北师大版数学 寒假作业05 一元一次方程（梳理讲练培优） 同步练习 含答案

一元一次方程（4大知识点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点1】一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．【要点提示】判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．【知识点2】等式的性质等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．【知识点3】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并同类项：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【知识点4】用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.数字问题：多位数的表示方法：例如：.考点与题型目录【考点一】一元一次方程的概念【题型1】方程及方程的解.....................................................3【题型2】利用等式基本性质进行判断...........................................3【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数...........................3【考点二】解一元一次方程【题型4】一元一次方程的同解原理.............................................4【题型5】一元一次方程中的错解问题...........................................4【题型6】一元一次方程中的遮挡问题...........................................4【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题.................................5【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题...............................5【题型9】一元一次方程中的整数解问题.........................................5【题型10】解含绝对值的一元一次方程..........................................6【题型11】用整体思想解一元一次方程..........................................6【题型12】一元一次方程中大数据问题..........................................7【题型13】一元一次方程中规律问题............................................7【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题..............................7【考点三】实际问题与一元一次方程【题型15】列一元一次方程解决分数问题........................................8【题型16】列一元一次方程解决利润问题........................................9第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】方程及方程的解【例1】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程是一元一次方程．(1)求m的值；(2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值．【变式1】（2024七年级上·北京·专题练习）已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值．【变式2】（21-22七年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的解是，那么关于m的方程的解是．【题型2】利用等式基本性质进行判断【例2】（23-24七年级上·安徽池州·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式1】（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【变式2】（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程变形为用含的式子表示，那么；【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数【例3】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇g，□=g．【变式1】（21-22八年级上·四川成都·期末）某小组设计了一组数学实验，给全班同学展示以下三个图，其中（a）（b）中天平保持左右平衡，现要使（c）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（

）A．25克 B．30克 C．40克 D．50克【变式2】如图所示，在天平的左盘上的两个物品取下一个，右盘取下个砝码才能使天平仍然平衡．【题型4】一元一次方程的同解原理【例4】（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解．【变式1】（20-21六年级下·上海松江·阶段练习）若关于的方程与的解相同，则．【变式2】（22-23七年级上·贵州铜仁·期中）若关于的方程与的解相同，则a=【题型5】一元一次方程中的错解问题【例5】（23-24七年级下·陕西汉中·期中）青青在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请你求出原方程正确的解．【变式1】（22-23七年级下·山西长治·阶段练习）小明同学在解方程去分母时，由于方程的右边的忘记了乘以15，因而他求得的解为，该方程的正确的解为（

）A． B． C． D．【变式2】（21-22六年级上·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（

）A． B． C． D．【题型6】一元一次方程中的遮挡问题【例6】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）整式，其中整式的系数■被污染．（1）若■是，则化简的结果是．（2）若时，的值为19，则原式中■的值是．【变式1】方程中有一个数字被墨水盖住了，查后面的答案，知道这个方程的解是，那么墨水盖住的数字是【变式2】小明做作业时，不小心将方程●中的一个常数污染了看不清楚，小芳告诉他该方程的解是负数，并且这个常数是负整数，该方程的解是．【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题【例7】（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框：解：两边同时乘以10，得……①合并同类项，得……②系数化1，得……③请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程：【变式2】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）解方程：(1)(2)【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题【例8】（22-23七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）若一元一次方程有无数个解，则的值为（

）A． B． C． D．1【变式1】（19-20七年级上·四川绵阳·期中）若关于x的方程有无数解，则3m+n的值为；【变式2】（20-21六年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝．【题型9】一元一次方程中的整数解问题【例9】（22-23七年级上·重庆·期中）已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关．(1)求p的值；(2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值．【变式1】（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）若关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为（

）A．1 B．2 C．3或4 D．0或1【题型10】解含绝对值的一元一次方程【变式1】（20-21七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知：，当b=1时方程的解为．【变式2】（2023七年级上·江苏·专题练习）已知关于x的方程只有一个解，那么的值为．【题型11】用整体思想解一元一次方程【例11】（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程．【变式1】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程．【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．(1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程；(2)【简单应用】①已知，则；②已知，求的值；(3)【拓展提高】已知且，求的值．【题型12】一元一次方程中大数据问题【例12】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，求关于的一元一次方程的解．【变式1】（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（

）A． B． C． D．【变式2】（22-23七年级上·江苏常州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为．【题型13】一元一次方程中规律问题【例13】（20-21七年级下·重庆万州·阶段练习）方程的解是．【变式1】（20-21七年级上·江苏苏州·期中）一元一次方程的解为（

）A．30 B．24 C．21 D．12【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）方程的解是．【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题【例14】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是（

）A． B． C． D．【变式1】（23-24七年级上·四川达州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是．【变式2】（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则【题型15】列一元一次方程解决分数问题【例15】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）人数2024版初中数学七年级上册7页，可以写成分数形式的数称为有理数．例如：，，我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．无限循环小数为例进行探究：设…﹐两边同乘以10得：，即，解得∴，因此，是有理数．(1)无限循环小数写成分数为__________．(2)试说明无限循环小数是一个有理数(3)大小比较：____．（选填“”“”或“”）(4)无限循环小数写成分数．（直接写出答案）【变式1】（2024·江西宜春·模拟预测）【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，由可知：，所以，解方程得，所以；【类比探究】再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法：设，由可知，，所以，解方程得，于是得；【解决问题】(1)把下列无限循环小数写成分数形式：______，②______；(2)把无限循环小数写化成分数形式，写出过程；(3)若，则______．【变式2】（23-24七年级上·山东德州·期末）对于关系式，小明给出了以下证明．证明：因为，所以设，则，所以，解得，于是．(1)实践探究：请你仿照小明的方法把下列两个小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程：

①

②(2)拓展延伸：直接写出将化成分数的结果为．【题型16】列一元一次方程解决利润问题【例16】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）炎炎夏日，吃上一块甘甜多汁的西瓜绝对是一种享受、某水果店出售特小凤西瓜和彩虹西瓜两个品种，其中彩虹西瓜售价比特小凤西瓜每斤高出6元．(1)该水果店第一周卖出特小凤西瓜300斤，彩虹西瓜600斤．这两种西瓜的销售总额为11700元．请问特小凤西瓜和彩虹西瓜每斤售价分别为多少元；(2)根据第一周的销售情况，该水果店对特小凤西瓜的售价进行了调整，第二周与第一周相比，该水果店的特小凤西瓜每斤售价降低，销量增加斤；彩虹西瓜售价不变，销量增加．于是这两种西瓜的第二周销售总额比第一周的销售总额多．求a的值．【变式1】（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【三价两率】一件衣服，第一天按的利润率定价，无人来买；第二天打九折促销，还是无人来买；第三天再降价元，终于卖出．如果最后卖出的价格是进价的倍，那么这件衣服的进价是元．【变式2】（21-22七年级上·广东广州·开学考试）足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，于是决定降价，结果售出的票比之前增加了三分之一，而票房收入比之前增加了四分之一，那么每张票售价降了元．

一元一次方程（4大知识点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点1】一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．【要点提示】判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．【知识点2】等式的性质等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．【知识点3】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并同类项：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．【知识点4】用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.数字问题：多位数的表示方法：例如：.考点与题型目录【考点一】一元一次方程的概念【题型1】方程及方程的解.....................................................3【题型2】利用等式基本性质进行判断...........................................4【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数...........................5【考点二】解一元一次方程【题型4】一元一次方程的同解原理.............................................7【题型5】一元一次方程中的错解问题...........................................9【题型6】一元一次方程中的遮挡问题..........................................11【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题................................13【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题..............................14【题型9】一元一次方程中的整数解问题........................................16【题型10】解含绝对值的一元一次方程.........................................18【题型11】用整体思想解一元一次方程.........................................19【题型12】一元一次方程中大数据问题.........................................22【题型13】一元一次方程中规律问题...........................................23【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题.............................25【考点三】实际问题与一元一次方程【题型15】列一元一次方程解决分数问题.......................................26【题型16】列一元一次方程解决利润问题.......................................31第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】方程及方程的解【例1】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程是一元一次方程．(1)求m的值；(2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值．【答案】(1)；(2)【分析】本题考查一元一次方程的定义，方程的解．（1）根据一元一次方程的定义可得，，求解即可；（2）把代入方程，求解即可．解：（1）∵关于x的方程是一元一次方程，∴且∴；（2）由（1）得，该一元一次方程为，∵是该方程的解，∴，∴．【变式1】（2024七年级上·北京·专题练习）已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值．【答案】4或或1【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．分情况讨论，（1），，（2），，根据一元一次方程的定义求得、的值．解：分两种情况：（1），，当时，，此时；当时，，此时；（2），，解得，，；当时，，即；当时，由原方程，得，不符合题意．【变式2】（21-22七年级上·福建福州·期末）已知关于x的方程的解是，那么关于m的方程的解是．【答案】m=4【分析】根据一元一次方程解的定义，把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，再把d=a+c代入方程）即可．解：把x=1代入方程ax+c=d（a≠0），得d=a+c，把d=a+c代入方程，得，即am=4a，m=4．故答案为：m=4．【点拨】本题考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．【题型2】利用等式基本性质进行判断【例2】（23-24七年级上·安徽池州·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．根据等式的性质，逐项判断即可．解：A、等式两边同时加上n得，，变形正确，故选项不符合题意；B、等式两边同时乘n得，，变形正确，故选项不符合题意；C、等式两边同时除以n，当时，两边都除以n无意义，变形错误，故选项符合题意；D、无论n取何值，等式两边同时除以得，，变形正确，故选项不符合题意；故选：C．【变式1】（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】B【分析】本题主要考查了等式的基本性质，理解并掌握等式的基本性质是解题关键．等式性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．根据等式的基本性质逐项分析判断即可．解：A.如果，如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；B.因为，所以如果，那么，该选择正确，符合题意；C.如果，那么或，故该选项不正确，不符合题意；D.如果，那么，故该选项不正确，不符合题意．故选：B．【变式2】（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程变形为用含的式子表示，那么；【答案】【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键．解：，∴，∴，故答案为：．【题型3】利用等式基本性质求天平中砝码的质量与个数【例3】（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇g，□=g．【答案】【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键．设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可．解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g．由题意可得：，，．根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得，将的两边同除以5，得，将和代入，得，根据等式的基本性质1，将两边同时减，得，根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得，将代入，得，〇g，□g．故答案为：，．【变式1】（21-22八年级上·四川成都·期末）某小组设计了一组数学实验，给全班同学展示以下三个图，其中（a）（b）中天平保持左右平衡，现要使（c）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（

）A．25克 B．30克 C．40克 D．50克【答案】C【分析】由图（a）和图（b）可得5个黑三角和5个黑圆共重150克，从而1个黑三角和1个黑圆共重30克，由此可计算出1个黑三角重20克，1个黑圆重10克，可计算出此题结果．解：设一个黑三角重a克，一个黑圆重b克，由题意，得5（a+b）=150，解得a+b=30，由图（a）得，a+2（a+b）=80，即a+2×30=80，故选：C．【点拨】此题考查了利用等式的性质和方程解决实际问题的能力，关键是能根据题意列出关系式，利用等式的性质进行计算．【变式2】如图所示，在天平的左盘上的两个物品取下一个，右盘取下个砝码才能使天平仍然平衡．【答案】3【分析】根据题意，设左边的物品每个重量为g，每个砝码的重量为g，根据等式的性质即可求得答案．解：设左边的物品每个重量为g，每个砝码的重量为g，则即故右盘取下3个个砝码才能使天平仍然平衡．故答案为：3【点拨】本题考查了等式的性质，理解题意是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．【题型4】一元一次方程的同解原理【例4】（2024·河北邯郸·三模）已知关于x的方程的解比方程的解大5，求这两个方程的解．【答案】方程的解为，方程的解为【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．首先由方程，用表示，然后由第二个方程，再用表示，此时两个的值相差5，可得方程求出的值，进而即可求得方程的解．解：由题意得：，解得：．由，解得：，关于的方程的解比方程的解大5，，解得，，，这两个方程的解为和．【变式1】（20-21六年级下·上海松江·阶段练习）若关于的方程与的解相同，则．【答案】【分析】把当成已知数，求得，根据解相等，得到关于的方程，求解即可．解：由可得：，，，．由可得：，，，．又因为解相同，所以，，，．故答案为：【点拨】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是正确的用表示出两个方程的解．【变式2】（22-23七年级上·贵州铜仁·期中）若关于的方程与的解相同，则a=【答案】【分析】首先根据一元一次方程的解法，分别求出关于x的方程方程与的解；然后根据它们的解相同，求出a的值是多少即可．解：由得，，由得，，∴，∵关于的方程与的解相同，∴∴，故答案为．【点拨】此题主要考查了同解方程，以及一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．【题型5】一元一次方程中的错解问题【例5】（23-24七年级下·陕西汉中·期中）青青在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请你求出原方程正确的解．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．先把代入求出m的值，再把m的值代入求解即可．解：把代入，得，∴，把代入，得，∴．【变式1】（22-23七年级下·山西长治·阶段练习）小明同学在解方程去分母时，由于方程的右边的忘记了乘以15，因而他求得的解为，该方程的正确的解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据错误的结果，确定出的值，进而求出正确的解即可．解：根据小明的错误解法，去分母得：，去括号得：，把代入得：，解得；将代入原方程得正确方程为：，去分母得：，去括号得：，移项合并得，解得，所以原方程正确的解为．故选：A．【点拨】此题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，注意错误解题的位置，根据错误解，先求出字母的值；再根据正确的方程进行解方程．【变式2】（21-22六年级上·山东威海·期末）在解关于x的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据小颖解方程的过程求出a的值，然后正确求出原方程的解即可．解：由题意得的解为，∴，解得，∴，去分母得：，去括号得：，移项得：，合并得：，解得：，故选A．【点拨】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．【题型6】一元一次方程中的遮挡问题【例6】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）整式，其中整式的系数■被污染．（1）若■是，则化简的结果是．（2）若时，的值为19，则原式中■的值是．【答案】【分析】本题考查整式的加减、解一元一次方程等知识点，由题意构建关于x的参数方程是解题的关键．（1）由题意列代数式，然后去括号、合并同类项即可解答；（2）设，然后列代数式代简，然后得到得出关于m参数的方程求解即可．解：（1）当■是时，则；故答案为．（2）设，∵的值为19，∴，∵，∴，解得：．故答案为．【变式1】（17-18七年级上·江苏连云港·阶段练习）方程中有一个数字被墨水盖住了，查后面的答案，知道这个方程的解是，那么墨水盖住的数字是【答案】0【分析】设被墨水盖住的数字为，把代入方程计算即可求出的值．解：设被墨水盖住的数字为，把代入方程得：，去分母得：，移项合并得：，解得：，故答案为：0．【点拨】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【变式2】（17-18七年级上·江苏盐城·阶段练习）小明做作业时，不小心将方程●中的一个常数污染了看不清楚，小芳告诉他该方程的解是负数，并且这个常数是负整数，该方程的解是．【答案】-【分析】设这个常数为m，求出关于x的方程，进一步探讨得出答案即可．解：设这个常数为m，则m整理得：3（x-2）-6=8x+6m解得x=-，∵方程的解是负数，m是负整数，∴6m+12的值是正数，∴m=-1，解：，得x=-故答案为：-【点拨】此题考查了方程的解和解方程的步骤与方法，注意审清题意，正确理解方程的解．【题型7】一元一次方程中分子与分母含小数问题【例7】（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程的过程如下框：解：两边同时乘以10，得……①合并同类项，得……②系数化1，得……③请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．【答案】最早出现错误的步骤是，正确的解法见解析．【分析】此题主要考查了解一元一次方程，第1步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得，再合并同类项，最后再将未知数的系数化为1即可得出该方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解决问题的关键．解：最早出现错误的步骤是，正确的解法如下：对于方程，将系数化为整数，得，合并同类项，得，系数化，得．【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程：【答案】【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可解决．解：，原方程化为：，去分母，得：，去括号得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得．【变式2】（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键．（1）先将分母去掉，然后再把括号去掉，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值；（2）先整理，然后去分母，去括号，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值；解：（1）去分母得：，去括号得：移项得：合并同类项得：系数化为1得：；（2）．去分母得：去括号得：移项得：合并同类项得：系数化为1得：．【题型8】一元一次方程中有解、无解、无数解问题【例8】（22-23七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）若一元一次方程有无数个解，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】当方程满足时，有无数个解．解：整理得：方程有无数个解，，，解得：，，．故选A【点拨】本题考查了解一元一次方程，以及方程解的情况，熟悉方程的解的各种情况是解题关键．【变式1】（19-20七年级上·四川绵阳·期中）若关于x的方程有无数解，则3m+n的值为；【答案】0【分析】根据方程有无数解，求出m、n的值，代入3m+n计算即可．解：，移项得：mx+x=-1，合并同类项得：(m+1)x=-1，∵该方程有无数解，∴m+1=0，-1=0，解得m=-1，n=3，∴3m+n=-3+3=0，故答案为：0．【点拨】本题考查了一元一次方程解的情况，一元一次方程（形如ax=b）的解的情况：①当a≠0时，方程有唯一解x=，②当a=0，b≠0时，方程无解，③当a=0，b=0时，方程有无数个解．【变式2】（20-21六年级下·黑龙江大庆·期末）关于x的方程2a（x+5）＝3x+1无解，则a＝．【答案】【分析】先把原方程变为，再由方程无解即可得到，由此求解即可．解：∵，∴，∴，∵关于的方程无解，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，熟知一元一次方程无解的条件是解题的关键．【题型9】一元一次方程中的整数解问题【例9】（22-23七年级上·重庆·期中）已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关．(1)求p的值；(2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值．【答案】(1)；(2)或【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题、解一元一次方程等知识，掌握相关运算法则是解题关键．（1）将、代入，化简后根据无关项，得到，即可求出p的值；（2）先解一元一次方程，进而得出的值，即可计算求值．解：（1），，，的值与x无关，，；（2），，q为整数，是正整数，且，，或,，或【变式1】（23-24七年级下·重庆·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为正整数推出是整数，进而得到解得或2或4；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，由此可得答案．解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，∵关于x的方程的解是正整数，∴是整数，且∴或2或4，∵是二次三项式，∴，∴且，∴所有满足条件的整数a的值为1，4，∴所有满足条件的整数a的值之积是，故选：C．【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）若关于x的方程的解为正整数，则整数k的值为（

）A．1 B．2 C．3或4 D．0或1【答案】D【分析】本题考查了一元一次方程的解和解含字母系数的一元一次方程，掌握方程的解即是正整数和是整数的两个条件是解题的关键．首先求出关于的方程的解，解得，再根据方程的解为正整数，为整数，分类讨论即可求出的值．解：由题可知，，解得：，方程的解为正整数，为整数，或，或，故选：D．【题型10】解含绝对值的一元一次方程【例10】（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：．【答案】或【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用解方程的步骤和方法正确解答．按照根据绝对值意义先去括号，再解一元一次方程的步骤和方法解方程即可．解：，∴或，解得或【变式1】（20-21七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知：，当b=1时方程的解为．【答案】或【分析】利用绝对值的意义得到，然后解两个一次方程即可．解：∵，且，∴，即或，所以或．故答案为：或．【点拨】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．【变式2】（2023七年级上·江苏·专题练习）已知关于x的方程只有一个解，那么的值为．【答案】40【分析】根据题意，绝对值方程只有一个解，可知，即可求出x值和a值，代入代数式即可．本题主要考查了绝对值的性质以及一元一次方程，熟练掌握0的绝对值为0，解方程，是解决本题的关键．解：∵关于x的方程只有一个解，∴，，∴，．代入．故答案为：40．【题型11】用整体思想解一元一次方程【例11】（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程．【答案】【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可．解：，设，则原方程可变形为，，，，，，k=1，∴，解得．【变式1】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数学李老师让同学们解方程．小亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有及，且互为相反数，应该用整体思想求解”．请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程．【分析】本题考查解一元一次方程．按照两人的方法，逐一进行求解即可．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算．解：小亮：原方程可化为；小颖：原方程可化为．去括号，得：4a-20=1，移项，得：4a=21，系数化为1，得：a=．故x+2=，解得x=．【点拨】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．【变式2】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．(1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程；(2)【简单应用】①已知，则；②已知，求的值；(3)【拓展提高】已知且，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】本题主要考查了整式的加减运算，代数式的求值，整体代入是解题的关键；（1）把看作一个整体，合并同类项，即可进行化简；（2）①把看作一个整体进行化简，再代入求值即可，②先把看作一个整体，合并同类项，再整体代入计算即可；（3）将方程化为，再将，代入求值即可．解：（1）设，原式；当时，原式（2）①∵，∴故答案为：．②∵，∴（3）∵∴∵∴即解得：【题型12】一元一次方程中大数据问题【例12】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，求关于的一元一次方程的解．【答案】【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，将关于的一元一次方程两边各项乘得到，进而得到的解为，进一步求解即可．解：因为关于的一元一次方程的解为，所以关于的一元一次方程两边各项乘得到：②，方程①和方程②同解，所以，解得：．故答案为：．【变式1】（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可．解：∵关于的一元一次方程的解是，即的解是，∴，即的解为∴故选：C．【点拨】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．【变式2】（22-23七年级上·江苏常州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为．【答案】【分析】设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可．解：设，则关于y的方程化为：，∴，∴故答案为：．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键．【题型13】一元一次方程中规律问题【例13】（20-21七年级下·重庆万州·阶段练习）方程的解是．【答案】1011【分析】先将原方程进行转化，再提取公因式，即可解出方程．解：原方程可化为，即，提取公因式得，，化简得，，解得，；故答案为：1011．【点拨】本题主要考查解一元一次方程，找准规律是解题的关键．【变式1】（20-21七年级上·江苏苏州·期中）一元一次方程的解为（

）A．30 B．24 C．21 D．12【答案】C【分析】方程整理为,即，然后根据等式性质求得方程的解即可．解：变形为，即，所以4x=4×21，所以x=21，故选：C．【点拨】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．【变式2】（2024八年级·全国·竞赛）方程的解是．【答案】【分析】本题考查了解一元一次方程，先把方程化成即可求解，解题关键是灵活应用，对方程转换．解：原方程变为：，，，∴，∴，故答案为：．【题型14】含参一元一次方程的解总是一个常数问题【例14】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可；解：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，，，，，，，故选：C．【变式1】（23-24七年级上·四川达州·期末）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是．【答案】/【分析】本题考查代入法、一元一次方程的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．首先把根代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据方程与k无关的应满足的条件求出a、b的值，最后求出结果即可．解：把代入原方程并整理得，整理得：，要使等式不论k取什么数均成立，只有，解得：，，∴．故答案为：．【变式2】（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则【答案】【分析】本题考查方程解的定义，求代数式的值；熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可．解：把代入方程，得：，即，整理得：，无论m为何值，它的解总是1，，，解得：，，则，故答案为：．【题型15】列一元一次方程解决分数问题【例15】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）人数2024版初中数学七年级上册7页，可以写成分数形式的数称为有理数．例如：，，我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．无限循环小数为例进行探究：设…﹐两边同乘以10得：，即，解得∴，因此，是有理数．(1)无限循环小数写成分数为__________．(2)试说明无限循环小数是一个有理数(3)大小比较：____．（选填“”“”或“”）(4)无限循环小数写成分数．（直接写出答案）【答案】(1)；(2)见解析；(3)=；(4)（或）【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题干转化思想是解题关键．（1）仿照题干，设，两边同乘以10，得到，求出的值即可；（2）设，两边同乘以10，得到，求出的值，即可说明结论；（3）设，两边同乘以10，得到，求出，即可得到答案；（4）设，两边同乘以100得到，解得：，再根据，即可得到答案．解：（1）设，两边同乘以10得：，即，解得：，即无限循环小数写成分数为，故答案为：；（2）设，两边同乘以10得：，即，解得：，即无限循环小数写成分数为，所以，无限循环小数是一个有理数；（3