∴，，∵C为上任意一点，∴不一定等于，∴不一定等于，∴A错误，不符合题意；B：当C为中点时，，∴，∴，∴B错误，不符合题意；C：∵，∴，∴，∴C正确，符合题意；D：∵，∴，∴，∴D错误，不符合题意；故选：C．【变式】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，线段，为线段的中点，下列式子不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了线段的和差运算，线段中点的含义；由为线段的中点，得，再由，即可得，从而判定A；由，结合可判定B；由图形易判定C；现有条件无法判断D正确．解：因为为线段的中点，所以，因为，所以，即，故A正确；因为，，所以，故B正确；由图形知，，故C正确；现有条件无法判断，故D不正确．故选：D．【题型6】线段和与差与线段中点的运算【例6】（23-24七年级上·山西晋城·阶段练习）综合与实践【基础巩固】（1）如图1，点，，都在线段上，，是的中点，则图中共有线段__________条．【深入探究】（2）在（1）的条件下，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．

【拓展提高】（3）如图2，在（2）的基础上，是的中点，若，求的长．

【答案】（1）10；（2），理由见解析；（3）【分析】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的定义，线段之间的倍分关系是关键．（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条，据此回答即可；（2）设，先列方程求得求得，，可得答案；（3）设，先列方程求得，再求得的长即可．解：（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条，故答案为：10；（2）设，∵，∴，∵是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（3）设，∵，∴由（2）得，，∴，∴，∵是的中点，∴，∴．【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质及和差关系；由题意易得，则有，然后分当点E在点A右侧时和当点E在点A左侧时，进而求解即可解：因为D为的中点，，所以．因为，所以．如图①，当点E在点A右侧时．因为，所以，所以；如图②，当点E在点A左侧时因为，所以．综上所述，的长为或；故选D．【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：①③若，则；④若，则上述结论中，所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系即可判断①②；求出，进而可得，据此可判断③；求出，则可求出，据此可判断④．解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，∴，∴，，故①②正确；∵，∴，∵，∴，故③错误；∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正确；∴正确的有①②④，故答案为：①②④．【题型7】探究线段间的数量关系【例7】（22-23七年级上·河南许昌·期末）如图，点C在线段上，线段，，M，N分别在线段，上，且，．(1)求线段的长度．(2)若点C为线段上任意一点，且，其他条件不变，则线段的长度为．(3)若题中的条件变为“点C在线段的延长线上”，其他条件不变，则的长度会有变化吗？若有变化，请求出结果．【答案】(1)16(2)(3)有变化，4【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，解题的关键是数形结合，熟练掌握线段间的数量关系．（1）根据线段间的数量关系，求出，，然后求出结果即可；（2）根据线段间的数量关系进行解答即可；（3）先求出，再求出，根据线段间的数量关系，即可得出答案．解：（1）∵，，，，∴，，∴；（2）∵，，∴，故答案为：；（3）有变化．理由如下：当C点在的延长线时，∵，，∴，∵，∴，∴的长度有变化．【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点；……这样操作下去，则线段的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了线段中点的定义，找出题目中的规律是解题的关键．根据线段中点的定义，找出题目中的规律求出，因此，进而中点的定义即可解答．解：∵，是的中点，∴．∵，是的中点，∴．∵，是的中点，∴，．．．∴，∴．∵是的中点，∴．故选：B．【变式2】（22-23七年级上·广东东莞·期末）如图，将一根绳子对折一次后用线段表示，点在上，且，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最短的一段为，则这条绳子的原长为．【答案】或/或【分析】本题主要考查了线段的和差，分两种情况：当点为折点时，当点为折点时，结合图形，分别求出各段绳子的长度，即可得出答案，熟练掌握线段的和差计算，采用分类讨论的思想是解此题的关键．解：①如图1，当点为折点时，，∴剪开的三段分别为，；②如图2，当点为折点时，，∴剪开的三段分别为，，，，综上所述，这条绳子的原长为或，故答案为：或．【题型8】与线段有关的动点问题【例8】（19-20七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）(1)若，当点C、D运动了，求的值．(2)若点C、D运动时，总有，直接填空：___________．(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或1【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题．（2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题．（3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题．解：（1）（1）当点C、D运动了时，，，，，，．（2）设运动时间为t，则，，，，又，，即，，，，故答案为：．（3）当点N在线段上时，如图，又，，，即．当点N在线段的延长线上时，如图：，又，，即．综上所述的值为或．【变式1】（20-21七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决．解：由题意可得，点A1表示的数为8×＝4，点A2表示的数为8××＝2，点A3表示的数为8××＝1，…，点An表示的数为8×（）n，∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6，∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣，故选：D．【点拨】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点．【变式2】（19-20七年级上·湖北武汉·期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为（用a，b的式子表示）．【答案】/【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可．解：∵M为的中点，N为的中点，∴，．∵线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，∴分以下5种情况说明：①当在左侧时，如图1，即，，，；②当点D与点A重合时，如图2，即，；③当在内部时，如图3，即，；④当点C在点B右侧时，同理可得：；⑤当在右侧时，同理可得：；综上所述：线段的长为．故答案为：．【点拨】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．【题型9】两点之间距离【例9】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）阅读感悟：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，一条直线上有A、B、C、D四点，线段，点C为线段的中点，线段，请你补全图形，并求的长度．以下是小华的解答过程：解：如图2，因为线段，点C为线段的中点，所以____________．因为，所以______．小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点D在线段上，事实上，点D还可以在线段的延长线上．完成以下问题：(1)请填空：将小华的解答过程补充完整；(2)根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度．【答案】(1)；；(2)【分析】本题考查了线段的性质、线段的和差等知识，解题的关键是读懂题意，分情况讨论．（1）根据点C为的中点，即可得到与的数量关系，若在线段上时，根据和的长即可求得的长；（2）根据点C为的中点，即可得到与的数量关系，若在射线上时，根据和的长即可求得的长．解：（1）线段，点为线段的中点，，，当在线段上时，，故答案为：；；（2）如图，当点在射线上时，线段，点为线段的中点，，，【变式1】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，，则（

）A．6或 B．6或2 C．6或3 D．2【答案】A【分析】此题主要考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，关键是掌握线段的中点平分线段，正确画出图形．首先根据题意画出图形，分两种情况：①在上，②在的延长线上，然后利用方程思想设出未知数，表示出、、和的长即可解决问题．解：如图1，设，则，，点为的中点，，，，，解得：，；如图2，设，则，，点为的中点，，，，，解得：，．综上所述，线段的长为或．故选：A．【变式2】（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，线段，点分别是线段和线段的中点，则线段的长为．【答案】【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．设，，可得，，然后根据，求得，故求出，，再根据中点的定义计算即可．解：设，，∴，∴，又∵，∴，解得：，∴，，∴，又∵点分别是线段和线段的中点，∴，，∴，故答案为．【题型10】角的概念理解与表示方法【例10】（2024七年级上·全国·专题练习）下列关于角的说法中，正确的个数为（

）①两条有公共点的射线组成的图形叫做角；②角是由一个端点引出的两条射线所组成的图形；③两条射线，它们的端点重合时，可以形成角；④角的大小与边的长短有关．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本题主要考查角的知识，首先正确理解角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，注意不要忽略“公共端点”，还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致；然后结合角的定义的理解，对选项进行一一分析，排除错误答案即可．解：角是由有公共端点的两条射线所构成的图形，故①②③正确；角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故④错误．故选D．【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列选项中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查角的表示方法，解决这类问题的关键是要熟练掌握角的几种表示方法．根据角的表示方法对各选项逐一分析即可作出判断．解：A．顶点O处有四个角，这四个角均不能用表示，故本选项错误；B．顶点O处只有一个角，这个角能用，，表示，故本选项正确；C．顶点O处有三个角，这三个角均不能用表示，故本选项错误；D．顶点O处有3个角，这3个角均不能用表示，故本选项错误；故选：B．【变式2】（2024七年级上·河南·专题练习）（1）图中可以用一个大写字母表示的角有；（2）以A为顶点的角有；（3）图中一共个角（不包括平角）．【答案】7【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题：（1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可；（2）以为顶点的角有三个，逐一写出即可；（3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可．解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有故答案为：．（2）以A为顶点的角有；故答案为：．（3）图中的角为：，，共7个．故答案为：．【题型11】钟面角【例11】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了钟面角问题，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度．时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，由此即可算出时分钟时，时针、分针与12时的夹角，即得答案．解：∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，∴钟表上时分钟时，时针从时转过分钟转了，此时时针与垂直线的夹角为，分针从的位置顺时针转了，∴时分钟时分针与时针的夹角．故选C．【变式1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）下午四点多，小李潜心钻研桃李杯的思维题，开始时时针与分针的夹角是，结束时发现时间还不到当天下午五点，且时针与分针的夹角还是，小李钻研了分钟．【答案】/【分析】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟走，时针每分钟走，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立方程求解．解：分针每分钟走，时针每分钟走，四点整时，时针和分针之间的夹角是，设小李开始钻研时是4点分，则由题意可得：，解得，即：下午4点10分时，小李开始钻研，设结束时是4点分，则由题意可得：，解得，即：下午4点分时，小李结束钻研，∴小李钻研了分，故答案为：．【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）1点到3点之间（包括1点和3点）钟表的时针和分针成的时刻有（

）次．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】时针走一圈(360度)要12小时，即速度为，分针走一圈(360度)要1小时，即速度为，钟面(360度)被平均分成了12等份，所以每份(相邻两个数字之间)是，所以分钟后，时针走过的角度为，分针走过的角度为，列方程可得.这道题考查的是钟面角，理解分针每分钟转的度数，时针每分钟转的度数，根据分针与时针转的度数之间的关系，得到一元一次方程，求出答案即可.解：由题意可知，1点整的时刻，时针与分针正好成角；(1)设1点分的时刻，时针与分针成角，则应该是分针在前，得，解得，故1点分的时刻，时针与分针成角；(2)设1点分的时刻，时针与分针成角，则应该是分针在前，得，解得，故1点分的时刻，时针与分针成角；当恰好是2点时，时针与分针正好成角；(3)设2点分的时刻，时针与分针成角，则应该是分针在前，得，解得，故2点分的时刻，时针与分针成角；(4)设2点分的时刻，时针与分针成角，则应该是分针在前，得，解得，故2点分即3点正时，时针与分针成角；故选：B.【题型12】方向角【例12】（23-24七年级上·江苏南京·期末），两个海上观测站的位置如图所示，在灯塔北偏东方向上，，则在灯塔的方向．【答案】南偏东【分析】本题考查了方位角有关的计算，由根据即可求解，理解“从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫做方位角”是解题的关键．解：如图，∵观测站在灯塔北偏东方向上，∴，∵，∴，∴观测站在灯塔的是南偏东，故答案为：南偏东．【变式1】（23-24六年级下·山东淄博·期末）点B看点A是北偏西58度，则由点A看点B是（

）A．南偏东58度 B．南偏东32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度【答案】A【分析】本题主要考查了方向角，在叙述方向角时一定要注意以哪个图形为参照物．点A看点B的方向是北偏东，是以A为标准，反之B看A的方向是A相对于B的方向与位置．解：从点B看点A的方向为北偏西，那么从点A看点B的方向为南偏东．故选：A．【变式2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是（

）A．东偏南 B．南偏东 C．东偏南 D．南偏东【答案】D【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算，正确求出是解题的关键．先根据题意得到，再由方位角的定义求出，即可得到答案．解：如图所示：∵射线与射线成角，∴，∵是北偏东方向的一条射线，∴，∴，∴，即的方位角是南偏东方向，故选：D．【题型13】角的比较【例13】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）比较大小：【答案】【分析】本题主要考查角度大小的比较，熟练掌握度分秒之间的换算即可得到答案．解：，．故答案为：．【变式1】（23-24七年级·全国·假期作业）如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＞【分析】如图：连接，则，又，即．解：如图：连接，由题意得：，∵，∴．故答案为：＞．【点拨】本题主要考查了角的大小比较，根据方格作出是解答本题的关键．【变式2】（2018七年级上·全国·专题练习）已知，，则．（填“大于、小于或等于”）【答案】小于【分析】本题主要考查了角的大小比较，解答本题的关键在于熟练掌握角度的单位度、分之间的转换进率，将角度不同单位转化成相同单位，即可求解．解：根据，可得：；又∵，∴．故答案为：小于．【题型14】与角平分线有关计算【例14】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）在一节综合实践课上，老师与同学们以“同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；用直尺画射线，使平分．”为问题背景，展开研究．(1)提出问题：如下图，若，求的度数；

(2)探索发现：如下图，的值是__________；

(3)拓展探究：若点在直线的同侧，利用下图探索与之间的数量关系．请直接写出它们之间的数量关系．

【答案】(1)；(2)(3)与之间的数量关系为或．【分析】本题考查了角的计算以及角平分线定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．（1）利用邻补角的性质、余角的性质求得，，再利用角平分线的定义求得的度数，据此即可求解；（2）设，则，同（1）求得，据此即可求解；（3）分点C靠近点B和点C靠近点A时，同（1）的方法即可求解．解：（1）∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）设，则，∵，∴，∵平分，∴，∴；∴，故答案为：；（3）如图，当点C靠近点B时，

∵平分，∴，设，，∴，，∴；如图，当点C靠近点A时，

∵平分，∴，设，∴，，∴；综上，与之间的数量关系为或．【变式1】已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（

）A． B． C．或 D．30°或【答案】C【分析】本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到在外部和内部两种情况是关键．分在外部和内部两种情况，由、分别平分、可得、度数，在根据两种位置分别求之．解：①如图，当在外部时，∵，平分，∴，又∵，平分，∴，∴；②如图，当在内部时，∵，平分，∴，又∵，平分，∴，∴，综上所述：为或．故选C．【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从顶点任意作一条射线，若是的平分线，是的平分线，，则的度数为【答案】【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握各角之间的和、差及倍数关系是解答本题的关键．根据角平分线的定义可求得，即可解得．解：是的平分线，是的平分线，，，，故答案为：．【题型15】三角板中角的计算【例15】（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，若，求的度数【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角尺中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形板中角的度数．（1）根据，，求出．根据，得出．（2）根据，，求出，根据，求出，最后求出结果即可．解：（1）因为，所以，因为，所以，所以．因为，所以，所以．（2）由题图可知，，所以．又因为，所以，所以．【变式1】（23-24七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查三角板中角的计算、平行线的性质，由题意得，，，，由平行线的性质可得，即可求解．解：由题意得，，，，则，∴，故选：B．【变式2】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，平分，平分，若，则．【答案】【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，设，则，由角平分线的定义可得，，进而可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键．解：设，则，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：．【题型16】旋转图形中角的计算【例16】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上，BM为的平分线．(1)求和的度数；(2)若为的平分线，求的度数．(3)若将图中三角尺逆时针旋转20度，则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论．【答案】(1)，(2)(3)不变【分析】本题考查角的和差和角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．（1）由三角板的内角，利用角的和差求出的度数，然后利用角平分线的定义得到的度数，然后利用交的和差解题即可；（2）先求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，然后根据解题即可；（3）根据（1）（2）的计算方法解题即可．解：（1）∵A、B、D三点在同一直线上，∴，又∵BM为的平分线，∴，∴；（2），∵为的平分线，∴，∴；（3）不变，理由为：三角尺逆时针旋转20度时，∴，，又∵BM为的平分线，为的平分线，∴，，∴；【变式1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，将一副三角尺角和角的顶点叠放在一起，将三角板绕点旋转，在旋转过程中三角板的边始终在的内部，则的度数为（

）A．