湖南省长沙市望城区第二中学2027届高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第页望城二中2027届高三上学期期中考试数学一、单选题(共8小题,共40分)1.（5分）已知集合A={−3,−2,0,1,3},B={x∣−3≤2x−1≤3}，则A∩B=（）A.{0} B.{0,1}

C.{0,1,3} D.{−2,0,1}2.（5分）小张记录了2023年1月至11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（）A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程最大值出现在10月C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小3.（5分）对于平面向量a→,b→，设甲A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件4.（5分）已知椭圆C:x2a2+A.12 B.34 C.34 5.（5分）已知函数f(x)=sin⁡(3x+φ)(−π2<φ<A.π4 B.−π4 C.π36.（5分）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为30，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.3以下（不含A.13 B.14 C.15 D.167.（5分）已知函数f(x)=−x2−2x,−2≤x≤0,12f(x−2),x>0当n分别取1,2,3,⋅⋅⋅,k,(k∈N∗)时，方程A.10 B.55 C.80 D.1008.（5分）已知三棱锥P−ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，D，E分别是PB，PC上的点，且DE∥BC，平面ADE⊥平面PBC，三棱锥A−PDE的体积与四棱锥A−BCED的体积之比为9:7，则该三棱锥P−ABC的体积为（）A.3 B.332

C.3 D二、多选题(共3小题,共18分)9.（6分）已知直线l与圆C:(x−5)2+y2=9相切于点P，与抛物线E:yA.记点M的横坐标为xM，则B.|MN|的最小值为4C.当点P在直线x=4的左侧时，△MNF的周长为定值9D.当点P在直线x=4的右侧时，△MNF的周长有最小值2510.（6分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A.EF//平面ABCB.异面直线EF与BC所成角的余弦值为10C.直线BE与平面CC1D.平面A1CD与平面C11.（6分）在数列{an}中，aA.若t=1，q=0，且{an}是常数列，则B.若t=4，p=q=2，且a1=3，则C.若t=1，p=0，q=1，且a1=2D.若t=1200，p=−100，q=−50，且a1=12三、填空题(共3小题,共15分)12.（5分）|2−3i|=13.（5分）已知圆C:x2+y2=4与直线l:xcos⁡θ+ysin⁡θ=1交于A，14.（5分）若存在实数m，使得关于x的方程em+a−x=2x−2m−1x−m−1有两个不同的根，其中e为自然对数的底数，则实数a四、解答题(共5小题,共77分)15.（13分）一个箱子中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从箱子中随机取出1个球后放入2个与该球完全相同的球，按此规则连续操作3次．(1)（4分）求第2次操作取到的是白球的概率P1(2)（4分）求第2次操作取到的是黑球，其余两次取到的是白球的概率P2(3)（5分）记连续操作3次后箱子中白球的个数为X，求X的分布列和期望．16.（15分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知(2c−a)(1)（7分）求角B的大小；(2)（8分）若△ABC外接圆的半径为233，且2c−a=217.（15分）如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=2，AD=4，E是侧棱PB的中点．(1)求证：AE⊥平面PBC；(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．18.（17分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为12，经过F1且倾斜角为θ的直线l与C交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且(1)求折叠前C的标准方程；(2)若tan⁡θ=12(3)当θ=π3时，折叠后，求平面B119.（17分）已知函数f(x)=aln(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[2,4]上的最大值为0，求a的值；(3)若不等式xae2x−2f(x)≥cos

望城二中2027届高三上学期期中考试数学（参考答案）一、单选题1.B【解析】由−3≤2x−1≤3，得−2≤2x≤4，化简得−1≤x≤2，故B={x∣−1≤x≤2}.结合A={−3,−2,0,1,3}，逐项检验其中满足−1≤x≤2的元素，可得A∩B={0,1}，因此B正确.故选：B.2.A【解析】由折线图得，月跑步里程不是逐月增加，故选项A错误.由折线图可得，月跑步里程最大值出现在10月，故选项B正确.将11个月的月跑步里程从小到大排列为：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，共11个数据，中位数为第6个，对应5月份的里程数，故选项C正确.1月至5月的月跑步里程比6月至11月更平稳，波动性更小，故选项D正确.故选：A.3.B【解析】由a→2=2026a→⋅b→得取a→=(2026,0),b→=(1,0)若a→=0因此甲是乙的必要不充分条件.故选：B.4.D【解析】由抛物线y2=8x得焦点为故椭圆C的右顶点为(a,0)=(2,0),即a=2.由椭圆C:x2a故c=a因此离心率e=c答案为D.5.A【解析】由正弦函数y=sin⁡t的对称轴为t=π2+kπ(k∈Z)即π4于是φ=π因为−π所以当且仅当k=0时φ=π故φ=π故选：A.6.C【解析】由L=L0DGG0，代入L0=0.8，G0=30得代入D得L=0.8(18)G对不等式两边取常用对数，得G30lg⁡18代入lg⁡2≈0.3，lg⁡3≈0.477，计算得G>10×(3−0.4770.3)=14.1，故学习率衰减到0故选：C.7.D【解析】当−2≤x≤0时，f(x)=−x2−2x=−(x+1)2当x>0时，由f(x)=12f(x−2)递推得，0<x≤2时，f(x)=12[−(x−2)2−2(x−2)]代入x=2n−1得f(2n−1)=1故方程f(x)=12nk=110故选：D.8.A【解析】设底面正三角形ABC的边长为2，取BC的中点H，连接AH，PH，交于点G，连接AG．由正三角形性质得AH⊥BC，又PA⊥平面ABC，故PA⊥BC．由于PA∩AH=A，且PA,AH⊂平面PAH，所以BC⊥平面PAH，从而BC⊥AG．又DE∥BC，所以AG⊥DE．由题设平面ADE⊥平面PBC，且交线为DE，而AG⊂平面ADE，故AG⊥平面PBC，从而AG⊥PH．因此在△PAH中，满足AH由体积比VA−PDE:VA−BCED=9:7设HG=t，则PH=4t，代入关系式得AH又AH=3，故4t2=3，解得t=3三棱锥P−ABC的体积为13⋅S所以体积为13故选：A．二、多选题9.AC【解析】由切线长公式得|MP|=|MC|结合抛物线E:y2=2x,得y展开并化简得|MP|=x故选项A正确.过M作直线x=4的垂线,垂足为H1,过N作直线x=4的垂线,垂足为H当点P在直线x=4左侧且M、N在x轴同侧时,随着xP→4,|MN|→0,说明|MN|无最小值故选项B错误.过M作抛物线E准线x=−12的垂线,垂足为H2,过N作抛物线E准线x=−由选项A结论得|MP|=|xM−4|=|M根据抛物线定义,|MF|=|MH2|△MNF的周长为|MF|+|NF|+|MN|=|MH代入得|MH计算得|H1H故周长为92故选项C正确.当点P在直线x=4右侧时,由切线长性质及抛物线定义得|MF|+|NF|−|MN|=9,即△MNF的周长为9+2|MN|.若M、N在x轴同侧,随着xP→4,|MN|→0,△MNF的周长趋于9,不存在最小值故选项D错误.答案为AC.10.ABD【解析】直三棱柱ABC−A1B故A1C1⊥A1B1，以由F为CD中点，得F(1,1A1A→是平面ABC的一个法向量，得A计算得A1A→⋅EF故EF∥平面ABC，A正确.BC→计算得cos⁡⟨故异面直线EF与BC所成角的余弦值为1010，BBE→=(−1,−2,0)，CC设平面CC1D由n→⋅CC1→=−2x=0即n→计算得cos⁡⟨故直线BE与平面CC1D所成角的正弦值为4A1设平面A1CD的法向量为由m→⋅A1C→=2a+2c=0即m→计算得cos⁡⟨故平面A1CD与平面CC1D故选：ABD.11.ACD【解析】选项A，{a设an+1由t=1,q=0得λ=(λ−p)整理得λ2−(2p+1)λ+p2=0故A正确.选项B，代入t=4,p=q=2得an+1整理得an+1−2=4(由a1=3得故bn+1=4bn2即log2因此log2故{log2⁡(选项C，代入t=1,p=0,q=1得an+1由a1=2>0得{a故1a计算得a1当n=1时1a当n=2时1a当n≥3时，用数学归纳法证明1a当n=3时1a3=即1ak<当n=k+1时ak+1故1a由此对所有n≥3不等式成立，所以i=1n故C正确.选项D，代入t=1200,p=−100,q=−50化简得an+1故an+1−an=an即1an−由a1=1故2−1由{an}当n=201时，2−1整理得1a故a201当n=202时，2−1a202>201整理得1a即a202故使得an>1的n的最小值为202，故选：ACD.三、填空题12.13【解析】由复数模的运算规则，|2−3i13.3【解析】由圆C:x2+y2=4得圆心为坐标原点O，半径r=2，圆心由弦长公式可得|AB|=2r结合三角形面积公式得S△故答案为：3.14.(−∞,0)∪(32+ln⁡4,+∞)【解析】原方程e令f(t)=t+ln⁡(2t−1由f′(t)>0得t∈(−∞,0)∪(32,+∞)，由f′(t)<0得t∈(0,当t→−∞时，ln⁡(2t−1t−1)→ln⁡2，故f(t)→−∞；当t→(12)−时，ln⁡(2t−1计算得f(0)=0，f(32)=32+ln⁡4，原方程有两个不同根等价于故答案为：(−∞四、解答题15.(1)解：设第k次取到白球为事件Ak，k=1,2,3，取到黑球为事件A由全概率公式得P1代入数值计算得35故P1(2)解：由(1)得P(A1)=35，P(A2故P2(3)解：X的所有可能取值为3,4,5,6，X=3对应三次操作均取到黑球，计算得P(X=3)=2X=4对应三次操作仅一次取到白球，两次取到黑球，得P(X=4)=CX=5对应三次操作两次取到白球，一次取到黑球，得P(X=5)=CX=6对应三次操作均取到白球，得P(X=6)=3×4×5X的分布列为：X3456P49122由期望公式计算得E(X)=3×416.(1)解：由(2c−a)cos结合正弦定理得(2sin即2sin因为A+B+C=π，所以sin⁡(A+B)=从而2sin由sin⁡C>0得cos⁡B=1故B=π(2)解：因为△ABC外接圆半径为2由正弦定理得bsinB=2×23所以b=2.由余弦定理得b2于是a2因为a=2c−2，代入上式化简得c2由c>0得c=2，从而a=2，因此S△17.(1)证明：以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，由AP=AB=2，AD=4，E为PB中点，得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,2),E(1,0,1)，由此得AE→计算得AE→⋅PB故AE⊥PB，AE⊥BC.因为PB∩BC=B，PB,BC⊂平面PBC，由线面垂直判定定理得AE⊥平面PBC.(2)解：得PC→设平面PCD的法向量为n→可得n→令y=1，解得z=2，x=0，故n→设直线AE与平面PCD所成角为θ，由线面角向量公式得sin⁡θ=18.解：(1)由△ABF2的周长为4a=8由离心率e=ca=12，得c=1，结合b2=(2)由(1)得F1(−1,0)，直线l经过F1且斜率为12，故直线l的方程为y=12(x+1)，联立椭圆方程得y=12(x+1)x24(3)当θ=π3时，直线l的方程为y=3(x+1)，联立椭圆方程得x24+以原x轴为y轴，原y轴正半轴所在直线为z轴，原y轴负半轴所在直线为x轴建立空间直角坐标系，得各点坐标为A1(0,0,3),B设平面A1B1F2的一个法向量为m→=(x,y,z)，则m→⋅平面B1F1F2的一个法向量为n→=(0,0,3)19.解：(1)当a=1时，f(x)=ln⁡x−2x，求导得计算得f(1)=−2，f′(1)=−1，由点斜式得切线方程y+2=−(x−1)，整理得x+y+1=0.(2)求导得f′(x)=ax−2=−2x+ax，x∈(0,+当a2即a≤4时，f′(x)≤0对x∈[2,4]恒成立，故f(x)在[2,4]上单调递减，得f(x)解得a=4当2<a即4<a<8时，x∈(2,a2)时f′(x)>0，x∈(故f(x)在(2,a在(a2,4)解得a=2e当a2即a≥8时，f′(x)≥0对x∈[2,4]恒成