北师大版数学 寒假作业15 垂直平分线和角平分线（知识预习+达标检测） 试卷 含答案

垂直平分线和角平分线【题型1：线段垂直平分线的性质在线段中的应用】【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】【题型6：角平分线性质】

【题型7：角平分线性质在实际中应用】【题型8：角平分线的性质与全等】考点1：线段垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。2.线段垂直平分线的作图1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；2.作直线CD，CD为所求直线考点2：线段垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.【题型1：线段垂直平分线的性质在线段中的应用】【典例1】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，△ABC中，AB=AE，且AD⊥BC,EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16,AC=6，则A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【变式1-1】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，点M，交AB于点E，交AC于点F，若BC=4，则△ADM的周长为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【变式1-2】（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，在ΔABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D，若ED=3，则CE的长为（

A．6 B．4 C．3 D．1.5【变式1-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB=90°,∠B=15°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=13cm，则A．13cm B．6.5cm C．30cm【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】【典例2】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BDC=60°，DE垂直平分AC，则∠B的度数为（

）A．55° B．65° C．75° D．80°【变式2-1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=35°分别以点B，C为圆心，以大于12BC长为半径画弧，交于点M，N，连接MN交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为（A．70° B．60° C．65° D．75°【变式2-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC边的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．若∠PAQ=42°，则∠BAC的度数是（

）A．140° B．111° C．110° D．120°【变式2-3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，如图，在△ABC中，∠B=76°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AB+BD=BC，则∠C的度数为（

）A．28° B．38° C．36° D．30°【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】【典例3】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（

）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【变式3-1】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点A），临建楼（图中的点B）和图书馆（图中的点C）进行装修，装修工人需要放置一批装修物资，使得装修物资到点A，点B和点C的距离相等，则装修物资应该放置在（

）A．AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处【变式3-2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在边AC,BC两条高的交点处B．在边AC,BC两条中线的交点处C．在边AC,BC两条垂直平分线的交点处D．在∠ABC,∠ACB两条角平分线的交点处【变式3-3】（24-25八年级上·云南迪庆·期中）2024年10月23日至24日，第三届“一带一路”能源部长会议在山东举行，提出了未来5年“一带一路”能源合作伙伴成员国的七方面计划．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（

）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点 D．三边高线的交点【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】【典例4】（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．(1)求证OB=OD；(2)求证：OE垂直平分BD．【变式4-1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF与直线MN交于点P．(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上．(2)已知∠FAN=52°，求∠FPN的度数．【变式4-2】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．(1)请判断AC与BD之间的位置关系，并说明理由；(2)若AC=6，BD=8，求四边形ABCD的面积．【变式4-3】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，OE平分∠AOB，EC⊥OA于点C，DE⊥OB于点D，连接CD．(1)试说明OD=OC；(2)∠BDC与∠ACD相等吗？请说明理由；(3)OE是否垂直平分CD，请说明理由．考点3：角的平分线的性质（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于123、画射线OC，射线OC即为所求。（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。重要拓展：1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。∵AD是∠BAC的角平分线；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】【典例5】（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄C、D，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄C、D的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法）【变式5-1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10．(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）(2)尺规作图：在（1）问所得的角平分线上取一点P，使得PA=PB；(3)求点D到AB的距离．【变式5-2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，已知△ABC，∠B=90°，AB<BC．(1)尺规作图：在AC上作一点D，使点D到A、B两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；(2)连接BD，若∠A=46°，则∠DBC=________°．【变式5-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，A，B，C为三个景点，连接各景点的有AB，BC，AC三条小路，现计划在三个景点围成的三角形区域内建立一个纪念品商店，要求商店与观景点B和观景点C的距离相等，且到小路AB，BC的距离也相等，请你确定纪念品商店的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【题型6：角平分线性质】【典例6】（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若△ACD的面积为2，则△ABD的面积是（A．2 B．3 C．4 D．6【变式6-1】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC，若BC=10cm，则△DEC的周长为（A．8cm B．10cm C．12cm【变式6-2】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，根据尺规作图的痕迹作射线AF交边BC于点G．若BG=1，AC=4，则△ACG的面积为【变式6-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是．【题型7：角平分线性质在实际中应用】【典例7】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点AB、BC、CA表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在

A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上【变式7-1】（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，有A,B,C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（

）

A．∠A,∠B两内角的平分线的交点处 B．AC,AB两边高线的交点处C．AC,AB两边中线的交点处 D．AC,AB两边垂直平分线的交点处【变式7-2】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，AB，AC，BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（

）A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．△ABC三条中线的交点位置【变式7-3】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（

）A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC内任意一点C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点【题型8：角平分线的性质与全等】【典例8】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∠ABD+∠C=180°，BD=CD．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC=18，AB=10，求BE的长．【变式8-1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．(1)求证：DE平分∠ADC；(2)若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求【变式8-2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，连接DE，

(1)若AE平分∠DAB，求证：DE是∠ADC的平分线；(2)在（1）的条件下，若CD=3，AB=2，直接写出AD的长为________；(3)若AE⊥DE，求证：DE是∠ADC的平分线．【变式8-3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，DE⊥AB于点E，点F在BC边上，DF=AD，CF=AE，连接BD(1)求证：BD平分∠ABC；(2)若AB=10，CF=2，求线段BF的长．一、单选题1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，作DE⊥AB于点E．若点E恰好是AB的中点，则∠A的度数为（

）A．15° B．30° C．45° D．60°2.（24-25八年级上·福建福州·期中）已知△ABC，下列尺规作图能确定∠BAD=∠ABD的是（

）A．B．C．D．3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是用尺规作∠AOB的平分线OC的示意图，这样作图的依据是()A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在△ABC中，AB=9，AC=3，BC=7，点D在边BC上，点D到边AB，AC的距离相等，且AE=AC，则△BDE的周长等于（

）A．10 B．13 C．16 D．195．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，△ABC中，DE是线段AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，∠B=55°，∠C=40°，则∠BAD=（

）A．40° B．45° C．50° D．55°6．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，S△ABC=10，DE=2，AC=4，则AB的长是（A．8 B．6 C．4 D．2二、填空题7．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在△ABC中，AC=7cm，DE垂直平分AB，且BD=5cm，则CD的长为8．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，DE⊥AC于点E．若BC=6，DE=2，则△BCD的面积为．三、解答题9．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．(1)若BE=CF，求证：AD是△ABC的角平分线；(2)若AD是△ABC的角平分线，求证：BE=CF．10．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点．DE平分∠ADC．(1)求证：AE是∠DAB的平分线；(2)已知AE=4，DE=3，求四边形ABCD的面积．11．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）【问题】如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，根据教材中一个重要性质直接可得DB=DC，这个性质是________________________；（2）【探究】如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B<90°，求证：DB=DC；（3）【应用】如图3，四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC，DE⊥AB，若BE=3，求AB−AC的值．

垂直平分线和角平分线【题型1：线段垂直平分线的性质在线段中的应用】【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】【题型6：角平分线性质】

【题型7：角平分线性质在实际中应用】【题型8：角平分线的性质与全等】考点1：线段垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。2.线段垂直平分线的作图1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；2.作直线CD，CD为所求直线考点2：线段垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.【题型1：线段垂直平分线的性质在线段中的应用】【典例1】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，△ABC中，AB=AE，且AD⊥BC,EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16,AC=6，则A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【答案】C【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用，根据△ABC周长为16，AC=6，可得AB+BC=10，根据垂直平分线的性质可得EA=EC，根据AB=AE，AD⊥BC，可得BD=DE，所以【详解】解：∵△ABC周长为16，∴AB+BC+AC=16，∵AC=6，∴AB+BC=10，∵EF垂直平分AC，∴EA=EC，∵AB=AE，∴BD=DE，∴AB+BD=AE+DE=1∴DC=DE+EC=AE+DE=5，故选：C．【变式1-1】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，点M，交AB于点E，交AC于点F，若BC=4，则△ADM的周长为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到DB=DA，MA=MC，再计算△ADM的周长即可．【详解】解：∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，点M，∴DB=DA，MA=MC，∵BC=4，∴△ADM的周长为AD+DM+AM=BD+DM+MC=BC=4，故选：A．【变式1-2】（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，在ΔABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D，若ED=3，则CE的长为（

A．6 B．4 C．3 D．1.5【答案】A【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质及直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半，根据∠B=30°，ED=3得BE=2DE=6，结合垂直平分线性质求解即可得到答案．【详解】解：∵BC的垂直平分线交AB于点E，∴BE=CE，∠EDB=90°，∵∠B=30°，ED=3，∴CE=BE=2DE=6，故选：A．【变式1-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB=90°,∠B=15°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=13cm，则A．13cm B．6.5cm C．30cm【答案】B【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质等知识，利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm，再利用外角的性质得∠ADC=30°，即可得AC【详解】解：如图，连接AD，∵AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B，∵∠B=15°，BD=13cm∴∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm∴∠ADC=30°，∴AC=1故选：B．【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】【典例2】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BDC=60°，DE垂直平分AC，则∠B的度数为（

）A．55° B．65° C．75° D．80°【答案】C【分析】根据DE垂直平分AB，得出DA=DB，求出∠ABD=∠A=30°，根据AB=AC，利用等边对等角，最后求出结果即可．【详解】解：∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A，∵∠BDC=60°，∠BDC=∠A+∠ACD，∴∠A=1∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ACB=∠B=1故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式2-1】（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=35°分别以点B，C为圆心，以大于12BC长为半径画弧，交于点M，N，连接MN交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为（A．70° B．60° C．65° D．75°【答案】A【分析】本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线性质是关键．根据作图得到MN垂直平分BC，进而得到BD=CD，得到∠DCB=∠B=35°，再根据三角形的内角和180°，即可得出结果．【详解】解：由作图可知：MN垂直平分BC，∴BD=CD，∴∠DCB=∠B=35°，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=180°−40°+35°∴∠ACD=∠ACB−∠DCB=105°−35°=70°；故选：A【变式2-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC边的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q．若∠PAQ=42°，则∠BAC的度数是（

）A．140° B．111° C．110° D．120°【答案】B【分析】在△ABC中，PM、QN分别是AB、BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得∠PAB=∠B，∠CAQ=∠C，又由三角形的内角和定理可得2∠B+∠C+∠PAQ=180°，结合【详解】解：在△ABC中，PM、QN分别是AB、BC的垂直平分线，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴2∠B+∠C∵∠PAQ=42°，∴∠B+∠C=69°，∴∠BAC=180°−69°=111°．故选：B．【变式2-3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，如图，在△ABC中，∠B=76°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，若AB+BD=BC，则∠C的度数为（

）A．28° B．38° C．36° D．30°【答案】B【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定，熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定是解题的关键．由DE垂直平分AC以及垂直平分线的性质，可得AD=CD，再由AB+BD=BC，可得AD=AB，再结合∠B=76°，通过角度计算即可求解∠C的度数．【详解】解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠DAC=∠C，∵AB+BD=BC，∴AB+BD=BD+CD，∴AB=CD，∴AD=AB，∴∠ADB=∠B=76°，又∵∠ADB=∠C+∠DAC，∴∠C=1故选：B．【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】【典例3】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（

）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质即可直接得出答案．【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D．【变式3-1】（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点A），临建楼（图中的点B）和图书馆（图中的点C）进行装修，装修工人需要放置一批装修物资，使得装修物资到点A，点B和点C的距离相等，则装修物资应该放置在（

）A．AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质判断即可．【详解】解：如图，作分别作AC、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP，则AP=CP，AP=BP，∴AP=BP=CP，故选：D．．【变式3-2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在边AC,BC两条高的交点处B．在边AC,BC两条中线的交点处C．在边AC,BC两条垂直平分线的交点处D．在∠ABC,∠ACB两条角平分线的交点处【答案】C【分析】本题考查了垂直平分线的性质的应用，根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等即可求解，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在AC,BC两边垂直平分线的交点处．故选：C．【变式3-3】（24-25八年级上·云南迪庆·期中）2024年10月23日至24日，第三届“一带一路”能源部长会议在山东举行，提出了未来5年“一带一路”能源合作伙伴成员国的七方面计划．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（

）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点 D．三边高线的交点【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，正确理解线段垂直平分线的性质定理逆定理是解答本题的关键．线段垂直平分线的性质定理逆定理：和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据线段垂直平分线的性质定理逆定理进行推理，即可得到答案．【详解】解：到北京和莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上，到北京和雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上，则中转仓的位置应选在△ABC的三边的垂直平分线的交点处．故选：C．【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】【典例4】（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．(1)求证OB=OD；(2)求证：OE垂直平分BD．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．（1）ASA证明△AOB≌（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【详解】（1）证明：在△AOB与△COD中，∠A=∠COA=OC∴△AOB≌∴OB=OD．（2）证明：由（1）得△AOB≌∴OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，∵BE=DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，∴OE垂直平分BD．【变式4-1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF与直线MN交于点P．(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上．(2)已知∠FAN=52°，求∠FPN的度数．【答案】(1)详见解析(2)64°【分析】（1）连接BP，AP，PC，根据线段垂直平分线的性质证明PB=PA=PC，从而证明结论即可；（2）先根据相等垂直平分线的性质证明FA=FB，NA=NCAEP=∠AMP=90°，进而得∠ABC=∠BAF，∠ACB=∠CAN．由三角形的内角和得∠ABC+∠ACB=64°，再求得∠EPM+∠CAB=180°，∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，从而即可得解。本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．【详解】（1）证明：如图，连接BP，AP，PC．∵EF垂直平分AB，MN垂直平分AC，∴PA=PB，PA=PC，∴PB=PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上，（2）解：∵EF垂直平分AB，MN垂直平分AC，∴FA=FB，NA=NC，AEP=∠AMP=90°，∴∠ABC=∠BAF，∠ACB=∠CAN．∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠FAN=52°，∴2∠ABC+2∠ACB+52°=180°，∴2∠ABC+∠ACB∴∠ABC+∠ACB=64°．∵∠PEA+∠PMA+∠EPM+∠CAB=360°，∠PEA+∠PMA=180°，∴∠EPM+∠CAB=180°，∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∴∠FPN=∠EPM=∠ABC+∠ACB=64°【变式4-2】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．(1)请判断AC与BD之间的位置关系，并说明理由；(2)若AC=6，BD=8，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)AC⊥BD，理由见解析(2)24【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、四边形的面积等知识点，掌握垂直平分线的判定方法是解题的关键．（1）先说明点B、点D都在线段AC的垂直平分线上即可证明结论；（2）根据S四边形ABCD【详解】（1）解：AC⊥BD．理由如下：∵AD=CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上．∵AB=CB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）得，AC⊥BD，∴S四边形ABCD=【变式4-3】（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，OE平分∠AOB，EC⊥OA于点C，DE⊥OB于点D，连接CD．(1)试说明OD=OC；(2)∠BDC与∠ACD相等吗？请说明理由；(3)OE是否垂直平分CD，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)∠BDC=∠ACD，理由见解析(3)OE垂直平分CD，理由见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定：（1）利用AAS证明△EOD≌△EOC，即可证明结论；（2）设CD，OE交于H，证明△HOD≌△HOC得到（3）根据全等三角形的性质得到OD=OC，【详解】（1）证明：∵OE平分∠AOB，∴∠EOD=∠EOC，∵EC⊥OA，DE⊥OB，∴∠EDO=∠ECO=90°，又∵OE=OE，∴△EOD≌△EOCAAS∴OD=OC；（2）解：∠BDC=∠ACD，理由如下：设CD，OE交于∵∠EOD=∠EOC，OD=OC，OH=OH，∴△HOD≌△HOCSAS∴∠ODC=∠OCD，∵∠ODC+∠BDC=180°=∠OCD+∠ACD，∴∠BDC=∠ACD；（3）解：OE垂直平分CD，理由如下：、∵△EOD≌△EOC，∴OD=OC，∴点O和点E都在线段CD的垂直平分线上，∴OE垂直平分CD．考点3：角的平分线的性质（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于123、画射线OC，射线OC即为所求。（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。重要拓展：1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。∵AD是∠BAC的角平分线；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC【题型5：作图-线段垂直平分线和角平分线】【典例5】（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄C、D，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄C、D的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．先作出线段CD的垂直平分线EF，再作出∠AOB的平分线OP，则EF与OP的交点P即为所求．【详解】解：如图，点P即为所求作的点．【变式5-1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10．(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）(2)尺规作图：在（1）问所得的角平分线上取一点P，使得PA=PB；(3)求点D到AB的距离．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【分析】本题考查了角平分线的尺规作图及性质、线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键．（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧与AB、BC相交；再以两交点为圆心，同一半径画弧即可完成作图；（2）作出线段AB的垂直平分线即可；（3）作DH⊥AB，证△DHB≌△DCB，得BD=BC=8，AH=AB−BH=2；根据DH【详解】（1）解：如图所示：BD即为所求（2）解：如图所示：点P即为所求（3）解：作DH⊥AB，如图所示：∵BD平分∠ABC，DH⊥AB，∠C=90°，∴DH=DC，∵DB=DB，∴△DHB≌△DCB，∴BD=BC=8，∴AH=AB−BH=2，∵AD=AC−CD=AC−DH=6−DH，∴DH解得：DH=8∴点D到AB的距离为83【变式5-2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，已知△ABC，∠B=90°，AB<BC．(1)尺规作图：在AC上作一点D，使点D到A、B两点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；(2)连接BD，若∠A=46°，则∠DBC=________°．【答案】(1)见解析(2)44【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）作线段AB的垂直平分线，此直线与线段AC的交点即为D点；（2）先根据AD=BD求出∠ABD=46°，再由直角三角形的性质得出∠ABC的度数，进而可得出∠DBC．【详解】（1）解：作线段AB的垂直平分线，此直线与线段AC相交于D点，∴DA=DB，如图，点D即为所求，；（2）解：由（1）知：DA=DB，∴∠DBA=∠A=46°，∵∠ABC=90°，∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=44°，故答案为：44．【变式5-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，A，B，C为三个景点，连接各景点的有AB，BC，AC三条小路，现计划在三个景点围成的三角形区域内建立一个纪念品商店，要求商店与观景点B和观景点C的距离相等，且到小路AB，BC的距离也相等，请你确定纪念品商店的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】本题考查了尺规作图作线段的垂直平分和角平分线、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，作线段BC的垂直平分线AP，则直线AP上的点到B、C两点的距离相等，作∠ABC的平分线BP，则BP上的点到小路AB，BC的距离也相等，所以AP、BP的交点P满足与观景点B和观景点C的距离相等，且到小路AB，BC的距离也相等．【详解】解：如下图所示，作线段BC的垂直平分线AP，作∠ABC的平分线BP，AP、BP交于点P，点P即为所求作的纪念品商店位置．【题型6：角平分线性质】【典例6】（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若△ACD的面积为2，则△ABD的面积是（A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】本题考查的是直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD，根据直角三角形的性质得出AB=2AC，根据S△ABD【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB，∴DE=CD，∵∠C=90°，∴AB=2AC，∴S△ABD故选：C．【变式6-1】（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC，若BC=10cm，则△DEC的周长为（A．8cm B．10cm C．12cm【答案】B【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．由角平分线得到DE=AD，再证明Rt△ABD≌Rt【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD，在Rt△ABD和Rt∵BD=BDAD=DE∴Rt∴AB=BE，∴△DEC的周长=DE+CD+CE=AD+CD+CE，=AC+CE，=AB+CE，=BE+CE，=BC，∵BC=10cm∴△DEC的周长是10cm故选：B．【变式6-2】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，根据尺规作图的痕迹作射线AF交边BC于点G．若BG=1，AC=4，则△ACG的面积为【答案】2【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．首先根据角平分线的性质得到GH=BG=1，然后三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图所示，过点G作GH⊥AC于点H，

由作图痕迹知AG平分∠CAB，GH⊥AC，∠B=90°，∴GH=BG=1，∵AC=4，∴△ACG的面积=1故答案为：2．【变式6-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是．【答案】33【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．【详解】解：如图，连接OA，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴点O到AB、AC、BC的距离都相等，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC故答案为：33．【题型7：角平分线性质在实际中应用】【典例7】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点AB、BC、CA表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在

A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上【答案】B【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键．由它到三条公路的距离相等，即其在三条角平分线的交点上，据此即可解答．【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意；B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，符合题意；C．三角形高的交点为垂心，不符合题意；D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，不符合题意．故选B．【变式7-1】（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，有A,B,C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（

）

A．∠A,∠B两内角的平分线的交点处 B．AC,AB两边高线的交点处C．AC,AB两边中线的交点处 D．AC,AB两边垂直平分线的交点处【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，根据根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得出答案．【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC,AB两边垂直平分线的交点处．故选：D．【变式7-2】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，AB，AC，BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（

）A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．△ABC三条中线的交点位置【答案】A【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，∴加油站应该在△ABC三条角平分线的交点处．故选：A【变式7-3】（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（

）A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC内任意一点C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点【答案】D【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点，故选：D．【题型8：角平分线的性质与全等】【典例8】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∠ABD+∠C=180°，BD=CD．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC=18，AB=10，求BE的长．【答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）由DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，得∠E=∠CFD=∠AFD=90°，由∠ABD+∠DBE=180°，∠ABD+∠C=180°，推导出∠DBE=∠C，而BD=CD，可根据“AAS”证明△DBE≌△DCF，得DE=DF，即可证明AD平分∠BAC；（2）由AD=AD，DE=DF，根据“HL”证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE=AF本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，证明△DBE≌△DCF是解题的关键．【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠CFD=∠AFD=90°，∵∠ABD+∠DBE=180°，∠ABD+∠C=180°，∴∠DBE=∠C，在△DBE和△DCF中，∠DBE=∠C∠E=∠CFD∴△DBE≌△DCFAAS∴DE=DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC；（2）解：由（1）得∠E=∠AFD=90°，DE=DF，在Rt△ADE和RtAD=ADDE=DF∴Rt△ADE≌∴AE=AF，∴AB+BE=AC−CF，∵△DBE≌△DCF，∴BE=CF，∴10+BE=18−BE，∴BE=4，∴BE的长为4．【变式8-1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．(1)求证：DE平分∠ADC；(2)若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求【答案】(1)证明见解析(2)△ABE的面积为9．【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE=∠CAD=40，根据角平分线的判定与性质得EF=EG，EF=EH，则（2）设EG=x，则EF=EH=EG=x，根据S△ACD=S△ADE+S△CDE【详解】（1）证明：如图，过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵EF⊥AB，∠AEF=50°，∴∠FAE=90°−50°=40°，∵∠BAD=100°，∴∠CAD=180°−∠BAD−∠FAE=40°，∴∠FAE=∠CAD=40°，∴CA为∠DAF的平分线，又EF⊥AB，∴EF=EG，∵BE是∠ABC的平分线，∴EF=EH，∴EG=EH，∴点E在∠ADC的平分线上，∴DE平分∠ADC；（2）解：设EG=x，则EF=EH=EG=x，∵S△ACD∴S△ACD∵AD=4，CD=8，∴12解得，x=3，∵AB=6，∴S△ABE∴△ABE的面积为9．【变式8-2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，连接DE，

(1)若AE平分∠DAB，求证：DE是∠ADC的平分线；(2)在（1）的条件下，若CD=3，AB=2，直接写出AD的长为________；(3)若AE⊥DE，求证：DE是∠ADC的平分线．【答案】(1)见解析(2)5(3)见解析【分析】（1）如图：过E作EF⊥AD，由角平分线的性质定理可得EF=BE，再结合已知条件可得CE=BE，进而得到CE=EF，最后根据角平分线的判定定理即可证明结论；（2）先证明Rt△EDC≌Rt△EDFHL可得（3）如图：延长DC,EF交于点N，再证明△AEB≌△NECSAS可得AE=EN，进而得到DE是线段AN的垂直平分线，即AD=DN【详解】（1）证明：如图：过E作EF⊥AD，

∵AE平分∠DAB，∠B=90°，EF⊥AD，∴EF=BE，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴CE=EF，∵∠C=90°，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分线．（2）解：∵∠C=90°，EF⊥AD，∴∠EFE=∠C=90°，∵CE=EF，DE=DE，∴Rt△EDC≌∴DF=CD=3；

同理可得：AF=AB=2，∴AD=FD+AF=3+2=5．故答案为：5．（3）证明：如图：延长DC,EF交于点N，∵∠B=∠DCB=90°，∴∠B=∠ECN=90°，∵CE=BE，∠AEB=∠CEN，∴△AEB≌△NECSAS∴AE=EN，∵AE⊥DE，∴DE是线段AN的垂直平分线，∴AD=DN，∵AE⊥DE，∴DE是∠ADC的平分线（三线合一）．

【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键．【变式8-3】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，DE⊥AB于点E，点F在BC边上，DF=AD，CF=AE，连接BD(1)求证：BD平分∠ABC；(2)若AB=10，CF=2，求线段BF的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（1）证明Rt△ADE≌（2）证明Rt△BCD≌Rt△BED，可得BE=BC【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=∠AED=90°，在Rt△ADE和RtDF=ADCF=AE∴Rt∴DC=DE，又∵DC⊥BC，DE⊥BA，∴BD平分∠ABC；（2）解：在Rt△BCD与RtBD=BDDC=DE∴Rt∴BC=BE，∵AE=CF，CF=2，∴AE=2，∵AB=10，∴BE=AB−AE=10−2=8，∴BC=8，∴BF=BC−CF=8−2=6，∴BF=6．一、单选题1．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，作DE⊥AB于点E．若点E恰好是AB的中点，则∠A的度数为（

）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，由等边对等角可得∠A=∠ABD，由三角形角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，进而可得∠A=∠ABD=∠CBD，由直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠ABC=∠A+∠ABD+∠CBD=90°，即3∠A=90°，据此即可求出∠A的度数．【详解】解：∵DE⊥AB，点E是AB的中点，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD，∴∠A=∠ABD=∠CBD，又∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=∠A+∠ABD+∠CBD=90°，即：3∠A=90°，∴∠A=30°，故选：B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2.（24-25八年级上·福建福州·期中）已知△ABC，下列尺规作图能确定∠BAD=∠ABD的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查作垂直平分线，角平分线，等边对等角；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可．【详解】解：A、选项作图痕迹可知，D为BC中点，不能确定∠BAD=∠ABD，故本选项不符合题意；B、选项作图痕迹可知，D在AB的垂直平分线上，则DB=DA，∴∠BAD=∠ABD，故本选项符合题意；C、选项作图痕迹可知，AD是BC边上的高，不能确定∠BAD=∠ABD，故本选项不符合题意；D、选项作图痕迹可知，D在∠BAC的平分线上，能确定∠BAD=∠CAD，不能确定∠BAD=∠ABD，故本选项不符合题意；故选：B．3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是用尺规作∠AOB的平分线OC的示意图，这样作图的依据是()A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，作角平分线；根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．【详解】解：连接CE、CD，在△OEC和△ODC中，CE=CDOC=OC∴△OEC≌△ODC(SSS∴∠AOC=∠BOC．故选：B．4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在△ABC中，AB=9，AC=3，BC=7，点D在边BC上，点D到边AB，AC的距离相等，且AE=AC，则△BDE的周长等于（

）A．10 B．13 C．16 D．19【答案】B【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识，先根据角平分线的判定得出∠CAD=∠EAD，根据SAS证明△ACD≌△AED，得出CD=DE，然后根据三角形的周长公式求解即可．【详解】解：∵点D到边AB，AC的距离相等，∴∠CAD=∠EAD，又AC=AE，AD=AD，∴△ACD≌△AEDSAS∴CD=DE，∵AB=9，AC=3，BC=7，AC=AE，∴BE=AB−AE=6，∴△BDE的周长等于DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=13，故选：B．5．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，△ABC中，DE是线段AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D，E，∠B=55°，∠C=40°，则∠BAD=（

）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】B【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AD=CD是正确解决本题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，求出∠DAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可得出答案．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∴AD=CD，∴∠C=∠DAC，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，在△ABC中，∠B=55°，∠C=40°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=85°，∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=85°−40°=45°故选：B．6．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，AD平分∠BAC，DE