北师大版数学 寒假作业13 平方差和完全平方公式（知识预习+达标检测） 试卷 含答案

平方差和完全平方公式【题型1平方差公式运算】【题型2巧用平方差公式简便计算】【题型3平方差公式的几何背景】【题型4完全平方公式】【题型5完全平方公式下得几何背景】【题型6完全平方公式的逆运算】

【题型7求完全平方公式中字母的系数】考点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.考点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2【题型1平方差公式运算】【典例1】（24-25八年级上·甘肃定西·期末）计算：2a+b2a−b=（

）

A．4a2+b2 B．【变式1-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知m+n=4，m2−nA．−4 B．−2 C．2 D．4【变式1-2】（24-25八年级上·天津·期末）计算(a+3)(a−3)的结果等于．【变式1-3】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：−2x+3y3y+2x=【题型2巧用平方差公式简便计算】【典例2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）用简便方法计算：(1)101×99；(2)20222(3)1−【变式2-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）运用乘法公式计算：20242【变式2-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）简便方法计算：(1)99×101(2)652【变式2-3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）用乘法公式计算：992【题型3平方差公式的几何背景】【典例3】（22-23六年级下·山东淄博·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个）A．a2B．a2C．a(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2−4y2=12②计算：1−1③计算：1+1【变式3-1】（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)实验与操作：上述操作能验证的等式是：________（请选择正确的选项）．A．a2−ab=aa−bC．a2+ab=aa+b(2)请利用你从（1）选出的等式计算：2−1⋅【变式3-2】（23-24七年级下·福建三明·阶段练习）[探究]（1）如图（1），边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图（1）中的阴影部分拼成一个长方形（如图（2）所示），通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）

[应用]（2）计算：20222[拓展]（3）计算：1002【变式3-3】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）A．a2−2ab+b2(2)若x2−9y2=12(3)计算：1−考点3：完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：考点4：拓展、补充公式；；；.【题型4完全平方公式】【典例4】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：(1)−5a+4b2；(2)2a−13b2；(3)2【变式4-1】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算：x+yx−2y(2)(3)x+y−z【变式4-2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式：(1)x4+3y2−x【变式4-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：2x−3【题型5完全平方公式下得几何背景】【典例5】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，将一个边长为a+b的正方形分成四部分，观察图形，解答下列问题：(1)请根据图中阴影部分面积写出一个关于a、b的代数恒等式：______．(2)应用代数恒等式解决下列问题：①若图中的a、ba>b满足a2+②已知4−3x2+2+3x【变式5-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）图①是一个长为2a，宽为2ba>b(1)图②中间空白部分的面积是________（填a+b2、a−b2或(2)观察图②，请写出代数式a+b2、a−b2、(3)根据图②得到的关系式解答下列问题：若x+y=4，xy=3，求x−y的值．【变式5-2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）数形结合是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图2，我们通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到一个数学公式．【操作】图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．【计算】（1）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积．方法1：________；方法2：________．【总结】（2）观察图2并结合前面的计算，我们可以得出m+n2，m−n2，【应用】（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：若a−b=7，ab=4，求a+b2【变式5-3】（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读理解】若x满足30−xx−10=100，求解：设30−x=a，x−10=b，则30−x⋅x−10=ab=100【解决问题】(1)若x满足2025−xx−2020=4，求(2)如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，E，F分别是BC，CD上的点，且BE=DF=x．分别以FC，CE为边在长方形【题型6完全平方公式的逆运算】【典例6】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知a+b=4，ab=−5，求：(1)a2(2)a−b2【变式6-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知a+b=5,ab=4，求(1)a2(2)(a−b)【变式6-2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）已知a+b2=25，ab=10，求（2）已知a+b2=17，a−b2【变式6-3】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知a2(1)ab；(2)a−b．【题型7求完全平方公式中字母的系数】【典例7】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若x2−4xy+my2是完全平方式，则A．2 B．4 C．8 D．12【变式7-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若4x2+mx+16是一个完全平方式，则mA．±8 B．8 C．±16 D．16【变式7-2】（24-25八年级上·青海果洛·期末）若x2+k+1x+9【变式7-3】（24-25七年级上·上海·假期作业）若x2+2ax+16是一个完全平方式，则a=一、单选题1．（24-25八年级上·海南·期中）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（

）A．a−2b+2 B．C．a−2−a−2 D．2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知a+b=3,a−b=1，则a2−bA．1 B．2 C．3 D．43．（24-25八年级上·山东威海·期中）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个因式分解的等式，则这个等式是（

）A．(a−b)2=aC．a2−b4．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）下列多项式是完全平方式的是（

）A．a2−4a+4 B．1+4a2 C．5.（2024八年级上·黑龙江·专题练习）−12m+1A．1−14m2 B．1−m+146．（23-24八年级上·四川绵阳·周测）如果25x2−kxy+49A．±35 B．35 C．−70 D．±70二、填空题7．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若x2−12x+k是一个完全平方式，则常数k的值为8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算：(2+3m)(3m−2)=9．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算：a−2b2=10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知x−y=3，xy=−2，则x2+11．（24-25八年级上·广东广州·期末）学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为a，宽为b的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式a+b2，a−b2，ab之间的等量关系三、解答题12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：(1)1+a1−a+aa−2；13.【观察】如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出a+b2，a−b2，【应用】若m+n=6，mn=5，则m−n=_______________；【拓展】如图③，正方形ABCD的边长为x，AE=5，CG=15，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．

平方差和完全平方公式【题型1平方差公式运算】【题型2巧用平方差公式简便计算】【题型3平方差公式的几何背景】【题型4完全平方公式】【题型5完全平方公式下得几何背景】【题型6完全平方公式的逆运算】

【题型7求完全平方公式中字母的系数】考点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.考点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：①位置变化，xyyxx2y2②符号变化，xyxyx2y2x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2ab2ab4a2b2⑤换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2【题型1平方差公式运算】【典例1】（24-25八年级上·甘肃定西·期末）计算：2a+b2a−b=（

）

A．4a2+b2 B．【答案】B【分析】本题考查平方差公式：(a+b)(a−b)=a【详解】解：2a+b2a−b故选B．【变式1-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）已知m+n=4，m2−nA．−4 B．−2 C．2 D．4【答案】B【分析】本题考查了平方差公式的有关运算，由m2−n【详解】解：∵m2∴m+nm−n∵m+n=4，∴m−n=−8÷4=−2，故选：B．【变式1-2】（24-25八年级上·天津·期末）计算(a+3)(a−3)的结果等于．【答案】a2−9【分析】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．(a+b)(a−b)=a【详解】(a+3)(a−3)==故答案为：a【变式1-3】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：−2x+3y3y+2x=【答案】9y2【分析】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．根据平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：−2x+3y3y+2x=故答案为：9y【题型2巧用平方差公式简便计算】【典例2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）用简便方法计算：(1)101×99；(2)20222(3)1−【答案】(1)9999(2)1(3)11【分析】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键．（1）根据平方差公式运算即可；（2）先根据平方差公式计算2023×2021，再算加减；（3）利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：101×99===9999；（2）解：原式===1．（3）解：原式==1=1=11【变式2-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）运用乘法公式计算：20242【答案】1【分析】本题考查了有理数混合运算，平方差公式的应用．根据平方差公式得出2023×2025=(2024−1)×(2024+1)=2024【详解】解：原式====1【变式2-2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）简便方法计算：(1)99×101(2)652【答案】(1)9999(2)33000【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，含乘方的有理数混合运算，平方差公式等知识点，运用平方差公式简化运算是解题的关键．（1）将99×101写成100−1×（2）先提取公因数11，将原式写成652【详解】（1）解：99×101===10000−1=9999；（2）解：65===100×30×11=3000×11=33000．【变式2-3】（24-25七年级上·上海普陀·期中）用乘法公式计算：992【答案】9999【分析】本题考查了有理数乘法，平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运算法则．利用平方差公式进行计算，即可得到答案．【详解】解：原式===999916【题型3平方差公式的几何背景】【典例3】（22-23六年级下·山东淄博·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个）A．a2B．a2C．a(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2−4y2=12②计算：1−1③计算：1+1【答案】(1)B(2)①x−2y=3；②20234044；③【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键．（1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可．（2）①利用平方差公式计算即可；②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可；③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可．【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的图2是长为a+b，宽为所以有a2故答案为：B；（2）①∵x2−4y2∴x−2y=3；②原式=1−1=1③原式=2×=2×=2×1−【变式3-1】（23-24七年级下·广东茂名·期中）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)实验与操作：上述操作能验证的等式是：________（请选择正确的选项）．A．a2−ab=aa−bC．a2+ab=aa+b(2)请利用你从（1）选出的等式计算：2−1⋅【答案】(1)D(2)2【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．（1）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；（2）根据平方差公式，2−1⋅2+1=22−1，【详解】（1）图1阴影部分的面积为：a2−b∵图1和图2阴影部分面积相等，∴a故选A．（2）2−1=====2【变式3-2】（23-24七年级下·福建三明·阶段练习）[探究]（1）如图（1），边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图（1）中的阴影部分拼成一个长方形（如图（2）所示），通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）

[应用]（2）计算：20222[拓展]（3）计算：1002【答案】（1）a+ba−b【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．（1）根据阴影部分的面积相等，得到a+ba−b（2）根据平方差公式进行计算即可求解；（3）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：（1）由题意可知，图（1）中的阴影部分面积为a2图（2）中的阴影部分面积为a2−b通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积相等，∴可以得到乘法公式a+ba−b故答案为：a+ba−b（2）2022====4；（3）100==100+99+98+97+…+4+3+2+1=5050．【变式3-3】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）A．a2−2ab+b2(2)若x2−9y2=12(3)计算：1−【答案】(1)B(2)3(3)2031【分析】本题考查平方差公式的几何背景：（1）用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可；（2）利用平方差公式将x2−9y2=12（3）将原式的每项利用平方差公式写成1−121+掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2图1可以拼成长a+b，宽为a−b的长方形，如图2，因此面积为a+ba−b因此有a2上述操作能验证的等式是a2故选：B（2）解：依题意，因为x2−9所以x+3y即x−3y=3，即x−3y的值为3；（3）解：依题意，1−=====2031考点3：完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：考点4：拓展、补充公式；；；.【题型4完全平方公式】【典例4】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：(1)−5a+4b2；(2)2a−13b2；(3)2【答案】(1)25(2)4(3)4(4)m【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式a±b2（1）运用完全平方公式进行计算即可；（2）运用完全平方公式进行计算即可；（3）运用完全平方公式进行计算即可；（4）运用完全平方公式进行计算即可．【详解】（1）解：−5a+4b==25a（2）解：2a−==4a（3）解：2==4（4）解：−mn+==m【变式4-1】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算：(1)x+yx−2y(2)(3)x+y−z【答案】(1)x(2)−5xy+9(3)x【分析】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）根据多项式乘以多项式的运算法则求解即可；（2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并同类项；（3）首先根据平方差公式计算，然后根据完全平方公式计算即可．【详解】（1）解：x+y==x（2）解：x−3y==−5xy+9y（3）解：x+y−z====x【变式4-2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式：(1)x4+3y2−x【答案】(1)3xy(2)4【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）首先利用完全平方公式计算，然后合并即可求解；（2）先分组，再按照完全平方公式计算．【详解】（1）x===3xy；（2）2a−3b+1===4a【变式4-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：2x−3【答案】13【分析】本题主要考查了完全平方公式及整式的加减，熟记公式是解答本题的关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项即可．【详解】解：原式=4=13x【题型5完全平方公式下得几何背景】【典例5】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，将一个边长为a+b的正方形分成四部分，观察图形，解答下列问题：(1)请根据图中阴影部分面积写出一个关于a、b的代数恒等式：______．(2)应用代数恒等式解决下列问题：①若图中的a、ba>b满足a2+②已知4−3x2+2+3x【答案】(1)a(2)①5；②−6【分析】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．（1）用两种方法表示出图形的面积，进而求解即可；（2）①由a+b2=a2+b2+2ab，再将已知条件代入得到a+b2=19+2×3=25，解得a+b=5；②设【详解】（1）解：根据图中条件得，该图形中阴影部分的总面积=a该图形中阴影部分的总面积还可以表示为a+b2∴图中阴影部分面积的代数恒等式为：a2（2）解：①a+b2∵a+b>0，∴a+b=5．②设4−3x=m,2+3x=n，∴m+n=4−3x+2+3x=6．∵m∴2mn=(m+n)∴mn=−6．即4−3x2+3x【变式5-1】（24-25八年级上·吉林长春·期末）图①是一个长为2a，宽为2ba>b(1)图②中间空白部分的面积是________（填a+b2、a−b2或(2)观察图②，请写出代数式a+b2、a−b2、(3)根据图②得到的关系式解答下列问题：若x+y=4，xy=3，求x−y的值．【答案】(1)a−b(2)a+b2(3)x−y=±2．【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是理解题意，结合图形求解．（1）结合图形可知空白部分的面积为：大正方形的面积-4个小长方形面积，计算即可；（2）由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，即可解答；（3）由（2）可得：x−y2【详解】（1）解：由图形可知：空白部分的面积=a+b故答案为：a−b2（2）解：由图②可知：大正方形面积=空白部分的面积+4个长方形面积，∴a+b2（3）解：∵a+b2∴x+y2∵x+y=4，xy=3，∴x−y2∴x−y=±2．【变式5-2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）数形结合是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图2，我们通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到一个数学公式．【操作】图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．【计算】（1）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积．方法1：________；方法2：________．【总结】（2）观察图2并结合前面的计算，我们可以得出m+n2，m−n2，【应用】（3）根据（2）中的等量关系，解决下列问题：若a−b=7，ab=4，求a+b2【答案】（1）①方法1：m−n2；②方法2：m+n2−4mn【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景以及应用，根据阴影部分的两个面积代数式相等得出m+n2（1）①方法1：求出阴影部分正方形的边长即可得出答案；②方法2：用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可得出答案；（2）根据阴影部分的两个面积代数式相等可得出答案；（3）将mn=5，m−n=4代入（2）中的等量关系即可得出答案．【详解】解：（1）根据图形可得：①方法1：m−n2②方法2：m+n2（2）根据阴影部分的两个面积代数式相等可得：m+n2（3）∵a+b2−4ab=a−b2，∴a+b2【变式5-3】（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读理解】若x满足30−xx−10=100，求解：设30−x=a，x−10=b，则30−x⋅x−10=ab=100【解决问题】(1)若x满足2025−xx−2020=4，求(2)如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，E，F分别是BC，CD上的点，且BE=DF=x．分别以FC，CE为边在长方形【答案】(1)17(2)320【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．（1）设2025−x=a,x−2020=b，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可；（2）利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可．【详解】（1）解：设2025−x=a,x−2020=b，则2025−xx−2020所以(2025−x)2（2）解：根据题意，得FC=20−x,EC=12−x．因为长方形CEPF的面积为128，所以20−x12−x所以20−xx−12根据题意，可知阴影部分的面积为(20−x)2设20−x=a,x−12=b，则20−xx−12所以(20−x)2所以阴影部分的面积为320．【题型6完全平方公式的逆运算】【典例6】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知a+b=4，ab=−5，求：(1)a2(2)a−b2【答案】(1)26(2)36【分析】（1）把a2+b2变形为a+b2（2）把a−b2变形为a+b2−4ab，再把a+b=4本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式(a±b)2【详解】（1）解：∵a+b=4，ab=−5，∴a（2）解：∵a+b=4，ab=−5，a−b2【变式6-1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）已知a+b=5,ab=4，求(1)a2(2)(a−b)【答案】(1)17(2)14【分析】本题考查了完全平方公式，用公式法解因式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．（1）根据a2（2）根据(a−b)2【详解】（1）解：a==17；（2）解：(a−b)2=17−2×4+5=14．【变式6-2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）（1）已知a+b2=25，ab=10，求（2）已知a+b2=17，a−b2【答案】（1）5（2）1【分析】本题主要考查了代数式求值，通过对完全平方公式变形求值，整式的加减运算等知识点，熟练掌握通过对完全平方公式变形求值是解题的关键．（1）利用完全平方公式将原式变形为a2+b2=（2）利用完全平方公式将a+b2=17，【详解】解：（1）∵a+b2=25∴===25−2×10=25−20=5；（2）∵a+b2=17∴a2两式相减得：4ab=4，∴ab=1．【变式6-3】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知a2(1)ab；(2)a−b．【答案】(1)ab=1(2)a−b=±【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键．（1）根据a+b=3可得a+b2=a（2）根据a−b2=a2−2ab+【详解】（1）解：∵a+b=3，∴a+b2又∵a2∴7+2ab=9，∴2ab=2，∴ab=1；（2）∵a−b2=a2−2ab+∴a−b2∴a−b=±5【题型7求完全平方公式中字母的系数】【典例7】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若x2−4xy+my2是完全平方式，则A．2 B．4 C．8 D．12【答案】B【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【详解】解：∵x2∴m=2故选：B．【变式7-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若4x2+mx+16是一个完全平方式，则mA．±8 B．8 C．±16 D．16【答案】C【分析】本题考查了完全平方公式“a±b2=a【详解】解：∵4x∴4x∴4x∴m=±16，故选：C．【变式7-2】（24-25八年级上·青海果洛·期末）若x2+k+1x+9【答案】−7或5【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构形式a2利用完全平方公式(a+b)2【详解】解：∵x2∴k+1=±6，∴k=−7或5．故答案为：−7或5．【变式7-3】（24-25七年级上·上海·假期作业）若x2+2ax+16是一个完全平方式，则a=【答案】±4【分析】此题考查了完全平方公式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值．【详解】解：∵x2∴2a=±8，解得a=±4．故答案为：±4．一、单选题1．（24-25八年级上·海南·期中）下列整式的乘法计算中能运用平方差公式计算的是（

）A．a−2b+2 B．C．a−2−a−2 D．【答案】C【分析】根据公式a−ba+b本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．【详解】解：A.a−2b+2不符合公式，本选项错误；B.a−2a−2不符合公式，本选项错误；C.a−2−a−2=−D.a−2−a+2不符合公式，本选项错误；故选：C．2．（2024八年级上·全国·专题练习）已知a+b=3,a−b=1，则a2−bA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式即可得出答案．【详解】解：∵a+b=3,a−b=1，∴原式=a+b故选：C．3．（24-25八年级上·山东威海·期中）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个因式分解的等式，则这个等式是（

）A．(a−b)2=aC．a2−b【答案】C【分析】本题考查了平方差公式与几何图形．解题的关键在于正确表示两个图形中阴影部分的面积．根据阴影部分面积相等列等式即可．【详解】解：由面积相等可知a2故选：C．4．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段练习）下列多项式是完全平方式的是（

）A．a2−4a+4 B．1+4a2 C．【答案】A【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项逐项判断即可．【详解】解：A．a2B．1+4aC．4bD．a2+2ab+b故选：A．5.（2024八年级上·黑龙江·专题练习）−12m+1A．1−14m2 B．1−m+14【答案】B【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可．【详解】解：−==1−m+1故选：B．6．（23-24八年级上·四川绵阳·周测）如果25x2−kxy+49A．±35 B．35 C．−70 D．±70【答案】D【分析】本题考查了完全平方公式的应用，式中首尾两项分别是5x和7y的平方，所以中间项应为加上或减去5x和7y的乘积的2倍，即可得到结果，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．【详解】解∶∵25x∴−k=±2×5×7，∴k=±70，故选：D．二、填空题7．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若x2−12x+k是一个完全平方式，则常数k的值为【答案】36【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可．【详解】解：∵x2∴k=故答案为：36．8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算：(2+3m)(3m−2)=