2026-2027学年北京市丰台区高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年北京市丰台区高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−2xA.(−2,1] B.(−2,2.已知复数z=3−4iA.7 B.25 C.−7 D.3.已知向量a=(1,0)，A.−1 B.0 C.1 D.4.已知a<b<0，cA.1a>1b B.a2<5.下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为(

)A.f(x)=1x3 B.6.在△ABC中，bcosAA.π4 B.π3 C.π27.已知函数f(x)=sinx与gA.π6 B.π4 C.π38.近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q=Q0e−ta，其中Q0是臭氧的初始含量，a为常数.经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过266年将有一半的臭氧消失.按照这样的变化规律，若经过n年，臭氧含量只剩下初始含量的20%A.392 B.448 C.618 D.6989.已知平面上不共线的三点O，A，B，OP=sinθOA+3cosA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.设数列{an}满足an+1=an+ln(2−an)(n=1,2,3,…)，给出下列四个结论：

①若a1=1A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=x12.已知{an}是等比数列，若a2=3，a413.已知平面向量a，b满足|2a+b|=6，a=(1,14.已知函数f(x)=|log2(x+1)|，若f(x)=0，则x=

15.已知函数f(x)=3|x−1|−kx+2，给出下列四个结论：

①存在实数k，使f(x)的图象关于直线x=1对称；

②对任意实数k，f(x)存在最小值；三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=10，a3=3．

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(17.(本小题14分)

设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)，ω>0，|φ|<π2．

(Ⅰ)若f(0)=1，求φ的值；

(Ⅱ)已知f(x)在[−π4,π18.(本小题13分)

设函数f(x)=x2+(x−1)(lna)2−6xln19.(本小题15分)

为打造城郊休闲农场，现将三角形地块划分成三个功能区(如图)，从左到右依次为果蔬采摘园、景观池塘、露营草坪.已知AC=300m，BC=3003m，AC⊥BC，∠MCN=30°．

(Ⅰ)若AM=150m，求CM的长；

(Ⅱ)若△MNC的面积是△CMA的面积的20.(本小题15分)

已知函数f(x)的导函数f′(x)=x2sinx．

(Ⅰ)求曲线y=sinx在x=2π3处的切线方程；

(Ⅱ)当0<21.(本小题15分)

设A=(aij)m×n是一个m行n列(m,n≥2)的数阵，且数阵中的每一项aij∈{−1,1}，若将数阵A的第i行(或第j列)的每一项均乘以−1，其余项不变，得到一个新的数阵，称为一次变换.若可经过若干次变换后得到数阵的每一项都等于1，则称数阵A为“可完美数阵”．

(Ⅰ)判断下列数阵是否是“可完美数阵”；(只需写出结论)

①A1=(aij)2×3=11−1−1−11

②1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】B

11.【答案】{x|x12.【答案】27

13.【答案】210

14.【答案】0(

15.【答案】①②16.【答案】解：(Ⅰ)等差数列{an}的前n项和为Sn，设公差为d，

由S4=10，a3=3，可得4a1+6d=10，a1+2d=3，

17.【答案】解：(Ⅰ)由f(0)=1得sinφ+cosφ=1，即2sin(φ+π4)=1．

所以sin(φ+π4)=22．

由|φ|<π2得−π4<φ+π4<3π4，故只能φ+π4=π4，即φ=0．

(Ⅱ)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ+π4)．

记θ=φ+π4，则f(x)=2sin(ωx+θ)，其中θ∈(−π4,3π4)．

由f(x)在[−π4,π8]上单调递增知，该区间长度3π8不超过半个周期πω，所以3π8≤18.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)是偶函数，

得f(−x)=f(x)，即x2+(−x−1)(lna)2+6xlna−1=x2+(x−1)(lna)2−6xlna−1，

整理得：19.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，由AC=300，BC=3003，AC⊥BC，

则AB=AC2+BC2=3002+(3003)2=600，

由tanA=BCAC=3,A∈(0°,180°)，所以A=60°，B=30°，

在△ACM中，由AC=300，AM=150，A=60°，

由余弦定理得：CM2=AC2+AM2−2AC⋅AMcosA=3002+1502−2×300×150cos60°=67500，

所以CM=67500=1503m；

(Ⅱ)设∠ACM=θ，则∠BCN=90°−30°−θ=60°−θ，θ∈(0°,60°)，∠AMC=120°−θ，

在△ACM中，由正弦定理得：CMsin60∘=ACsin(120∘−θ)⇒CM=ACsin60°sin(120∘−θ)=1503sin(60°+θ)，

由S△20.【答案】解：(Ⅰ)当x=2π3时，y=sin2π3=32，所以切点为(2π3,32)，

又y′=cosx，所以切线的斜率为：k=y′|x=2π3=cos2π3=−12，

所以曲线y=sinx在x=2π3处的切线方程为：y−32=−12(x−2π3)，即y=−12x+π3+32．

(Ⅱ)证明：设h(x)=sinx+12x−π3−32,x∈(0,π)，

则h′(x)=cosx+12，令h′(x)=0⇒c21.【答案】解：(Ⅰ)数阵A1是“可完美数阵”；数阵A2不是“可完美数阵”；

(Ⅱ)证明：(i)假设数阵A具有性质P不成立，即数阵A不具有性质P，

于是存在1≤i≤m，1≤p≤m，1≤j≤n，1≤q≤n，其中i≠p，j≠q，使得aijaiqapjapq≠1，

又因为aij∈{−1,1}，所以aijaiqapjapq=−1，即aijaiqapjapq恰有3项为1(或3项为−1)，

每次变换aijaiqapjapq四项中恰有两项变换为原来的相反数，则：

(1)变换的两项都为1(或为−1)时，变换后四项aij′aiq′apj′apq′积的值为−1，

则aij′aiq′apj′apq