大单元复习01 空间向量与立体几何 2026-2027学年高二年级上学期数学大单元复习（新高考人教A版专用）含解析

大单元复习01空间向量与立体几何2026-2027学年高二年级上学期数学大单元复习（新高考人教A版专用）2/2大单元复习01空间向量与立体几何（新高考人教A版专用）目录目录【知识梳理】 2【热考题型】 9【考点1】利用空间向量求二面角 9【考点2】利用空间向量求线面角 11【考点3】线面平行、垂直的证明 13【考点4】空间向量的坐标运算与数量积 15【考点5】点到平面的距离 16【考点6】空间中的动点（存在性问题） 19【考点7】空间向量基本定理与共线共面 21【考点8】翻折与展开问题 24知识梳理知识梳理一、空间向量的有关概念(1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模.(3)表示法①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；②几何表示法：空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a共线(平行)向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量二、空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)三、空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ＞0λa与向量a的方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ＜0λa与向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb四、空间向量共线的充要条件(1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.②直线可以由其上一点和它的方向向量表示.五、空间向量共面的充要条件(1)向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.(2)共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb六、空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b七、空间向量的数量积及性质(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉.(2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0；②a⊥b⇔a·b＝0；③a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.(3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；②a·b＝b·a；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.八、向量a的投影(1)在空间，向量a向向量b投影：如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.(2)向量a向直线l投影如图(2).(3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量.九、证明平行、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.十、求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.十一、求距离(长度)问题|a|＝eq\r(a·a)(|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→)))).十二、空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.(2)空间直角坐标系的画法①空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.②右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.十三、空间直角坐标系中的坐标(1)点的坐标：在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.(2)向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z).十四、空间向量的坐标运算(1)空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.(2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有向量运算坐标表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3十五、空间向量平行、垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有：平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R).垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.十六、夹角和长度的坐标表示(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＋zeq\o\al(2,2))).(2)空间两点间距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2).十七、空间中点、直线的向量表示(1)点的位置向量在空间，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))来表示，我们把向量eq\o(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量.(2)空间直线的向量表示式①设a是直线l的方向向量，在直线l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，(Ⅰ)将eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式，得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，(Ⅱ)(Ⅰ)和(Ⅱ)都称为空间直线的向量表示式.②性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.十八、空间平面的向量表示空间平面的向量表示式如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.十九、平面的法向量平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}.二十、直线和直线平行两直线平行的判定方法设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.二十一、直线与平面平行直线和平面平行的判定方法设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.二十二、平面与平面平行平面和平面平行的判定方法设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.二十三、直线和直线垂直两直线垂直的判定方法设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.二十四、直线与平面垂直直线和平面垂直的判定方法设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.平面和平面垂直的判定方法设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.二十五、点到直线的距离设直线l的单位方向向量为u，A是直线l的上的定点，P是l外一点，eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2))＝eq\r(a2－（a·u）2).二十六、点到平面的距离已知平面α的法向量是n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离PQ＝|eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\f(n,|n|)|＝|eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)|＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).二十七、直线(平面)到平面的距离(1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.(2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.二十八、两条异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq\f(|u·v|,|u||v|).二十九、直线和平面所成的角直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).三十、两个平面的夹角二面角(1)两平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.(2)两平面夹角的计算设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).热考题型热考题型【考点1】利用空间向量求二面角一、解答题1．如图，在三棱柱中，平面，,为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；2．如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且．(1)若平面，求的值；(2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．3．如图，圆锥中，底面圆O的直径AB长为4，C是圆O上异于A，B的一点．设二面角与二面角的大小分别为与，且．(1)N是劣弧的中点，证明：．(2)求圆锥的高OP；(3)若，求二面角的余弦值．4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥．(1)证明：；(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求．5．在直三棱柱中，，，，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)若二面角是直二面角，求的长；(3)在（2）的条件下，求三棱锥的体积．6．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面．(1)证明：是棱的中点；(2)锐二面角的余弦值为，求线段的长度．【考点2】利用空间向量求线面角一、解答题1．四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求：(1)直线与面所成的角；(2)平面与平面所成锐二面角的正切值．2．如图，四棱锥中，底面，，，，.

(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.3．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求三棱锥的体积；4．在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，.(1)求证：；(2)若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值.5．如图，在三棱锥中，棱，，两两互相垂直，且，．点是的中点，点是棱上的一个动点．(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．6．在直三棱柱中，，是的中点，是与的交点，是线段的中点，是线段上的动点．(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．【考点3】线面平行、垂直的证明一、解答题1．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面；2．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：；3．如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上．(1)求证：平面平面；(2)若平面，求．4．在长方体中，已知，，点在平面上的射影为．(1)设，求，的值；(2)已知，，其中．若平面，求的值．5．如图，在四棱锥中，，，15，25.(1)求证：面；(2)求证：二面角是直二面角；(3)在平面上求点，使面.6．如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点．(1)求的长；(2)求证：．【考点4】空间向量的坐标运算与数量积一、单选题1．点关于平面对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．2．已知空间直角坐标系中的满足，，则（

）A． B．3 C． D．53．已知空间向量，，且，则（

）A．2 B． C．1 D．4．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题6．在正方体中，设棱长为，则下列结论正确的有（

）A．向量的模长为2 B．向量的坐标为C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为7．已知空间向量，则（）A． B．向量不是共面向量C． D．8．已知空间向量，则下列选项中正确的是（

）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，9．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．是直线的一个方向向量C．D．若点是点在平面内的射影，则10．下列命题为真命题的是（）A．已知，则B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心三、填空题11．空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________．12．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________．13．已知向量，，且，则__________．14．已知向量，向量，若，则__________．15．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．【考点5】点到平面的距离一、解答题1．如图，在直三棱柱中，是中点.(1)求证：平面；(2)若，且，求直线到平面的距离.2．如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点．(1)证明：平面；(2)设，，．求到平面的距离．3．如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，．(1)求证：平面；(2)求点F到平面的距离；(3)求直线与平面所成角的大小．4．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，为中点，在线段上，且．

(1)求证:平面;(2)求直线与平面夹角的正弦值；(3)求点E到平面的距离.5．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.

(1)求证：平面EGF平面ABD；(2)求平面EGF与平面ABD的距离.6．在棱长为的正方体中，求(1)直线与平面所成的角；(2)求平面与平面的距离；(3)求三棱锥外接球的表面积；【考点6】空间中的动点（存在性问题）一、解答题1．如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面．(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由．2．如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的大小；(3)若，在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为．若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.(1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由.(2)若二面角大小为，求的值.4．在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点．(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由．5．如图1，在平行四边形中，，，为的中点，将沿折起，连接与，如图2.

(1)设为中点，求证:平面；(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.6．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由．【考点7】空间向量基本定理与共线共面一、单选题1．已知向量，向量，则与的夹角为（

）A． B． C． D．2．已知向量，则（

）A． B． C． D．3．已知空间向量，则（

）A． B． C． D．4．如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（

）

A． B．C． D．直线与平面所成的角为5．在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（

）A． B．C． D．二、多选题6．已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．向量、、一定共面C．向量在基底下的坐标是D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得7．在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（

）A． B．C． D．8．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．9．如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（

）A． B．C． D．10．如图，在直三棱柱中，，，则（

）A．向量在向量上的投影向量为B．向量在向量上的投影向量为C．D．与的夹角为锐角三、填空题11．如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______.12．如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________.13．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则______.14．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为_____15．已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______.【考点8】翻折与展开问题一、解答题1．如图，在边长为2的正方形中，点、分别是和的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点．(1)求证；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)设动点在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在请说明理由．2．如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）.(1)证明：平面POB；(2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.3．在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体．(1)证明：平面平面．(2)求点D到平面的距离．(3)求平面与平面夹角的余弦值．4．已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．5．如图甲，在梯形中，，为中点．将沿折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥．

(1)证明：平面；(2)当为时，求点到平面的距离．6．在直角梯形ABCD中，，，，如图（1）．把沿BD翻折，使得平面平面BCD．(1)求证：；(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．大单元复习01空间向量与立体几何（新高考人教A版专用）目录目录【知识梳理】 2【热考题型】 9【考点1】利用空间向量求二面角 9【考点2】利用空间向量求线面角 20【考点3】线面平行、垂直的证明 30【考点4】空间向量的坐标运算与数量积 40【考点5】点到平面的距离 46【考点6】空间中的动点（存在性问题） 58【考点7】空间向量基本定理与共线共面 70【考点8】翻折与展开问题 79知识梳理知识梳理一、空间向量的有关概念(1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模.(3)表示法①字母表示法：用字母a，b，c，…表示；②几何表示法：空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a共线(平行)向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量二、空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)三、空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ＞0λa与向量a的方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ＜0λa与向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb四、空间向量共线的充要条件(1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知eq\o(OP,\s\up6(→))＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.②直线可以由其上一点和它的方向向量表示.五、空间向量共面的充要条件(1)向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.(2)共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb六、空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b七、空间向量的数量积及性质(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉.(2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0；②a⊥b⇔a·b＝0；③a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.(3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；②a·b＝b·a；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.八、向量a的投影(1)在空间，向量a向向量b投影：如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.(2)向量a向直线l投影如图(2).(3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量.九、证明平行、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.十、求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.十一、求距离(长度)问题|a|＝eq\r(a·a)(|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→)))).十二、空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.(2)空间直角坐标系的画法①空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.②右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.十三、空间直角坐标系中的坐标(1)点的坐标：在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.(2)向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z).十四、空间向量的坐标运算(1)空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.(2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有向量运算坐标表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3十五、空间向量平行、垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有：平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R).垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.十六、夹角和长度的坐标表示(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＋zeq\o\al(2,2))).(2)空间两点间距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2).十七、空间中点、直线的向量表示(1)点的位置向量在空间，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))来表示，我们把向量eq\o(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量.(2)空间直线的向量表示式①设a是直线l的方向向量，在直线l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，(Ⅰ)将eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式，得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，(Ⅱ)(Ⅰ)和(Ⅱ)都称为空间直线的向量表示式.②性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.十八、空间平面的向量表示空间平面的向量表示式如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.十九、平面的法向量平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}.二十、直线和直线平行两直线平行的判定方法设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.二十一、直线与平面平行直线和平面平行的判定方法设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.二十二、平面与平面平行平面和平面平行的判定方法设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.二十三、直线和直线垂直两直线垂直的判定方法设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.二十四、直线与平面垂直直线和平面垂直的判定方法设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.平面和平面垂直的判定方法设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.二十五、点到直线的距离设直线l的单位方向向量为u，A是直线l的上的定点，P是l外一点，eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2))＝eq\r(a2－（a·u）2).二十六、点到平面的距离已知平面α的法向量是n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离PQ＝|eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\f(n,|n|)|＝|eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)|＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).二十七、直线(平面)到平面的距离(1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.(2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.二十八、两条异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·v,|u||v|)))＝eq\f(|u·v|,|u||v|).二十九、直线和平面所成的角直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).三十、两个平面的夹角二面角(1)两平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.(2)两平面夹角的计算设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).热考题型热考题型【考点1】利用空间向量求二面角一、解答题1．如图，在三棱柱中，平面，,为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；【答案】(1)证明：在三棱柱中，平面ABC，，则直线两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，得，，设平面的法向量为，则，取，得，显然，因此，平面，而平面，所以平面.(2)．【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明推理得证.（2）由（1）的信息，利用面面角的向量法求解.【详解】（1）略（2）由平面，得平面的一个法向量为，由（1）知平面的一个法向量为，则，由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.2．如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且．(1)若平面，求的值；(2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）取的中点，由等腰直角三角形及两平面垂直的性质建立空间直角坐标系；第（1）问求出平面的法向量，利用平面求；（2）利用两平面的法向量求锐二面角的余弦值．【详解】（1）取的中点为．因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，且．又因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面．由，且三点共线，得；又因为平面，所以．因此、与过点且平行于的直线两两垂直．以为坐标原点，以所在方向为轴正方向，以平行于的方向为轴正方向，以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由，，，，可得因为在线段上，且，所以，且因此于是设平面的一个法向量为．因为，，所以，．取，则，，则．因为平面，所以，即，解得．（2）由（1）可知，当时，平面的一个法向量可取．由所建空间直角坐标系可知，平面为坐标平面，所以可取平面的一个法向量．设平面与平面所成的锐二面角为．因为，，的模为，且两个平面的法向量夹角的锐角等于两平面所成的锐二面角，所以．故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．3．如图，圆锥中，底面圆O的直径AB长为4，C是圆O上异于A，B的一点．设二面角与二面角的大小分别为与，且．(1)N是劣弧的中点，证明：．(2)求圆锥的高OP；(3)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)由题意可得，平面ABC，且平面，所以；又N是劣弧的中点，则，，平面，所以平面PON，又平面PON，则.(2)(3)【分析】（1）由题意可得，结合线面垂直的证明，可得平面PON，进而有；（2）取AC，BC的中点M，Q，由题意可得与是直角三角形，使用正切公式结合条件即可求解；（3）由题意得两两垂直，空间建系后求出平面与平面的法向量，再使用夹角余弦值公式即可求解.【详解】（1）略（2）分别取AC，BC的中点M，Q，由，则．连接OM，OQ，，，由平面ABC，且平面，平面，所以．又AB是底面圆O的直径，则．则．在与中，．由得，整理得，则．（3）因为，即，所以，即．．因为，，，所以两两垂直，以点O为坐标原点，ON，OM，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则．所以．设平面PAC的法向量为，则，即，不妨取，则，此时设平面PBC的法向量为，则，即，不妨取，则，此时．所以，又二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥．(1)证明：；(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求．【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接，由三棱锥是正三棱锥，可得，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为在平行四边形中，所以．(2)或【分析】（1）取的中点，连接，易得，进而得到平面，则，然后可证；（2）以为原点建立空间直角坐标系，设，分别求出平面、平面的一个法向量，然后构建方程求出，再根据勾股定理求边长即可．【详解】（1）略（2）在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高，以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴，直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为是边长为的正三角形，所以，设，则，所以，设平面的法向量，则，即，取，得，设平面的法向量，则，即，取，得，设平面与平面的夹角为，则，解得或，所以或．5．在直三棱柱中，，，，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)若二面角是直二面角，求的长；(3)在（2）的条件下，求三棱锥的体积．【答案】(1)连接，在矩形中与互相平分，是的中点，所以，由于为的中位线，故．又平面，平面，故平面．(2)(3)【分析】（1）连接，由中位线得到线线平行，从而利用线面平行的判定定理证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系．根据题意设出点的坐标，借助空间向量求得平面和平面的法向量，结合二面角得到向量的数量积关系，即可求得的长；（3）由棱锥的等体积转换得，由中点得到，再等体积转换为，然后由三棱柱和三棱锥的体积关系，即可求得结果.【详解】（1）略（2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，且，所以，设平面的一个法向量，则，取得，同理可取平面的一个法向量．因此，得．解得．所以．（3）由题可知，．6．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是与的交点，，平面，是棱上一点，且平面．(1)证明：是棱的中点；(2)锐二面角的余弦值为，求线段的长度．【答案】(1)证明：如图，连接MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC与BD的交点，所以O为BD的中点，平面MAC，平面PBD，平面平面，所以．所以,则，所以是棱的中点．(2)【分析】（1）由线面平行的性质定理可得，得到，进而可得结论；（2）法一（几何法）过O作AD的垂线，垂足为E，连接PE，可证为二面角的平面角，求解即可；法二（坐标法）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量表示二面角的余弦值，列式求解即可.【详解】（1）略（2）法一（几何法）：如图，过O作AD的垂线，垂足为E，连接PE，因为平面ABCD，所以平面ABCD，所以．又，又OE，平面OPE，所以平面OPE．又平面OPE，所以，所以为二面角的平面角．因为四边形ABCD是菱形，，，所以是等边三角形，所以，，所以，所以．在中，．法二（坐标法）：设，以为轴，以为轴，以为轴，如图建系．，，，，，．设平面ADP的法向量为，由，令得一个法向量．取平面ADC的一个法向量为，则，则．【考点2】利用空间向量求线面角一、解答题1．四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求：(1)直线与面所成的角；(2)平面与平面所成锐二面角的正切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）通过求解直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式求出它们的余弦值，从而得到线面角的正弦值及所成角.（2）分别求出平面与平面的法向量，计算这两个法向量夹角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系将其转化为锐二面角的正切值.【详解】（1）作于点，因为平面，且平面，所以，可以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如下：由题意得，因为且，在面内，与轴正方向夹角为，投影到轴的长度为，投影到轴的长度为，即，因为且，所以，则，，取作为的方向向量，设平面的法向量为，则，故可取，设直线与平面所成的角为，则，由于，解得.（2）设平面的法向量为，由上知，则，故可取，设平面的法向量为，由上知，则故可取，设所求锐二面角为，则，进而，则.2．如图，四棱锥中，底面，，，，.

(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)在中，，由余弦定理得，所以，故，所以为直角三角形，且，又因为面，平面，所以又因为，且，平面，所以面，平面，所以，又因为、、平面，所以又因为平面平面，所以平面(2)【分析】（1）利用勾股定理逆定理得到，进而得到，然后利用线面平行的判定定理证得；（2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求结论.【详解】（1）略（2）因为平面，，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则设为面的一个法向量，，故，令，解得，记与面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.3．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求三棱锥的体积；【答案】(1)证明：由题意知、分别是、的中点，则得，因为平面，平面，所以平面．(2)(3)．【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值即可；（3）利用向量法求点到平面的距离，再由棱锥体积公式求解.【详解】（1）略（2）由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，则得，设直线与平面所成角为，则,故线与平面所成角的正弦值为.（3）由（2）可得，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为，三角形的面积为，所以三棱锥体积．4．在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，.(1)求证：；(2)若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值.【答案】(1)取中点，连接.因为是等边三角形，所以.又平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.又，平面，，所以平面.因为平面，所以.(2)或.【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质证明即可.（2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可.【详解】（1）略（2）在等边中，，则.由（1）知，平面，因为平面，所以.在中，，则.在中，，所以.如图，以为坐标原点，为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，.，.设，则，，所以，即设为平面的一个法向量，因为，，由，得，取，得.记直线与平面所成角为，则，所以，整理得，解得或.5．如图，在三棱锥中，棱，，两两互相垂直，且，．点是的中点，点是棱上的一个动点．(1)证明：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】(1)如图，连接．因为，是的中点，所以．因为，，且，平面，所以平面，因为平面，所以．又因为，平面，所以平面，因为平面，所以．(2)1【分析】（1）先根据，，得出平面，再推出平面，最后证明；（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向与平面法向量的夹角计算公式，建立方程求得即可.【详解】（1）略（2）如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系．由已知可得，，，．设，则，，，．设平面的法向量为，由得，取．设直线与平面所成的角为，则．令，解得．故线段的长为16．在直三棱柱中，，是的中点，是与的交点，是线段的中点，是线段上的动点．(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设在上，令，得，又，，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，又，，所以；又PQ⊄平面，因此平面.(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出各点与相关向量，求得平面的法向量，通过证明直线的方向向量与该平面法向量垂直，结合不在平面内，证得线面平行；（2）利用线面角的向量公式列方程求解参数得到点坐标，再求出两个平面的法向量，借助法向量夹角公式计算出两平面夹角的余弦值.【详解】（1）略（2）设直线与平面所成角为，则，已知，则，解得，则即.设平面的法向量为，又，，则，即，令，则，即是平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则.【考点3】线面平行、垂直的证明一、解答题1．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面；【答案】证明:因为平面，平面，所以，又，故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为，所以，又因为是的中点，所以，所以，设平面的一个法向量为，则有，取，则，所以，所以，所以直线平面.【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明；【详解】略.2．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：；【答案】证明:依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．又，，，分别是棱，，，的中点，．所以，，，．所以，，则，而点直线，所以．【详解】略.3．如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上．(1)求证：平面平面；(2)若平面，求．【答案】(1)因为平面平面，所以．因为平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．(2)【分析】（1）利用线面垂直来证明面面垂直即可；（2）（方法一）利用线面平行来证明线线平行，再通过线段成比例，可求出线段长；（方法二）建立空间直角坐标系，利用空间向量法，通过向量的坐标运算求解即可.【详解】（1）略（2）（方法一）如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接．因为平面平面，平面平面，所以．因为是的中点，所以是的中点，所以．过点作，交于点，因为是的中点，所以，因为是的中点，所以，所以．因为，所以，因为是的中点，，所以所以，则在直角中，可得，所以．（方法二）以为坐标原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．因为，是的中点，是的中点，所以．设，所以．因为平面的法向量平面，所以，所以，即，所以，所以．4．在长方体中，已知，，点在平面上的射影为．(1)设，求，的值；(2)已知，，其中．若平面，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据题意得到垂直关系，从而得到方程组，求出答案；（2）求出平面的法向量，根据平行关系得到，从而得到方程，结合（1）中结论得到方程，求出答案【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设，则，点在平面上的射影为，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，⊥，，由得，即，，由得，故，则，将其代入中，可得，整理得，解得，（2），设，，因为，，所以，所以，，所以，，所以，则，设平面的法向量为，则，令，则，，其中．故，若平面，则，即，故，其中，故，上式可化简得，若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去，故，解得5．如图，在四棱锥中，，，15，25.(1)求证：面；(2)求证：二面角是直二面角；(3)在平面上求点，使面.【答案】(1)如图所示：连接BD，取BD的中点O，连接PO，因为，，所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O，也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD，因为平面ABCD，所以，又因为，满足所以，又，所以面；(2)以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系：则易得，则，设，则，因为，所以，解得，则所以，设平面PBC的一个法向量为则，即，令，则，所以，设平面PCD的一个法向量为则，即，令，则，所以，因为，所以，则平面平面PDC，所以二面角是直二面角；(3).【分析】（1）连接BD，取BD的中点O，连接PO，易得平面ABCD，从而，再由得到，然后利用线面垂直的判定定理证明；（2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC和平面PDC，利用向量法求解；（3）根据面，得到，设，由求解.【详解】（1）如图所示：连接BD，取BD的中点O，连接PO，因为，，所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O，也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD，因为平面ABCD,所以，又因为，满足所以，又，所以面；（2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系：则易得，则，设，则，因为，所以，解得，则所以，设平面PBC的一个法向量为则，即令，则，所以，设平面PCD的一个法向量为则，即令，则，所以，因为，所以，则平面平面PDC，所以二面角是直二面角；（3）因为面，所以，设，则，因为，所以，解得，则.6．如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点．(1)求的长；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可；（2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可.【详解】（1）因为，，所以是等边三角形，所以，又因为N是的中点，所以,在中，.（2）由已知，所以，所以.【考点4】空间向量的坐标运算与数量积一、单选题1．点关于平面对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可.【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数，所以点关于平面对称的点的坐标为点.2．已知空间直角坐标系中的满足，，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】C【详解】由向量加法得，所以.3．已知空间向量，，且，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可.【详解】因为，所以，解得：，故.4．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】平面的法向量与平面内所有向量垂直，故，解得，故．5．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为3，则，，，，所以，，故，所以向量与夹角的余弦值为.

二、多选题6．在正方体中，设棱长为，则下列结论正确的有（

）A．向量的模长为2 B．向量的坐标为C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为【答案】CD【详解】对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误，对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误，对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确，对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则，所以异面直线与所成角为，故D正确.7．已知空间向量，则（）A． B．向量不是共面向量C． D．【答案】AC【详解】，A正确；设，即，解得，即，所以是共面向量，B错误；，所以，C正确；，D错误.8．已知空间向量，则下列选项中正确的是（

）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】AC【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D.【详解】对于A，当时，；故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，当时，，所以，，故C正确；对于D，当时，，则，，所以，故D错误.9．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．是直线的一个方向向量C．D．若点是点在平面内的射影，则【答案】AB【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示即可判断C；对D，根据点在平面的投影可得点，由向量模长公式计算可判断D.【详解】对于A，，，因为，则，解得，故A正确；对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确；对于C，，则，故C错误；对于D，易知点在平面内的射影为，可知，所以，故D错误.10．下列命题为真命题的是（）A．已知，则B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心【答案】CD【详解】对于A：，,所以，A错误；对于B：因为，，所以向量与的夹角余弦值为，B错误；对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”，“与共面”不一定能推出“存在实数，使”，因为当共线但与不共线时，与共面成立，但不存在实数，使，C正确；对于D：因为，所以，即，即，所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点，则有，同理取中点，则有，所以为的重心，D正确.三、填空题11．空间直角坐标系中，点和点关于轴对称，则点的坐标为________．【答案】【详解】因为点和点关于轴对称，所以.12．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________．【答案】【详解】已知，，则，.故向量在向量上的投影向量为.13．已知向量，，且，则__________．【答案】【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解.【详解】因为向量，，且，所以，解得.14．已知向量，向量，若，则__________．【答案】4【详解】，，，，即，解得．15．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】若共线则存在实数使得，则，即，方程组无解，即不存在实数使得共线.所以若与的夹角为锐角，则，解得.故实数的取值范围是.【考点5】点到平面的距离一、解答题1．如图，在直三棱柱中，是中点.(1)求证：平面；(2)若，且，求直线到平面的距离.【答案】(1)如图所示，连接交于点，连接，由三棱柱的特征可知侧面是平行四边形，则是的中点，又是中点，则.因为平面，平面，所以平面.(2)【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明；（2）解法一，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法二，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用等体积法求解点到面的距离；解法三，由线面平行将线到面的距离转化为点到面的距离，利用空间向量法求解点到面的距离【详解】（1）略（2）【解法一】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为.因为，，所以.又因为，，所以，所以.因为平面，由，得.又因为，，所以，解得，即直线到平面的距离为.【解法二】由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，设为.因为，，所以.又因为，，所以，所以.又因为，，，平面.，所以平面.因为点为中点，所以点到平面的距离为.由，得.又因为，，所以，解得，即直线到平面的距离为.【解法三】在直三棱柱中，平面，因为平面，所以,，因为，所以两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.设平面的法向量为，则，取，则，，即.又，则点到平面的距离.由（1）知平面，所以直线到平面的距离就是到平面的距离，所以直线到平面的距离为.2．如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点．(1)证明：平面；(2)设，，．求到平面的距离．【答案】(1)证明：连接，因为四边形为矩形，所以点为的中点，又点为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；(2)【分析】（1）借助线面平行判定定理即可得证；（2）法一：可建立适当空间直角坐标系，求出及平面的法向量后，利用空间中点到平面距离公式计算即可得；法二：借助等体积法，利用计算即可得.【详解】（1）略（2）法一：由题意，可以点为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，则，，设平面的法向量为，则，可取，由（1）知平面，到平面的距离为到平面的距离，又，则在法向量上的投影长度为，故到平面的距离为.法二：由（1）知平面，到平面的距离为到平面的距离，在中，，，由平面，平面，故，由底面为矩形，则，又，、平面，故平面，又平面，故，则，∴，则，故，由，，设到平面的距离为，∴，解得，故PB到平面AEC的距离为．3．如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，．(1)求证：平面；(2)求点F到平面的距离；(3)求直线与平面所成角的大小．【答案】(1)如图建立空间直角坐标系，，，，，，.取的中点G，连结，则．，，．即．又平面，平面，平面．(2)(3)．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和平面中的向量，再证明平行即可.（2）求出平面的法向量，再求出点F到平面的距离即可.（3）根据（2）以及线面角公式求解即可.【详解】（1）略（2）设平面的法向量为，，．．即．取，得．又，故点F到平面的距离为．（3），．∴直线与平面所成角的大小为．4．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，为中点，在线段上，且．

(1)求证:平面;(2)求直线与平面夹角的正弦值；(3)求点E到平面的距离.【答案】(1)以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，则，易知平面的一个法向量为，故，则，又平面，故平面．(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面平行的判定定理求解即可.（2）求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可.（3）求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法求解即可.【详解】（1）略（2）设平面的法向量为，且，，，则，令，则，，，设直线与平面夹角为，可得，即直线与平面夹角的正弦值为．（3）设平面的法向量为，且，则，令，则，，故，设点到平面距离为，且，可得．5．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.

(1)求证：平面EGF平面ABD；(2)求平面EGF与平面ABD的距离.【答案】(1)在直三棱柱中，，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，于是，即，因此直线，而平面，则平面；又，则，直线，而平面，则平面，又点平面，所以平面平面.

(2).【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得.（2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得.【详解】（1）略（2）由（1）得，平面的一个法向量为，而，则点到平面的距离，由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离，所以平面与平面的距离为.6．在棱长为的正方体中，求(1)直线与平面所成的角；(2)求平面与平面的距离；(3)求三棱锥外接球的表面积；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角；（2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可；（3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果.【详解】（1）建立如图所示，以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，根据题意有：，，，，，所以，，，设平面的法向量为，所以，即，令，则有，所以为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则有，又因为，所以（2）连接、、、、、，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；同理可证平面，又，平面，所以平面平面；因为，，，所以，，设平面的法向量为，则，，令，可得，则为平面的一个法向量，所以平面与平面的距离.（3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设三棱锥的外接球半径为，则，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.【考点6】空间中的动点（存在性问题）一、解答题1．如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面．(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明：因为为的中点，，所以.因为平面，平面，所以.又，平面，且，所以平面．(2)存在，．【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法求解即可.【详解】（1）略（2）因为，，所以，.因为四边形为菱形，且，所以.由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，设．又，所以，设平面的一个法向量，则，即，令，则，，所以，记直线与平面所成的角为，则，解得（负根舍去），此时为的中点，所以在棱上存在点满足条件，此时．2．如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的大小；(3)若，在线段上是否存在一点，使直线与平面所成的角为．若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)因为四边形是正方形，、、分别为、、的中点，所以，即，.因为，平面，在平面外，所以平面.因为，平面，在平面外，所以平面.又，所以由唯一确定一个平面，故平面即平面；又，所以是两条相交直线，且平面，所以平面平面，又平面，所以平面；(2)；(3)存在，点的坐标为，理由如下：由（2）得，设，则，又，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，所以，若直线与平面所成的角为，则，即，整理得，解得，则.所以在线段上存在一点使直线与平面所成的角为，点的坐标为.【分析】（1）由题证得平面平面，即可得平面；（2）建立适当空间直角坐标系，求出两平面的一个法向量，由两法向量夹角余弦值即可求解；（3）设，求出和平面的一个法向量为，由题设建立关于t的等量关系求出t即可求解.【详解】（1）略（2）由题意可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以，因为平面平面，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则可得，所以，所以平面与平面夹角为；（3）略3．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.(1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由.(2)若二面角大小为，求的值.【答案】(1)存在，点在棱上，都有平面平面，理由如下：∵，为