2026-2027学年上海师范大学附属外国语中学高三（上）学科诊断数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年上海师范大学附属外国语中学高三（上）学科诊断数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设函数f(x)在x=1处存在导数为2A.23 B.6 C.13 2.如图为函数f(x)的导函数f′(xA. B.

C. D.3.若(x−2x2)A.3 B.4 C.5 D.64.平面上的向量a、b满足：|a|=3，|b|=4，a⊥b．

定义该平面上的向量集合A={x||x+a|<|x+bA.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①正确，②正确 D.①错误，②错误二、填空题：本题共12小题，共54分。5.设集合A={−1,0,1,6.在复平面内，复数z满足z(1+i)=2，则复数z7.已知一个扇形的弧所对的圆心角为30°，半径r=12cm，则扇形的弧长为

8.已知α∈{−3,−2,−1,−9.若角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P(−3,4)10.已知等差数列{an}前15项的和S15=30，则11.设正数x、y满足log2(x+y+3)12.若曲线y=xex有两条过点(a,0)13.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率是

．14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为15.设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+3)=−f16.现有8个外观相同的逻辑信号模块(分别编号为1至8，视为8个不同的元素)，其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为−1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1.现将这8个模块全部分配到A、B两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件：

①系统A的特征值之和的绝对值与系统B的特征值之和的绝对值相等(一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加)；

②系统A中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块．

符合条件的分配方案共有

种三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD，AB⊥AP，AB/​/CD，正三角形PAD18.(本小题14分)

已知函数f(x)=2cos2x+cos(2x−π3)19.(本小题14分)

学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分钟)的函数关系，要求如下：(i)函数的图象接近图示；(ii)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；(iii)每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；(iiii)每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①y=kx+b(k>20.(本小题18分)

设l1：y=kx+1与双曲线C：ax2−y2=1相交于不同两点A、B．

(1)若双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数a的取值范围；

(2)若双曲线C的两条渐近线的夹角为π3，求：双曲线C的标准方程；

(3)若a>1，且A，B两点都在双曲线21.(本小题18分)

设函数y=f(x)在区间I上可导，若对任意x∈I，都有f′(x)+f(x)≥0，则称函数y=f(x)在区间I上具有“非负增长性质”．

(1)设f(x)=x2+ax+a+11.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】{16.【答案】四

7.【答案】2π8.【答案】−1或−9.【答案】−710.【答案】6

11.【答案】6

12.【答案】(−13.【答案】52114.【答案】x215.【答案】{m|m16.【答案】55

17.【答案】(1)证明：取AD的中点O，连接PO，

因为△PAD为正三角形，所以PO⊥AD，

又平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，

PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，

由AB⊂平面ABCD，可得PO⊥AB，

又AB⊥AP，PO∩AP=P，PO，AP⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD；

(2)解：如图，以O为坐标原点，OD所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，

18.【答案】解：(1)f(x)=2cos2x+cos(2x−π3)−1

=cos2x+12cos2x+32sin2x

=319.【答案】解：(1)根据题中材料和题图选择合适的函数模型，

从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选y=klog2(x15+2)+n；

(2)将(0,0)，(30,3)代入解析式得到k+n=0klog24+n=3，即k+n=02k+20.【答案】解：(1)双曲线开口越开阔即双曲线离心率更大，等轴双曲线离心率为2，

∵双曲线C：ax2−y2=1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，

∴e=1+11a>2⇒1+a>2⇒a>1，即a的取值范围为(1,+∞)；

(2)ax2−y2=1⇔x21a−y2=1，

从而双曲线渐近线为y=±ax，斜率分别为k1=a，k2=−a，

∵双曲线C的两条渐近线的夹角为π3，

∴tanπ3=|k2−k11+21.【答案】(1)解：∵f(x)=x2+ax+a+1，

∴f′(x)=2x+a，

∵y=f(x)在Rx(1(m<0>m单调递减极小值单调递增∴m(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，

∵m(1)=1>0，

∴g(x)+g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，

∴g(x)=l