2027届吉林省吉大附中实验学校高三上学期摸底考试数学试卷（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）2026-2027学年上学期高三年级第一次摸底考试数学学科试卷考试时间：120分钟

试卷满分：150分本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第I卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．2．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知的内角的对边分别为，若，，，则（

）A．4 B． C． D．5．已知向量满足，，，则（

）A． B． C． D．6．已知函数，若函数在上只有三个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知直线分别与曲线和切于点，，且与轴交于点，若，则（

）A． B． C．1 D．28．已知，，是非零向量，与的夹角为，，，则，的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知，且，则（

）A． B．C． D．10．已知函数，则（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．在单调递增 D．函数有两个零点11．生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（

）A．若，，则B．C．若，，为三条边长，则D．若，，为三条边长，则第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数（且）是奇函数，则________．13．已知，若，，则_____．14．已知集合与集合，用表示集合的元素个数，表示不超过的最大整数，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．记的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.16．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对任意的，，求的取值范围．17．已知数的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.18．在中，，为边上一点，且，.(1)若，求：①；②的面积；(2)求的取值范围.19．已知函数，其中为自然对数的底数．(1)当时，对于任意，不等式恒成立，求的取值范围；(2)当时，若关于的方程有两个不同的根，①求的范围；②当最小时，求的值．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．D【分析】根据补集和交集的定义即可求解．【详解】由题可知，，，所以，故选：D．2．B【详解】命题“，”为存在量词命题，其否定为：，.3．D【分析】根据同角三角函数关系，三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解.【详解】由，可得或，当时，此时，即充分性不成立；反之当时，，其中可为，此时，即必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.4．B【分析】由三角形内角和求，由正弦定理即可求.【详解】因为，，所以，由得.故选：B5．C【分析】根据向量模的公式得，再求模即可.【详解】解：因为，，，所以，，所以，.又，所以.故选：C6．A【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，并得到函数，并求函数的零点，利用函数在上只有三个零点，列不等式求参数的取值范围.【详解】因为，所以，令得，所以或，即或，则或，则非负根中较小的有：；因为函数在上只有三个零点，所以，解得.故选:A【点睛】方法点睛：求三角函数的值域，单调性，周期，零点等性质时，常常要通过三角恒等变换先求函数的解析式或的性质，首先将“”视为一个整体，然后结合或的图象和性质，去研究函数的性质，研究与三角函数相关零点问题时，函数图象的交点问题，方程根问题时，往往需要先画出三角函数的图象，在进行探索研究.7．A【分析】设点，，利用导数求出两条曲线的切线方程，根据两条直线重合可得两条直线的斜率截距均相等，从而可求得斜率，再根据可知是中点，利用纵坐标关系列出方程解出的值，最后检验即可．【详解】设点，，由于的导数，的导数，故过的切线为，即，过的切线为，即，因此，设，故，，故，故，因此，由得，所以，进而，所以，因此切线的方程为，令，得，因为，所以，解得，当时，，，切线，，，，因此满足条件．8．D【分析】首先设出几何图形，确定给定向量的位置，结合给定条件得到，再对的取值进行讨论，求解最值即可.【详解】设，，，所以，因为，所以，即，因为与的夹角为，所以，因为，，，所以，故，如图，取中点，作，作，连接，因为，所以，故，，由向量中线定理得，所以，故，，，因为，所以，因为，所以，得到，故，由可得，故，即，解得，故，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上，由题意得，而，当且仅当时，，此时，由三角形边长性质得，当且仅当共线时取等，在直角三角形中，所以，故，代入数据得，解得，此时，即的最小值是，当时，，此时的终点不在，通过平移，使其终点到达，同时设起点为，此时三点共线，所以，所以，由三角形边长性质得，当且仅当共线时取等，在直角三角形中，所以，故，代入数据得，解得，此时，即的最小值是，综上，的最小值是，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是作出图形，利用给定条件得到，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的最值即可．9．ABC【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】，当且仅当，即时取等号，由于，所以，A正确，由于，，当且仅当且时，即时取等号，由于，所以，B正确，由以及可得，当且仅当，即时取等号，由于，所以，故C正确，，当且仅当，即时取等号，由于，所以D错误，故选：ABC10．ACD【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D.【详解】函数定义域为，又，令，，在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上单调递增，故选项C正确；因为，所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确；因为，所以函数，函数，所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数，则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示：故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确.故选：ACD．11．BCD【分析】根据糖水不等式逐项判断即可.【详解】A.由糖水不等式得：，时，，故A错误.B.，故B正确.C.，故C正确.D.，，故D正确.故选：BCD12．【详解】函数的定义域为，又函数是奇函数，所以对任意均成立，即对任意均成立，所以对任意均成立，所以，所以，所以，解得.13．【详解】由，，则，故，，，由，所以.14．【分析】设，根据高斯函数运算可得，然后可得的值域，然后取交集即可.【详解】设，则有当时，有000000000111001122011223012456此时，的所有可能值为，当时，；故的值域，即个位数为的数字，与的交集有：，共个元素，加上5个元素，则共有个元素，即.15．(1)(2)【分析】（1）辅助角公式结合角的范围即可求解；（2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解.【详解】（1）由，有，即，，，，；（2）由（1）的结论有，又，，由三角形面积公式有，，在中，由余弦定理有，，的周长.16．(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为；(2).【分析】（1）对函数求导，化简后分析导数的符号，根据分母和分子正负确定单调区间；（2）由第一问的单调性可知函数在给定区间上的最大值和最小值，分别出现在端点或极值点处，计算后得到最大差值，从而可确定的取值范围.【详解】（1）的定义域为，，当时，；当时，，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以在上的最小值为，由，，所以在上的最大值为，所以对任意的，,故a的取值范围是．17．(1)(2)(3)【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；（3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.【详解】（1）由题意，函数因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.故（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.当时，，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，故函数的值域.（3）由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，

可得方程在区间有5个解，即，

其中，即解得所以.综上，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；（2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法；18．(1)①；②(2)【分析】（1）（i）已知，，可求得的大小；在中，利用正弦定理可得，即可得；（ii）根据已知边、角关系，先求出，的长度，再利用三角形面积公式计算的面积；（2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1）因为，，则，且为锐角，在中，由正弦定理得，解得，且，可得，则；（ii）因为，，，所以，又因为，可得.且，则，在中，由正弦定理得，即，所以，所以.（2）在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，则，因为，则，且，可得，因为，则，可得，所以的取值范围为.19．(1)(2)①；②【分析】（1）由题意得对任意恒成立，令，利用二次求导，分类讨论可求得的取值范围；（2）①将问题转化为在上有两个不同的非零零点，根据导函数研究其单调性，最后根据零点存在性定理即可得出；②令，通过，先研究函数的单调性，再研究的最小值，利用两者最小值的一致性，可得的值，即可通过求的值.【详解】（1）当时，，因为对于任意，不等式恒成立，所以对任意恒成立，所以对任意恒成立，所以对任意恒成立，令，求导得.令，求导得,当时，，所以在上单调递增，又，所以，所以在上单调递增，又，所以恒成立，符合题意；当时，令，解得，当时，，所以在上单调递减，又，所以，所以在上单调递减，又，所以，所以对任意不恒成立，故不符合题意；综上所述：的取值范围为；（2）①当时，关于的方程有两个不同的根，则在上有两个不同的非零零点，因，故只需在上有两个不同的零点即可，求导得，当时，，则在上单调递增，则在上至多存在一个零点，不符合题意；当时，由，得；由，得；则在上单调递减，在上单调递增，则，令，则，由，得；由，得，则在上单调递增，在上单调递减，则