北师大版数学 寒假作业07 数轴动点问题的六类综合题型（专项训练） 同步练习 含答案

数轴动点问题的六类综合题型目录典例详解类型一、点的运动时间类型二、定值问题类型三、数轴折叠问题类型四、点的往返运动问题类型五、线段之间数量关系问题类型六、数轴新定义问题压轴专练类型一、点的运动时间（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例1已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．(1)直接写出A、B两点之间的距离______；(2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数；(3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值．变式1-1已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．(1)求a、b的值；(2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______；(3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值．变式1-2如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足．(1)求C点对应的数；(2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．当时，求t的值；类型二、定值问题（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例2若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足．(1)；；线段的长；(2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；(3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．变式2-1阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且；回答下列问题：(1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是；②在①的情况下，如果，那么为；(2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是．(3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且，①直接写出的值．②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

变式2-2如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15．(1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____．(2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？(3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点．①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示）②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．变式2-3如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足．(1)________；________；________；(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________；(3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．类型三、数轴折叠问题（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例3．【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．(1)求点A、B之间的距离；(2)求线段的“理想点”所对应的数；(3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？变式3-1综合与探究数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：(1)平移运动一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是．(2)翻折变换①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示的点重合．②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示，E点表示．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数．变式3-2如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．(1)如图1，折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是___________，如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的方式折叠后能够重合，那么左边这个点表示的数是___________；(2)如图2，点A、B表示的数分别是、4，若数轴上有一点C，点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，那么点C表示的数是___________；(3)如图2，若数轴上有一点D，如果点D到A的距离与点D到B的距离之和为6，那么所有符合条件的点D所表示的整数之和为___________；(4)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，只留下中间的一段纸条进行如下操作：将纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，那么纸条上最右端的折痕与数轴的交点表示的数是___________，设最左端的折痕与数轴的交点为E，那么这段纸条上到点E的距离是1的点表示的数是___________．类型四、点的往返运动（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例4已知：且、、分别是点、、在数轴上对应的数.（1）求点与点的距离；（2）若甲、乙两个动点分别从、两点同时出发，沿数轴正方向运动，它们的速度分别是2和1（单位长度/秒），求甲追上乙时所用的时间；（3）在（2）的条件下，甲动点向数轴正方向运动，乙动点向数轴负方向运动.当甲动点开始运动时，丙动点以4个单位长度/秒的速度和甲动点同时从点向数轴正方向运动，当丙动点遇到乙动点时立即返回向数轴负方向运动，当遇到甲动点时也马上返回，如此往复直到甲乙两动点相遇则停止运动，设甲乙两动点在点处相遇，求从开始到停止运动，丙动点走的总路程以及点对应的数字.变式4-1如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为，，且．点P从A点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q达到A点时，点P，Q停止运动．（1）填空：，；（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案）变式4-2已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．

(1)当点运动秒时，______，______，______；(2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______；(3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？(4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由．变式4-3【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒．【综合运用】(1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________；(2)当为何值时，两点间距离为3；(3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由．类型五、线段之间的数量关系（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例5．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．

(1)则，，；(2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？（用含的代数式表示）的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；(3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，之间是否存在类似于（1）的数量关系？请说明理由．变式5．我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”．如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．

(1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”；(2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______；(3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________．类型六、数轴新定义问题（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例6定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2(1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？变式6-1将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．

利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点．(1)在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________；(2)在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致．①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数．变式6-2若数轴上点到点A的距离是点到点的距离2倍，就称点是【A，】的“好点”．例如：如图1，点A表示数，点表示数2．表示数1的点是【A，】的“好点”；又如，表示0的点就不是【A，】的“好点”．但点是【，A】的“好点”．

(1)如图2，①点，，表示的数分别是，，11，其中是【，】“好点”的是__________．②现有动点P从点开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，为和两点的“好点”？(2)数轴上点A、、表示的数分别为、、，且，点是【A，】的“好点”，问点A是【，】的“好点”吗？写出你的结论并说明理由．1．综合与与实践数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．

思考解答下列问题:(1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐；(2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，

此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示的点对齐；(3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数．2．如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4．点A到点C的距离可以用表示，且．(1)应用：，；(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是，此时，（用含t的式子表示）；(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值．3．如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满．(1)______，______，______；(2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值；(3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值．4．如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6．【问题提出】（1）点表示的数是________，点表示的数是________；【问题探究】（2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数；【问题解决】（3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离．5．如图：在数轴上，点A，B，C分别表示．

(1)；(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数________表示的点重合；(3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．②探究:若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．6．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化(1)平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是_______．A．（+3）+（+2）＝+5

B．（+3）+（﹣2）＝+1C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5

D．（﹣3）+（+2）＝﹣1②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2021次时，落在数轴上的点表示的数是．(2)翻折变换①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2021的点与表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示B点表示．③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣17、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数．7．已知，如图，、、分别为数轴上的三个点，点对应的数为60，点在点的左侧，并且与点的距离为30，点在点左侧，点到距离是点到点距离的4倍．（1）求出数轴上点对应的数及的距离．（2）点从点出发，以3单位/秒的速度项终点运动，运动时间为秒．①点点在之间运动时，则_______．（用含的代数式表示）②点在点向点运动过程中，何时、、三点中其中一个点是另外两个点的中点？求出相应的时间．③当点运动到点时，另一点以5单位/秒速度从点出发，也向点运动，点到达点后立即原速返回到点，那么点在往返过程中与点相遇几次？直接写出相遇是点在数轴上对应的数．8．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点．【理解定义】

（1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则；【解决问题】如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置．（2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度；（3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值．

数轴动点问题的六类综合题型目录典例详解类型一、点的运动时间类型二、定值问题类型三、数轴折叠问题类型四、点的往返运动问题类型五、线段之间数量关系问题类型六、数轴新定义问题压轴专练类型一、点的运动时间（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例1已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．(1)直接写出A、B两点之间的距离______；(2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数；(3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值．【答案】(1)(2)或(3)或或或或【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴两点间的距离，绝对值方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，得出，即可作答．（2）进行分类讨论，则点C在B点的右边；当点C在A点与B点的之间，当点C在A点的左边，分别运用数轴两点间的距离进行列式计算，即可作答．（3）考虑，则点P表示的数是，列式，解得或，点P第一次从点往点移动时，则点P表示的数是，得，解得或；当点P第二次从出发，列式，解得．据此即可作答．【详解】（1）解：∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6．∴∴A、B两点之间的距离为；（2）解：设点C在数轴上表示有理数c，点C在B点的右边，则结合数轴，，不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去；当点C在A点与B点的之间，∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，则解得，当点C在A点的左边，∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍，则解得，∴点C表示的数为或；（3）解：依题意，时间为t，点Q表示的数是，∵，∴，∴则点P表示的数是，∵，∴，即，∴或，解得或，当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时，则，∴则点P表示的数是，∵，∴，，即或，此时或，当点P刚好回到，此时点Q表示的数是，∵，∴，∵，∴当点P第二次从A出发，，则点P表示的数是，∵，∴，∴，综上或，或或．变式1-1已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．(1)求a、b的值；(2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______；(3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值．【答案】(1)(2)，(3)【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，（1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可；（2）根据点的运动得出代数式即可；（3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可．解题的关键是要运用分类讨论的思想．【详解】（1）解：，，；（2）解：由题意可知，E点对应的数为：，F对应的数为，故答案为：，；（3）解：在相遇前：，设时E、F相遇，即；解得，①当E点在F点左侧时，且F点没动时，由题意可得，，解得：，②当E点在F点左侧时，且F点已动时，，解得：，③当点E在点F右侧时，由题意，解得：，综上所述，符合条件的t的值为：．变式1-2如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足．(1)求C点对应的数；(2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．当时，求t的值；【答案】(1)4(2)或；【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是；（2）当M、N未相遇，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得；【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8，∴，∵，∴，，∴C点对应的数是，答：C点对应的数是4；（2）∵运动t秒时，当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是，∴，解得，当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是，∴，解得，综上所述，t的值为或；类型二、定值问题（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例2若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足．(1)；；线段的长；(2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；(3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．【答案】(1)，，；(2)或；(3)的值不随着时间的变化而变化，值为．【分析】（）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长；（）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数；（）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值．【详解】（1）∵，∴，，解得：，，∴线段的长为：，故答案为：，，；（2）由（）得：，∴，设对应的数为，由图知：在右侧时，不可能存在点；在左侧时，，解得:，当在、中间时，，解得:，故点对应的数是或；（3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下：秒钟后，点位置为：，∴点的位置为:，点的位置为:，∴，∴，∴的值不随着时间的变化而变化，值为．【点睛】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键．变式2-1阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且；回答下列问题：(1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是；②在①的情况下，如果，那么为；(2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是．(3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且，①直接写出的值．②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】(1)①②或5(2)(3)①，，②不变，2【分析】（1）①根据两点之间的距离公式可得；②根据距离公式得出关于的绝对值方程，求解即可；（2）的最小值，意思是到的距离与到2的距离之和最小，那么应在和2之间的线段上；（3）①先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出；②先求出，，从而得出．【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是；②如果，即，∴，∴或．故答案为：①；②或5；（2）∵，∴即为数轴上某点到的距离与该点到2的距离之和，如下图，

的最小值，即表示某点到的距离与到2的距离之和最小，所以，当时，最小值是3．故答案为：；（3）①∵是最大的负整数，∴，∵，又∵，，∴，，∴，，；②的值不随着时间的变化而改变，其值是2．理由如下：∵点都以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了绝对值方程、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．变式2-2如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15．(1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____．(2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？(3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点．①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示）②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)，14，24(2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2(3)①；；②MN的长是定值，【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段的长；（2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可；（3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解；②用两点间距离公式即可求解．【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且，所以，所以点B表示的数是；因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且，所以，所以点C表示的数是14，点B与点C的距离是（单位长度），所以线段BC的长为24个单位长度，故答案为：，14，24．（2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是，根据题意得，解得，所以，答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是．（3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为：，点C对应的数为：，∵M为中点，∴点M对应的数为：，t秒后点B对应的数为：，点D对应的数为：，∵N为中点，∴点N对应的数为：，故答案为：；；②线段的长为定值，∵点M对应的数为，点N对应的数为；∴，∴线段的长为定值．【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系．变式2-3如图，在数轴上点表示数，点示数，点表示数，的相反数是，且、满足．(1)________；________；________；(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），则点表示的数是________；(3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)，或(3)存在，【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题．（1）根据绝对值和平方的非负性，相反数，即可求出a，b，c的值；（2）先求出折点为，即可求出与点A重合的数，由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数；（3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答．【详解】（1）解：，，，，，的相反数为，，故答案为：，，；（2）解：与重合，即，重合，折点为，与点重合的点是，由三等分点得或，∴表示的数为或．故答案为：；或；（3）解：存在，∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，，，为定值，的值与无关，，∴．类型三、数轴折叠问题（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例3．【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．(1)求点A、B之间的距离；(2)求线段的“理想点”所对应的数；(3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？【答案】(1)120(2)20，60(3)16，40，64【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键．（1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可．（2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可．（3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可．【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100，∴，∴点A、B之间的距离是120．（2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为，当时，，∵点对应的数为，∴所对应的数为20；当时，，∵点对应的数为，∴所对应的数为60；∴线段的“理想点”所对应的数是20，60．（3）∵三条纸条的长度之比为，，∴，∴三条纸条的长度为24，24，72，①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图：则折痕到的长度是，∵点对应的数为，∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；②当从到三条纸条的长度为24，72，24，如图：则折痕到的长度是，∵点对应的数为，∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图：则折痕到的长度是，∵点对应的数为，∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是；综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64．变式3-1综合与探究数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：(1)平移运动一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是．(2)翻折变换①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示的点重合．②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示，E点表示．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数．【答案】(1)；1012(2)①；②；1013；③【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键．（1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题．（2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题．【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知，它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：；它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：；它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：；它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；…，由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是；当，即时，，所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是；当，即时，可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012；故答案为：，1012．（2）①由表示的点与表示3的点重合可知，，则折点所表示的数为1．因为，所以表示5的点与表示的点重合．故答案为：．②因为折痕与①的折痕相同，所以这次折叠的折点所表示的数也为1．又因为，所以点D表示的数为，点E表示的数为1013．故答案为：，1013．③由折叠可知，，因为点M、N表示的数分别是、8，所以．又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3，所以．因为，，所以点P表示的数为．故答案为：．变式3-2如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．(1)如图1，折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是___________，如果数轴上两点之间的距离为11，经过上述的方式折叠后能够重合，那么左边这个点表示的数是___________；(2)如图2，点A、B表示的数分别是、4，若数轴上有一点C，点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，那么点C表示的数是___________；(3)如图2，若数轴上有一点D，如果点D到A的距离与点D到B的距离之和为6，那么所有符合条件的点D所表示的整数之和为___________；(4)如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，只留下中间的一段纸条进行如下操作：将纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，那么纸条上最右端的折痕与数轴的交点表示的数是___________，设最左端的折痕与数轴的交点为E，那么这段纸条上到点E的距离是1的点表示的数是___________．【答案】(1)2，(2)2或10(3)7(4)；或【分析】（1）设折痕与数轴的交点表示的数为，根据折痕与数轴的交点是−1与5对应点的中点可得方程，解方程即可求得答案；按照（1）的折叠方式，中点为2，两点之间的距离为11，则左边数到中点的距离为个单位，据此即可求得答案；（2）分点C在A、B之间和B点右侧两种情况利用数轴上两点距离公式建立方程求解即可；（3）先判断点D在线段上，则点D对应的数为线段上的整数点，据此求解即可；（4）A、B两点之间距离为，连续对折5次后，共有段，每两条相邻折痕间的距离为，则最右端的折痕与数轴的交点表示的数是；最左端的折痕与数轴的交点E为，即可解得答案．【详解】（1）解：设折痕与数轴的交点表示的数为，由题意得，，解得，∴折痕与数轴的交点表示的数是2，设左边点表示的数为，则，解得，∴左边这个点表示的数是；故答案为：2，；（2）解：设点C表示的数为，∵，∴点C离点B较近，只有两种情况：①点C在线段上时，，解得：；②当点C在点B的右边数轴上时，，解得：．综上所述，点C表示的数为2或10，故答案为：2或10；（3）解：∵，∴点D在线段上，∴点D对应的数为、、0、1、2、、3、4．∴，故答案为：7；（4）解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离为，∴最右端的折痕与数轴的交点表示的数是；最左端的折痕与数轴的交点E表示的数为，到点E的距离是1的点表示的数是或．故答案为：；或．【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点距离公式，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质．类型四、点的往返运动（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例4已知：且、、分别是点、、在数轴上对应的数.（1）求点与点的距离；（2）若甲、乙两个动点分别从、两点同时出发，沿数轴正方向运动，它们的速度分别是2和1（单位长度/秒），求甲追上乙时所用的时间；（3）在（2）的条件下，甲动点向数轴正方向运动，乙动点向数轴负方向运动.当甲动点开始运动时，丙动点以4个单位长度/秒的速度和甲动点同时从点向数轴正方向运动，当丙动点遇到乙动点时立即返回向数轴负方向运动，当遇到甲动点时也马上返回，如此往复直到甲乙两动点相遇则停止运动，设甲乙两动点在点处相遇，求从开始到停止运动，丙动点走的总路程以及点对应的数字.【答案】（1）1；（2）甲追上乙时所用的时间为6秒；（3）丙动点运动的总路程为8个单位长度，点D对应的数是3.【分析】(1))利用绝对值的非负性，求出a，b，c的值,再求两点间距离即可；(2)先求出甲、乙两个动点的速度差，再根据时间=路程÷速度计算即可求出答案；(3)先求出甲与乙相遇时所需要的时间，求丙动点运动的总路程，求出点A走的路程，再求点D对应的数即可.【详解】解：（1）∵|a+1|≥0，（5﹣b）2≥0，|c+2|≥0，|a+1|+（5﹣b）2+|c+2|＝0，∴a+1＝0，5﹣b＝0，c+2＝0，∴a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2．∴AC=（-1）-（-2）=1（2）由题意，AB=5-（-1）=6∴6÷（2-1）=6答：甲追上乙时所用的时间为6秒.（3）根据题意，甲与乙相遇时所需要的时间为6÷（2+1）=2∴丙动点运动的总路程为2×4＝8个单位长度，∵点A的速度为2∴点A走的路程为2×2=4∴点D对应的数是（-1）+4=3答：丙动点运动的总路程为8个单位长度，点D对应的数是3.【点睛】本题考查数轴以及绝对值的非负性，有理数的混合运算，点的运动，根据点的运动特点，灵活运用时间=路程÷速度进行求解是解决问题的关键．变式4-1如图，数轴上有A，B两点，分别表示的数为，，且．点P从A点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q达到A点时，点P，Q停止运动．（1）填空：，；（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案）【答案】（1），（2）运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27；（3）5;(4)一共相遇了7次.【分析】（1）根据0+0式的定义即可解题；（2）设运动时间为秒,表示出P,Q的运动路程,利用路程和等于AB长即可解题；（3）根据点Q达到A点时，点P，Q停止运动求出运动时间即可解题；（4）根据第三问点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度即可解题.【详解】解：（1），

（2）设运动时间为秒

解得

答：运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27

（3）运动总时间：60÷2=30（秒），13×30÷60=6…30即点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,∵，∴点P所在的位置表示的数为5.

（4）由（3）得：点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,∴点P和点Q一共相遇了6+1=7次.【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系是解题关键.变式4-2已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．

(1)当点运动秒时，______，______，______；(2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______；(3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？(4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由．【答案】(1)，，；(2)，，；(3)；(4)，，，．【分析】（）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离；（）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离；（）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可；（）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可；此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．【详解】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒，∴时，点表示的数为，∴当点运动秒时，，，，故答案为：，，；（2）依题意，当点运动了秒时，则，点表示的数为，∴，，故答案为：，，；（3）∵，∴，即或，解得：，∴点表示的数为；（4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒）当点未到达点，

此时，，则点表示的数为，点表示的数为，则，即或，解得：或，∴点表示的数为或；当点从点返回后，

此时，，则点表示的数为，点表示的数为，则，即或，解得或，∴点表示的数为或，综上所述，点表示的数为，，，．变式4-3【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒．【综合运用】(1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________；(2)当为何值时，两点间距离为3；(3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由．【答案】(1)10，1(2)当或或时，P，Q两点间距离为3(3)，理由见详解【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想，结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数；当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可；根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可．【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6，∴，线段的中点表示的数为∶，故答案为：10，1（2）当点P与点B重合时，；当点Q与点A重合时，；当点Q返回到点B时，，当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，∵，∴或，解得：或，当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，∵，∴或，解得或(不符合题意，舍去)，综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3．（3），理由如下：∵点为的中点，点为的中点，∴，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，∵，∴，∴．类型五、线段之间的数量关系（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例5．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．

(1)则，，；(2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？（用含的代数式表示）的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；(3)由第（1）小题可以发现，．若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，之间是否存在类似于（1）的数量关系？请说明理由．【答案】(1)3，5，8(2)；不变，值为2(3)存在，见解析【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）由点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案；由点以每秒5单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案；（3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案．【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，1，6，，，，故答案为：3，5，8；（2）解：点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点与点之间的距离为：；点以每秒5单位长度的速度向右运动，运动秒后，点表示的数为：，，，的值不会随着时间的变化而改变；（3）解：点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动，运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：，，，，当时，，当时，，当时，，随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系．【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的两点之间的距离的求法，采用分类讨论的思想解题，是解题此题的关键．变式5．我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”．如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．

(1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”；(2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______；(3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________．【答案】(1)不是(2)或者(3)【分析】（1）根据关联点的定义，即可；（2）根据关联点的定义得到等式，再讨论点的位置，求出满足的值；（3）设点表示的数为，根据关联点的定义，得出用，，表示的代数式，再由点运动时，式子为定值，得关于的代数式中的系数为，即可求出，的数量关系．【详解】（1）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，∴，，∴，∵不是整数，∴原点不是“整关联点”．故答案为：不是．（2）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，，∴，，∴，若点是“整关联点”，∴，当点在线段之间，，∴点表示的数为：；当点在线段的延长线上，，∴，∴点表示的数为：；综上所述，点表示的数为：或者．故答案为：或者．（3）设点表示的数为，∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上，∴，；，，∴，，∴，当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，∴，解得：，∴整数，满足的数量关系为：，故答案为：．【点睛】本题考查新定义、数轴的知识，解题的关键的掌握数轴上两点的距离，动点问题，线段的数量关系，理解新定义的概念．类型六、数轴新定义问题（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大.（2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法.例6定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2(1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？【答案】(1)，或(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5【分析】本题考查数轴上两点间的距离及数轴动点问题、点是[，]的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考查点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据没好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值．【详解】（1）根据美好点的定义，，，，只有点符合条件，结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，点的右侧不存在满足条件的点，点和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是．故答案为：，或；（2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当为[，]的美好点，点在，之间，如图1，当时，，点对应的数为，因此秒；第二种情况，当为[，]的美好点，点在，之间，如图2，当时，，点对应的数为，因此秒；第三种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图3，当时，，点对应的数为，因此秒；第四种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图4，当时，，点对应的数为，因此秒；第五种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图5，当时，，点对应的数为，因此秒；第六种情况，为[，]的美好点，点在，左侧，如图6，当时，，因此秒；第七种情况，为[，]的美好点，点在左侧，当时，，因此秒，第八种情况，为[，]的美好点，点在右侧，当时，，因此秒，综上所述，的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．变式6-1将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．

利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点．(1)在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________；(2)在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致．①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数．【答案】(1)2；6(2)①14；②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，跳跃次数为38次、174次、410次【分析】（1）根据题干信息列出算式进行计算即可；（2）①根据跳跃规律，找出蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁跳跃的次数即可；②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得出，分两种情况：当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为；当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为，然后求出跳跃次数即可．【详解】（1）解：在双轴系中与的距离为：；与的距离为：．故答案为：2；6．（2）解：①蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、、、、、、、、…，∴蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁甲共跳跃了14次；②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得：，∴，当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为，则蚂蚁甲跳跃的次数为：（次），即此时蚂蚁甲跳跃的次数为偶数，不符合题意；当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为，蚂蚁甲第1次跳到时，跳跃次数为：（次），38是偶数，符合题意；蚂蚁甲第2次跳到时，跳跃次数为：（次），174是偶数，符合题意；蚂蚁甲第3次跳到时，跳跃次数为：（次），410是偶数，符合题意；综上分析可知，当甲乙两只蚂蚁的距离为时，跳跃次数为38次、174次、410次．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，有理数混合运算的应用，用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离．变式6-2若数轴上点到点A的距离是点到点的距离2倍，就称点是【A，】的“好点”．例如：如图1，点A表示数，点表示数2．表示数1的点是【A，】的“好点”；又如，表示0的点就不是【A，】的“好点”．但点是【，A】的“好点”．

(1)如图2，①点，，表示的数分别是，，11，其中是【，】“好点”的是__________．②现有动点P从点开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，为和两点的“好点”？(2)数轴上点A、、表示的数分别为、、，且，点是【A，】的“好点”，问点A是【，】的“好点”吗？写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①G；②或或13.5时，为和两点的“好点”；(2)点A是【，】的“好点”；理由见解析【分析】（1）①根据美好点的定义，结合图2，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件；②先表示出点P表示的数为：，分情况讨论：当点M为的“好点”时，，当点M为的“好点”时，，当点M为的“好点”时，，分别求出结果即可；（2）根据点是【A，】的“好点”，得出，根据，得出或，得出或；分两种情况进行证明即可．【详解】（1）解：①根据美好点的定义，，，，只有点符合条件，故答案为：；②∵动点P从点开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动，∴点P表示的数为：，当点M为的“好点”时，，即，解得：；当点M为的“好点”时，，即，解得：，当点M为的“好点”时，，即，解得：；综上分析可知，或或13.5时，为和两点的“好点”；（2）解：点A是【，】的“好点”；理由如下：∵点是【A，】的“好点”，∴，∵，∴或，∴或；①当时，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴点A是【，】的“好点”；②当时，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴点A是【，】的“好点”；综上分析可知，点A是【，】的“好点”．【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．1．综合与与实践数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．

思考解答下列问题:(1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐；(2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，

此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示的点对齐；(3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数．【答案】(1)；(2)，或；(3)或．【分析】（）根据题意可知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度，据此求解即可；（）先求出数轴甲上表示的数与的距离，再根据数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度进行求解即可；求出数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲上距离的距离即可得到答案；（）要求乙轴对应甲轴的数，即要先求出乙轴上到对齐点的距离在甲轴上表示的是多少，同理，要求甲轴对应乙的数，即要先求出甲轴上到对齐点的距离在乙轴上表示多少，据此求解即可；此题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，整式的加减计算，正确理解题意熟知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度是解题的关键．【详解】（1）∵数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐，∴数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度，∴数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐，故答案为：；（2）∵数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，∴数轴甲上表示的点与相距个单位长度，则在数轴乙上表示的点对齐；∴数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲表示：的点对齐，的点对齐，故答案为；；或；（3）由题意得：当在数轴乙原点左侧时，即表示的数为，∴与表示的点的距离为，则点表示的数；当在数轴乙原点右侧时，即表示的数为，∴与表示的点的距离为，则点表示的数，综上可知：点表示的数为或．2．如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4．点A到点C的距离可以用表示，且．(1)应用：，；(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是，此时，（用含t的式子表示）；(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值．【答案】(1)6；10(2)；或；(3)当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，．【分析】此题考查数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，（1）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可；（2）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可；（3）根据两点之间的距离公式分别求出，，即可判断．【详解】（1）解：，，故答案为：6；10；（2）解：t秒时点A表示的数是，此时或，故答案为：；或；（3）解：t秒时点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，当点A与点B重合时，，解得，当时，，，∴，此时的值随着时间t的变化而改变；当时，，，∴，此时的值不随着时间t的变化而改变，综上，当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，．3．如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满．(1)______，______，______；(2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值；(3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】本题考查了一元一次方程数轴上的点的运动问题，涉及绝对值方程、一元一次方程以及点的运动规律．需要通过解析方程和运动状态求解点的位置与时间关系．（1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为0，则每个非负数都为0成为解题的关键；（2）由题意可知，，结合两点距离公式求解绝对值方程即可，注意检验点P在点C左侧；（3）根据C到达O点前，以及C到达O点后进行分类讨论，注意转折点对方程产生的影响．【详解】（1）因为，所以，，又因为点B为中点，所以．故答案为：．（2）由题意可得，，因为，所以，解得：或．检验，当时，，满足条件，当时，，也满足条件，综上或．（3）由题意，可得：C到达O点前，有：①当M在O左侧时，此时，解得；②当M在O右侧、B左侧时，此时，解得无解；③当M在B右侧时，此时，解得无解；C到达O点后，有：④当M在B右侧时，此时，解得；综上或．4．如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6．【问题提出】（1）点表示的数是________，点表示的数是________；【问题探究】（2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数；【问题解决】（3）在（2）的条件下，点到点之间的距