【山东省烟台】2017届高三上学年期期末(文科)数学年试题

18/18山东省烟台市2017届高三上学期期末数学试卷（文科）答案1~5．CBDAD6~10．DBAAD11．12．13．14．15．②④16．解：（1）因为，由同角三角函数基本关系和正弦定理得，，……………1分整理得：，……………3分又，所以，所以．……………5分又，所以．……………6分（2）由余弦定理得：，即：，…………………8分所以，当且仅当时取等号，……………10分所以，即面积的最大值为．……………12分17．解：（1）设等差数列的公差为，由，为整数，可知为整数，又知，．……………2分所以．……………4分（2）由（1）知，，……………5分于是……9分要使恒成立，只需，……………10分解得或（舍），……………11分所以存在最小的正整数使得恒成立．……………12分18．（1）证明：取的中点，连结，∵，，∴，，∴四边形是平行四边形．又∵，∴四边形是正方形，∴．∴为等腰三角形，且，∴，∴，……………3分∵平面平面，平面平面，，平面．∴平面．又∵平面，∴．………………6分（2）当为侧棱的中点时，平面．……………7分证明：取的中点，连接在中，为中位线，，由已知，所以．又，四边形为平行四边形．．…………10分又平面，平面，平面．…………12分19．解：（1）由题意可知，当时，，………2分当时，，……………4分所以该厂日利润．……………5分（2）当时，令，解得（舍去），……………6分当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，而时，，…………8分当时，令，解得，………………9分当时，，函数单调递减，所以当时，，…………11分由于，所以当该厂的日产量为10件时，日利润最大，为千元．…………12分20．解：（1）…………1分因为在处取到极值为2，所以，，解得，，……………4分经检验，此时在处取得极值．故……………5分（2）由（1）所以在上单调递增所以在上最小值为所以在上最小值为……………7分依题意有函数的定义域为，……………8分①当时，函数在上单调递增，其最小值为符合题意；②当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，所以函数最小值为，解不等式，得到．从而知符合题意．③当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，舍去．……………12分综上所述，的取值范围为．……………13分21．解：（1）设，则，，……………2分∴，化简得，∴椭圆的方程为．……………4分（2），∴，……………5分又∵，∴，．与联立，解得，或者（舍去）．∴，……………7分于是，∴．直线的方程为．……………8分（3）联立，得．…………10分设，∴，，∵，∴．∴，……………13分∴直线方程为，直线总经过定点．……………14分

山东省烟台市2017届高三上学期期末数学试卷（文科）解析1．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，B={y|y=2x，x≥0}={y|y≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．2．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，∴a=30.2＞30=1，0=logπ1＜b=$lo{g}_{π}3，＜log31=0，∴a，b，c关系为a＞b＞c．3．【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行与同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．4．【分析】通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，得到选项．【解答】解：依题意得，故，所以，==≠0，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称．5．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件画出平面区域，如图所示．A（4，0），化目标函数z=3x+2y为，由图可知，当直线过点A时，目标函数取得最大值．∴zmax=3×4+2×0=12．6．【分析】根据题意，画出平行四边形表示向量=，=，=，利用正弦定理即可求出．【解答】解：如图所示：在平行四边形ABCD中，=，=，=，∠BAC=，∠DAC=，在△ABC中，由正弦定理得，===．7．【分析】若x+2y＞m2+2m恒成立，只需求解x+2y的最小值即可．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意：正实数x，y，，那么：x+2y=（x+2y）（）=4+≥4=8．，当且仅当x=y=时取等号．∴x+2y的最小值是8．可得：8＞m2+2m，解得：﹣4＜m＜2．8．【分析】去绝对值，化为分段函数，根据导数和函数单调性关系即可求出．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x﹣lnx，∴f′（x）=1﹣=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x），∴f′（x）=1﹣＞0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，9．【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（﹣1，0），当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d==r=1，求出m的值，数形结合求出实数m的取值范围．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：（x﹣1）（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线x=1和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，m=±．则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈，10．【分析】二次函数y=﹣x2﹣2mx最多只能有两个零点，要使函数g（x）=f（x）﹣m恰有3个零点，所以y=2x﹣m在区间（0，+∞）必须有一个零点，二次函数y=﹣x2﹣2mx（x≤0）有2个零点，结合图象，求出实数m的取值范围．【解答】解：二次函数y=﹣x2﹣2mx最多只能有两个零点，要使函数g（x）=f（x）﹣m恰有3个零点，所以y=2x﹣m在区间（0，+∞）必须有一个零点，所以m＞1，当m＞1时，二次函数y=﹣x2﹣2mx与横轴的负半轴交点有两个（0，0）和（﹣2m，0），故原函数有3个零点，综上，实数m的取值范围是：（1，+∞）11．【分析】根据等比数列的性质和第2项等于1，得到第1项与第3项的积为1，然后分两种情况：当公比q大于0时，得到第1项和第3项都大于0，然后利用基本不等式即可求出第1项和第3项之和的最小值，即可得到前3项之和的范围；当公比q小于0时，得到第1项和第3项的相反数大于0，利用基本不等式即可求出第1项和第3项相反数之和的最小值即为第1项和第3项之和的最大值，即可得到前3项之和的范围，然后求出两范围的并集即可．【解答】解：由等比数列的性质可知：a22=a1a3=1，当公比q＞0时，得到a1＞0，a3＞0，则a1+a3≥2=2=2，所以S3=a1+a2+a3=1+a1+a3≥1+2=3；当公比q＜0时，得到a1＜0，a3＜0，则（﹣a1）+（﹣a3）≥2=2=2，即a1+a3≤﹣2，所以S3=a1+a2+a3=1+a1+a3≤1+（﹣2）=﹣1，所以其前三项和s3的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）12．【分析】由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形一边为6，此边上的高为4，三棱锥的高为3，根据椎体体积公式计算即可．【解答】解：由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形一边为6，此边上的高为4，三棱锥的高为3，所以V=Sh==12，故答案为12．13．【分析】由函数的图象求出T，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由函数的图象可得T=﹣（﹣）=，可得：T=π=，∴ω=2．再根据点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2×+φ）=2，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，∴函数f（x）=2sin（2x﹣）．把函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=2sin[2（x+）﹣]=2sin2x的图象，故答案为：y=2sin2x．14．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论【解答】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得e==．故答案为：15．【分析】利用已知条件推出函数的单调性，然后判断即可．【解答】解：定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），可得：x1[f（x1）﹣f（x2）]＞x2[f（x1）﹣f（x2）]，即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）为“Z函数”．就是增函数．①y=﹣x3+1；是减函数，不是“Z函数”．②y=2x；是增函数，是“Z函数”．③；表示增函数，不是“Z函数”．④．函数是增函数，是“Z函数”．故答案为：②④．16．【分析】（1）由同角三角函数基本关系，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式可得，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求bc≤12，进而利用三角形面积公式可求最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为，由同角三角函数基本关系和正弦定理得，，…（1分）整理得：，…又A+B=π﹣C，所以sin（A+B）=sinC，所以．…又A∈（0，π），所以．…（2）由余弦定理得：，即：b2+c2﹣bc=12，…（8分）所以12=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，当且仅当时取等号，…（10分）所以，即△ABC面积的最大值为．…（12分）17．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=1，a2为整数，可知d为整数，又a3=1+2d∈[6，8]知，解得d，可得an．（2）利用等比数列的求和公式、不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=1，a2为整数，可知d为整数，又a3=1+2d∈[6，8]知，d=3．…（2分）所以an=3n﹣2．…（2）由（1）知，，…于是．…（9分）要使恒成立，只需，…（10分）解得n≥8或n≤﹣9（舍），…（11分）所以存在最小的正整数n=8使得Sn＞108恒成立．…（12分）18．【分析】（1）取AB的中点E，连结CE，推导出四边形AECD是正方形，从而CE⊥AB，由勾股定理得AC⊥CB，从而AC⊥平面PBC，由此能证明AC⊥PB．（2）当M为侧棱PA的中点时，取PB的中点N，连接DM，MN，CN．推导出四边形MNCD为平行四边形，从而DM∥CN，由此能证明DM∥平面PCB．【解答】证明：（1）取AB的中点E，连结CE，∵AB∥CD，，∴DC∥AE，DC=AE，∴四边形AECD是平行四边形．又∵∠ADC=90°，∴四边形AECD是正方形，∴CE⊥AB．∴△CAB为等腰三角形，且，∴AC2+CB2=AB2，∴AC⊥CB，…∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AC⊥CB，AC⊂平面ABCD．∴AC⊥平面PBC．又∵PB⊂平面PBC，∴AC⊥PB．…解：（2）当M为侧棱PA的中点时，DM∥平面PCB．…（7分）证明：取PB的中点N，连接DM，MN，CN．在△PAB中，MN为中位线，∴MN∥AB，．由已知AB∥CD，所以MN∥CD．又，∴四边形MNCD为平行四边形．∴DM∥CN．…（10分）又DM⊄平面PCB，CN⊂平面PCB，∴DM∥平面PCB．…（12分）19．【分析】（1）利用每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式，即可将该厂日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）分段求出函数的最值，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意可知，当1≤x≤9时，，…（2分）当10≤x≤15时，，…所以该厂日利润．…（2）当1≤x≤9时，令，解得x=6（x=18删），…当1≤x＜6时，y'＞0，函数单调递增，当6＜x≤9时，y'＜0，函数单调递减，而x=6时，ymax=6，…（8分）当10≤x≤15时，令，解得x=10，…（9分）当10≤x≤15时，y'＜0，函数单调递减，所以当x=10时，，…（11分）由于，所以当该厂的日产量为10件时，日利润最大，为千元．…（12分）20．【分析】（1）利用函数的求导公式计算函数的导数，根据函数在x=1处取到极值得出函数在x=1处的导数为0，再把x=2代入函数，联立两式求出m，n的值即可．已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．（2）由（1）知f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=≤2．当且仅当x=1时取“=”．故f（x）的值域为[﹣2，2]．从而f（x1）+≥．依题意有g（x）最小值≤．【解答】解：（1）…（2分）由f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故…（2）由（1）知f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=≤2．当且仅当x=1时取“=”．故f（x）的值域为[﹣2，2]．从而f（x1）+≥．依题意有g（x）最小值≤函数g（x）=lnx+的定义域为（0，+∞），g′（x）=①当a≤1时，g′（x）＞0