上海市虹口区2026－2027学年第一学期期中学习能力诊断练习九年级数学（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市虹口区2026－2027学年第一学期期中学习能力诊断练习九年级数学一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.对于两个相似但不全等的三角形，下列四个量中，有一个量的值与其他三个量的值不同的是（）A.面积比 B.对应角平分线之比 C.对应高之比 D.对应中线之比2.下列函数中，是二次函数的是（）A. B. C. D.3.抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（

）A. B. C. D.4.已知线段、、，求作线段，使．下列作图方法中都有，作法合理的一项是（

）A. B.

C. D.5.小余与小乐玩猜二次函数的游戏，游戏规则是小余在纸上写下一个二次函数，这个二次函数的各项系数只能为、、，小乐可以向小余针对二次函数的图像提三个问题，小余只能回答“是”或“不是”，小乐提问小余回答①这个二次函数的图像开口向上吗？答：不是；②这个二次函数的图像对称轴在轴右侧吗？答：是；③这个二次函数的图像与轴有两个交点吗？答：不是．根据上述对话，小余写下的二次函数是（

）A. B. C. D.6.在学习完《28．2相似三角形（6）》的例题8（如下图）后，某班一些爱探究数学问题的同学组成了两个学习小组进行进一步探究并提出了问题：如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上．已知的边长为，高为．求正方形的边长．

第①组“爱探”小组研究并提出的问题是：如图1，保持边的长为，高为，但改变的形状，正方形的边在直线上，顶点、分别在边、上，那么此时正方形的边长是否会随着形状的变化而变化？

第②组“爱究”小组研究并提出的问题是：如图2，的形状、边的长，高的长都保持不变，将“正方形”改为“矩形”，边在边上，顶点、分别在边、上，那么此时的值是否会随着矩形形状的变化而变化？

下列结论中，正确的是（

）A.①，②都不变 B.①变化，②不变 C.①不变，②变化 D.①，②都变化二、填空题：本题共11小题，每小题5分，共55分。7.已知二次函数，当自变量时，对应的函数值

．8.如果抛物线（为常数）在对称轴右侧部分是下降的，那么的取值范围是

．9.抛物线与轴的交点坐标是

．10.黄金分割是一条公认的美学规律，舞台上报幕员总是站在舞台的黄金分割点处，显得大方得体．如图，线段表示舞台前沿，米，小李上台担任报幕员，他要从舞台边点走到最近的舞台黄金分割点处要走

米．（结果保留根号）

11.如图，已知，它们依次交直线于点、、，交直线于点、、，如果，，，那么的长是

．

12.如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点位似，点、的坐标分别为、，如果四边形的面积为3，那么四边形的面积是

．

13.已知点、都在抛物线上，如果，那么与的大小关系是

．（填“”、“”、“”或“无法确定”）14.抛物线的顶点在直线上，那么的值是

．15.抛物线在轴上截得的线段长为2，那么的值是

．16.二次函数有最小值，它的图像与轴有两个交点，这两个交点与顶点构成的三角形面积是

．17.现有两张完全相同的矩形纸片，，，．如图1，将第一张矩形纸片对折，使与重合，展平后沿折痕剪开，取其中一张小矩形纸片，记为矩形①；如图2，将第二张矩形纸片沿过点的直线翻折，使点的对应点落在边上，过点的直线与边交于点，沿剪下矩形，记为矩形②；如果矩形①与矩形②相似，那么的值是

．

三、解答题：本题共7小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题8分)

已知：，，求、、的值．19.(本小题8分)二次函数中，函数值与自变量之间的部分对应关系如下表所示：（其中、为待求的值）…………根据表中的信息回答下面的问题：(1)求该二次函数的表达式；(2)填空：

；

．20.(本小题10分)在中，，，，点、分别是边、上的点．

(1)如图1，如果，与互补，求的长；(2)如图2，如果，把分成的两部分的周长相等，连接，求与的面积比．21.(本小题10分)足球比赛中，当球出边线后，球员需用手掷界外球，在忽略空气阻力的情况下，球的飞行轨迹是一条抛物线．设过球出手点的铅垂线与地面所在水平面交于点．(1)队员小杨掷界外球，出手时球在离地面高度为2米的位置，当球飞出水平距离3米时到达离地面高度米的位置，在球飞出水平距离4米时落地，落地点位置为．以为原点，为轴，为轴，建立如图的平面直角坐标系．

①求足球飞行时离地面的高度（单位：米）与飞出的水平距离（单位：米）的函数表达式；②求足球飞行到最高点时，飞出的水平距离；(2)为了更有攻击性，小杨掷了一次“大力界外球”，其队友小徐起跳争顶头球，已知小徐的“最佳争顶区域”的高度不低于米但不超过米．这次“大力界外球”有以下相关数据信息：数据信息1：小杨掷球出手时球离地面高度仍为2米，球的飞行轨迹仍是一条抛物线；数据信息2：当球飞出水平距离为6米时达到最高点，设最高点距离地面的距离为；数据信息3：队友小徐在球飞出水平距离为10米的位置原地起跳争顶时，球的高度处于他的“最佳争顶区域”．仅根据上述信息，不额外考虑其他因素，求的取值范围．22.(本小题10分)如图，已知在矩形中，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点．

(1)求证：；(2)连接、，记与的周长分别是、，求证：．23.(本小题12分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过其对称轴左侧的点，与轴正半轴交于点，点是点关于该抛物线对称轴的对称点．

(1)用含的式子表示的值及点的坐标；(2)已知该抛物线顶点为，点是该抛物线上一点，连接，线段交抛物线的对称轴于点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，设与抛物线对称轴交于点，．①随着值的变化，的值是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，用含的式子表示；②连接、，如果，求点到轴的距离．24.(本小题13分)在中，已知点在边上．，点在边上，连接、．

(1)当时，①如图1，如果，求证：；②如图2，如果平分，，求的值；(2)如图3，如果，，，，求的长．

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】11

8.【答案】

9.【答案】

10.【答案】

/

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】4

15.【答案】

16.【答案】32

17.【答案】

18.【答案】解：设．可得，，．将上述表达式代入，得．化简得．解得．∴，，．

19.【答案】【小题1】解：设该二次函数的表达式为．∵当

时，当

时，当

时，∴，，．∴第二式减第一式得，即．∴第三式减第二式得，即．∴，∴．∴，．∴该二次函数的表达式为．【小题2】-7​​​​​​​

20.【答案】【小题1】解：由题意得，，∵，∴，∵，∴，∴∴∴；【小题2】解：如图，∵，∴，∴，∴设，∴，∵把分成的两部分的周长相等，∴，∴，解得，∵与共过点作的垂线形成的高，∴．

21.【答案】【小题1】解：①设抛物线解析式为．抛物线过，、，解得，所求函数表达式为②∵，∴足球飞行到最高点时，飞出的水平距离为1米；【小题2】解：设抛物线解析式为，出手点高度仍为米，∴抛物线过，，得当时，，由题意，此时球的高度在“最佳争顶区域”：解得：，∴h的取值范围是．

22.【答案】【小题1】证明：如图，∵，，∴，∴，∵在矩形中，，又∵，∴，∴，∴，∴；【小题2】证明：如图，矩形中，，∵，∴，∵，由（1）知，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．

23.【答案】【小题1】解：∵抛物线经过点，∴把代入解析式，得解得．∴抛物线对称轴为直线．∵抛物线与轴交于点，∴．∵是关于对称轴的对称点，∴．【小题2】解：①连接，如图∵顶点在对称轴上，，∵在直线上，交对称轴于，∴，．∵对称轴，且，∴．又∵在对称轴右侧，，把代入解析式：，，设直线的解析式为，代入，得，解得．∴直线的解析式为，∴令，得．∵P，D，E都在对称轴上，，，，即的值不随变化，定值为．②由①得，，∴．又∵，为公共边，，，由图可知：，，又∵，且，，过作对称轴，垂足为，如图则．在中（即在对称轴上的垂足）：，在中：，∵，且两三角形均为直角三角形，，，即整理得：则，∵点到轴距离为，即点P到轴的距离为．

24.