中考数学一轮复习第七章图形与变换教学设计

中考数学一轮复习第七章图形与变换教学设计初中九年级数学一轮复习第七章图形与变换教学设计一、教学内容解析本章内容包括图形的轴对称、平移、旋转、相似与位似四大变换，是初中数学几何部分的核心内容，也是历年中考命题的重点板块。从知识结构看，图形与变换既是对全等三角形、等腰三角形、平行四边形等知识的深化与整合，又是后续学习圆的性质、二次函数图象变换、投影与视图的重要基础。从能力培养看，本章突出考查学生的空间观念、几何直觉、逻辑推理与数学建模能力，特别是借助变换思想解决折叠问题、旋转最值问题、相似存在性问题等综合题型，对学生的思维品质提出了较高要求。中考命题中，本章内容通常占8至12分，题型覆盖选择、填空与解答题，其中以变换为背景的动态几何问题往往作为压轴题出现。教学时，应立足课标要求，紧扣教材体系，帮助学生构建完整的变换知识网络，提炼通性通法，提升综合解题能力。本章复习教学安排三个课时，第一课时聚焦轴对称与平移，第二课时聚焦旋转与位似，第三课时聚焦变换的综合应用与中考真题演练。二、学情诊断分析九年级学生经过新授课学习，已初步掌握各变换的基本概念与性质，但普遍存在以下问题：第一，概念混淆，对轴对称与轴对称图形、中心对称与中心对称图形、位似与相似之间的区别与联系认识模糊；第二，性质应用不灵活，面对折叠问题不能准确找到对应点、对应线段与对应角，对旋转角、旋转中心的确立缺乏策略；第三，坐标系中的变换规律记忆不牢，容易混淆平移方向与坐标变化的正负关系；第四，综合应用能力薄弱，遇到涉及两种或两种以上变换的题目时，思路不清、步骤混乱。此外，部分学生对动态几何问题存在畏难情绪，缺乏将动态问题静态化处理的意识。基于上述学情，复习教学必须注重概念辨析的精准性、性质应用的层次性、方法归纳的系统性，同时通过典型例题的变式训练，帮助学生克服思维定式，提升分析问题与解决问题的能力。三、教学目标定位1.理解并掌握轴对称、平移、旋转、相似与位似五种变换的概念、性质及其内在联系，能准确区分易混概念。2.能熟练运用变换的性质解决折叠、旋转、平移等作图问题与计算问题，掌握在平面直角坐标系中相关变换的坐标变化规律。3.能运用变换的观点分析几何图形，借助变换构造辅助线，解决线段和差最值、图形面积、相似存在性等综合性问题。4.经历变换性质的应用与归纳过程，体会转化思想、分类讨论思想、数形结合思想在几何解题中的重要作用。5.通过小组合作探究与一题多解训练，增强空间观念与几何直观，提高数学表达与交流能力，培养严谨求实的科学态度。四、核心知识网络构建章节知识框图如下：图形与变换分为四类基本变换和一组综合应用。第一类，图形的轴对称，涉及轴对称图形、关于坐标轴对称的点、垂直平分线与最短路径。第二类，图形的平移，涉及平移的要素、平移前后图形不变性、坐标系中点的平移规律。第三类，图形的旋转，涉及旋转三要素、旋转的性质与旋转作图、中心对称与中心对称图形、关于原点对称的点的坐标。第四类，图形的相似与位似，涉及相似图形与相似比、位似图形与位似中心、在坐标系中位似变换的坐标规律。综合应用则包括变换与折叠、变换与最值、变换与存在性探究、变换与函数图象。以上内容构成了本章完整的知识体系，复习时务必引导学生从整体上把握。五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计五、第一课时教学设计（一）轴对称与轴对称图形复习1.概念辨析轴对称是指两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合。二者的区别在于，轴对称涉及两个图形的位置关系，而轴对称图形描述的是一个图形自身的特性。但二者又有着紧密的联系，把轴对称的两个图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分就成轴对称。常见的轴对称图形有线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、圆等，其中等边三角形有三条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴。2.性质梳理轴对称的性质包括以下四条。第一，关于某条直线对称的两个图形是全等形，即对应边相等、对应角相等。第二，对称点的连线被对称轴垂直平分，这是证明线段相等、角相等以及作图的重要依据。第三，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。第四，两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或其延长线相交，则交点必在对称轴上。3.典型例题精讲例1，如图1所示，在三角形ABC中，AB等于AC，角A等于30度，将三角形ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DF垂直于BC。求角BDF的度数。解析，由折叠可知三角形ADE与三角形FDE关于直线DE对称，所以角DFE等于角A等于30度。在三角形BDF中，因为DF垂直于BC，所以角BDF等于90度减去角B，又因为AB等于AC，角A等于30度，所以角B等于75度。于是角BDF等于90度减75度，即15度。例2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），求点A关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标。点A关于x轴对称的点A1坐标为（2，－3），关于y轴对称的点A2坐标为（－2，3），关于原点对称的点A3坐标为（－2，－3）。归纳法则，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称，横纵坐标都互为相反数。4.最短路径问题典型模型为将军饮马问题，已知直线l同侧有两点A、B，在直线l上求作一点P，使得PA加PB最小。作法，作点A关于直线l的对称点A1，连接A1B交直线l于点P，则点P即为所求。其依据是轴对称的性质与两点之间线段最短。变式训练包括，当点A、B在直线l异侧时直接连接AB与l的交点即为所求；当涉及两条直线时，可作两次对称或利用平移转化。（二）平移复习5.概念与要素平移是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离的图形运动。平移的两个要素是平移方向和平移距离。平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置。平移前后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。6.坐标变化规律在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移a个单位长度，得到对应点（x加a，y）；向左平移a个单位长度，得到（x减a，y）；向上平移b个单位长度，得到（x，y加b）；向下平移b个单位长度，得到（x，y减b）。归纳口诀，左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减。若图形作两次平移，可先分别计算各顶点坐标变化，再顺次连接对应点。7.典型例题例3，将抛物线y等于x平方的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求所得抛物线的解析式。依据函数图象平移规律，抛物线y等于x平方向左平移2个单位得到y等于（x加2）的平方，再向下平移3个单位得到y等于（x加2）的平方减3。要注意的是，二次函数图象的平移本质上是顶点的平移，抓住顶点坐标的变化是解题关键。原抛物线顶点为（0，0），平移后顶点为（－2，－3），因此解析式为y等于（x加2）的平方减3。六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计六、第二课时教学设计（一）旋转复习1.概念与三要素旋转是指将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度的图形运动。旋转的三要素是旋转中心、旋转方向和旋转角。旋转不改变图形的形状与大小。旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。2.中心对称与中心对称图形中心对称是指两个图形绕某一点旋转180度后能够完全重合，这个点叫做对称中心。中心对称图形是指一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合。平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆都是中心对称图形。中心对称的性质，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。3.典型例题精讲例4，如图2，在三角形ABC中，角ACB等于90度，AC等于BC，点P是三角形ABC内一点，PA等于3，PB等于1，PC等于2。求角BPC的度数。解析，由于AC等于BC且角ACB等于90度，可将三角形APC绕点C逆时针旋转90度，得到三角形BQC，连接PQ。由旋转性质可知，CQ等于CP等于2，角PCQ等于90度，所以三角形PCQ为等腰直角三角形，于是PQ等于2倍根号2，角CPQ等于45度。又因为BQ等于AP等于3，在三角形BPQ中，BP等于1，PQ等于2倍根号2，BQ等于3。因为1的平方加（2倍根号2）的平方等于1加8等于9，等于3的平方，所以三角形BPQ为直角三角形，角BPQ等于90度。因此角BPC等于角BPQ加角QPC等于90度加45度，即135度。本题通过旋转将分散的三条线段集中到一个三角形中，体现了旋转变换的聚拢功能。4.旋转作图作图步骤为，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；作出关键点旋转后的对应点，利用对应点到旋转中心距离相等且夹角等于旋转角；顺次连接各对应点。在坐标系中，点（x，y）绕原点旋转90度、180度、270度后的坐标变化规律需要熟练掌握。旋转90度后坐标为（－y，x）或（y，－x），具体取决于旋转方向；旋转180度后坐标为（－x，－y）。（二）相似与位似复习5.相似图形与相似比相似图形是指形状相同的图形，相似多边形对应角相等、对应边成比例，对应边的比称为相似比。相似三角形是本章的重点，其判定方法包括，两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。相似三角形的性质，对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。6.位似图形位似图形是一种特殊的相似图形，它要求每组对应点的连线都经过同一点，该点称为位似中心。位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将一个图形放大或缩小k倍，则对应点的坐标变化规律为，若原图形上点的坐标为（x，y），则位似图形上对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx，－ky）。位似作图时，要注意位似中心的位置可能位于两个图形之间、一侧或图形内部，作图时应考虑两种情形。7.典型例题例5，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，4）。以原点O为位似中心，将三角形ABC缩小为原来的二分之一，求所得三角形各顶点坐标。依据位似变换坐标规律，当位似图形与原图形在位似中心同侧时，对应点坐标为原坐标乘以二分之一，即A1（0.5，1），B1（1.5，0.5），C1（1，2）；当在异侧时，对应点坐标为原坐标乘以负二分之一，即A2（－0.5，－1），B2（－1.5，－0.5），C2（－1，－2）。此题必须考虑两种情况，体现了分类讨论思想。七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计七、第三课时教学设计（一）变换综合应用1.折叠与变换综合折叠问题的本质是轴对称变换，解题时抓住折叠前后对应元素相等这一核心。常见类型包括三角形折叠、矩形折叠、圆中折叠。解题策略，设未知数表示相关线段长度，利用勾股定理或相似三角形建立方程求解。折叠问题往往与勾股定理、相似三角形、三角函数等知识融合，体现了知识的综合性。2.旋转与最值问题旋转最值问题的常见模型包括，定角定弦、定点到圆上动点距离最值、旋转构造全等求最值。解决问题的关键是确定动点的运动轨迹，将最值问题转化为两点之间线段最短或点到直线的垂线段最短。例如，直角三角形中，将线段绕直角顶点旋转，求旋转后线段端点到某定点距离的最大值与最小值，需要找出端点轨迹是以旋转中心为圆心的圆。3.存在性探究问题以变换为背景的存在性问题，通常要求判断是否存在某个位置使得图形满足特定条件，如等腰三角形、直角三角形、平行四边形、相似三角形等。解题思路，先假设存在，画出满足条件的图形，利用变换性质建立方程，求解后检验是否满足题意。此类问题对思维的严密性要求较高，需要分类讨论避免漏解。（二）中考真题演练与讲评例6，2025年某市中考题，在矩形ABCD中，AB等于6，BC等于8，点E在边BC上，将三角形ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF。若三角形CEF为直角三角形，求BE的长。解析，由折叠可知AF等于AB等于6，EF等于BE。设BE等于x，则CE等于8减x。因为三角形CEF为直角三角形，需分三种情况讨论。第一种，当角CFE等于90度时，连接BF，则B、F、C共线，由勾股定理得AC等于10，AF等于6，所以CF等于4。在直角三角形CEF中，EF的平方加CF的平方等于CE的平方，即x的平方加4的平方等于（8减x）的平方，解得x等于3。第二种，当角ECF等于90度时，此时点F在AD上，不满足点F在矩形内的条件，舍去。第三种，当角CEF等于90度时，此时点F在DC上，EF平行于AB，则四边形ABEF为正方形，BE等于6，此时CE等于2，CF等于2倍根号10，不构成直角三角形，舍去。综上，BE的长为3。例7，2026年某市模拟题，在等腰直角三角形ABC中，角A等于90度，AB等于AC等于4，点D为BC中点，点E为AB边上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90度得到线段DF，连接AF。求AF的最小值。解析，因为三角形ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，连接AD，则AD垂直于BC，AD等于BD等于CD等于2倍根号2。将线段DE绕点D逆时针旋转90度得到DF，则三角形DBE与三角形DAF的关系可通过旋转分析得到。因