《课题学习 最短路径问题》分层作业

数学第第页《轴对称》最短路径问题A卷（基础）一、选择题1.在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆.下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置.符合题意的画法是A.故选：A.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★【题型】选择题2.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.计划在l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水.现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于点M.根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，所需管道最短.故选：D.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★【题型】选择题3.如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（-5，2），在x轴上取一点M，使点M到点A和点B的距离之和最小，则点M的坐标是（）A.（0，0） B.（-1，0） C.（-2，0） D.（-3，0）【答案】B【解析】点A关于x轴的对称点为C，连接BC，交x轴于点M，则此时点M到点A和点B的距离之和最小.∴点M的坐标是（-1，0）.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★【题型】选择题4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A.BC B.CE C.AD D.AC【答案】B【解析】如图连接PC.∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.∴PB=PC.∴PB+PE=PC+PE.∵PE+PC≥CE，∴P，C，E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.故选：B.【知识点】轴对称﹣最短路线问题；等腰三角形的性质【难度】★【题型】选择题5.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=（）A.60° B.90° C.45° D.75°【答案】C【解析】∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°，∴∠PCD=45°.故选：C.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★【题型】选择题二、填空题6.如图，∠BAC=30°，AB=8，点P是射线AC上的一个动点，则线段BP的最小值是eq\o\ac(,)eq\o\ac(,)eq\o\ac(,.)【答案】4【解析】当BP⊥AC时最小，然后根据直角三角形中30°角的性质可知此时BP=12AB【知识点】垂线段最短【难度】★【题型】填空题7.如图，已知∠AOE=∠BOE，EC⊥OB于点C，点F在OA上.若EC=1，则EF的最小值为.【答案】eq\o\ac(,1)【解析】∵∠AOE=∠BOE，∴点E在∠BOA的平分线上.∵EC⊥OB，EC=l，当EF⊥OA时，EF的值最小，最小值为l.故答案为：1.【知识点】角平分线的性质的逆定理【难度】★【题型】填空题8.如图，在△ABC中，AB=9，BC=7，AC=4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线上的一动点，△APC周长的最小值为.【答案】13【解析】∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，∴BP=CP.∴△ACP的周长=AP+PC+AC=BP+AP+AC≥AB+AC.∴当A，B，P三点共线时，△ACP的周长最小.∵AB=9，AC=4，∴△ACP的周长9+4=13.∴△ACP的周长最小值为13.故答案为13.【知识点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质【难度】★【题型】填空题三、解答题9.如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？【答案】作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于点C，交ON于点D，连接AC，CD，BD，根据两点之间线段最短即可得到四边形ABCD即为所求.【解析】作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于点C，交ON于点D，连接AC，CD，BD，则四边形ABCD即为所求.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★【题型】解答题10.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC，BD，且AC=BD，已知A处到河岸CD的中点的距离为500米.（1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问：在何处饮水，所走的路程最短？在图中作出该处并说明理由.（2）最短路程是多少米？【答案】（1）如图，作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点M.由轴对称的性质，知AM=A′M.∴AM+BM=A′M+BM=A′B.由“两点之间，线段最短”，可知AM+BM的最短距离即为线段A′B的长，此时点M即为饮水处.（2）最短路程为1000米.【解析】（1）如图，作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点M.由轴对称的性质，知AM=A′M.∴AM+BM=A′M+BM=A′B.由“两点之间，线段最短”，可知AM+BM的最短距离即为线段A′B的长，此时点M即为饮水处.（2）∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠A′CD=∠BDC=90°.∵点A与点A′关于CD对称，∴CA′=AC.又∵AC=DB.∴CA′=BD.在△CA′M和△DBM中.∵∠A′MC=∠BMD，∠A′CM=∠BDM，CA′=BD，∴△CA′M≌△DBM.∴A′M=BM，CM=DM，即M为CD的中点.∴AM=BM=A′M=500米.∴最短路程为2AM=2×500=1000（米）.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★【题型】解答题B卷（巩固）一、选择题1．在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】若在直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点C，使得它到A，B的距离之和最小，则可以过点A作关于y轴的对称点，再连接B和作出的对称点连线和y轴的交点即为所求，由给出的四个选项可知选项C满足条件．故选：C．【知识点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质【难度】★★【题型】选择题2.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，3），B（-3，-2），在y轴上取一点P，使△ABP的周长最小，则点P的坐标为（）A.（0，1） B.（0，-1）C.（0，2） D.（0，-2）【答案】A【解析】∵线段AB的长不变，∴要使△ABP的周长最小，只需满足PA+PB的值最小即可.如图，点A关于y轴的对称点为点C，连接BC，交y轴于点P（0，1），则此时PA+PB的值最小.故选：A.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★★【题型】选择题3.如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1，P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2=6，则△PMN的周长为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】∵P与P1关于OA对称，∴OA为PP1的垂直平分线.∴MP=MP1.P与P2关于OB对称，∴OB为PP2的垂直平分线.∴NP=NP2.∴△PMN周长为MN+MP+NP=MN+MP1+NP2=P1P2=6.故选：C.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★★【题型】选择题4.如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，E为AB的中点，点M是AD上一个动点，当MB+ME的值最小时，∠EMB的度数为（）A.30° B.45° C.60° D.80°【答案】C【解析】∵点B关于直线AD对称的点为C，连接CE，交AD于点M，则此时MB+ME的值最小.∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC.∴BM=MC.∴∠MBC=∠MCB.∵E为AB的中点，CB=CA，∴∠MCB=30°.∴∠MBC=∠MCB=30°.∴∠EMB=∠MBC+∠MCB=60°.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★★【题型】选择题5.如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】连接AD，MA.∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC.∴S△ABC=BC•AD=×6×AD=18，解得AD=6.∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC.∴MC+DM=MA+DM≥AD.∴AD的长为CM+MD的最小值.∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=6+×6=6+3=9.故选：C.【知识点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【难度】★★【题型】选择题6.如图，直线AC是正方形ABCD的一条对称轴，AE=BE=8，点M是线段AC上一个动点，则MD+ME的最小值为（）A.4 B.6 C.8 D.16【答案】C【解析】如图，连接BD，设BE交AC于点M，则此时MD+ME的值最小.∵直线AC是正方形ABCD的一条对称轴，∴点D与点B是对称点.∴AC垂直平分BD.∴MD=MB.∴MD+ME=MB+ME=BE=8.【难度】★★【题型】选择题7.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A.A点 B.B点 C.C点 D.D点【答案】C【解析】如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，∵M′N与直线l交于点C，∴点P应选C点.故选：C.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★★【题型】选择题8.如图，∠AOB=30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（）A.β-α=60° B.β+α=210°C.β-2α=30° D.β+2α=240°【答案】B【解析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，∵∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，∴α+β=180°-30°-∠ONQ+30°+30°+∠ONQ=210°.故选：B.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★★【题型】选择题二、填空题9.如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，AD=6，点P是AD上的一动点，则PE+PB的最小值为.【答案】6【解析】作点B关于AD的对称点B′，∵△ABC是等边三角形，∴B′与点C重合，连接CE，则CE的长度即为PE与PB和的最小值.∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，∴CE⊥AB，∠ACE=30°.∵AE=DC，∴∠CAD=30°，AC=AC.在△CAE和△ACD中，，∴△CAE≌△ACD.∴CE=AD=6.故答案为：6.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★★【题型】填空题10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是．【答案】6【解析】作A关于BC的对称点A'，连接A′B，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°.∵PA＝A'P，∴△AA'B为等边三角形.∴AP+DP＝A'P+PD为A'与直线AB之间的连接线段.∴最小值为A'到AB的距离＝BC＝6.故答案为：6．【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★★【题型】填空题11.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，M，N分别是AD和AB上的动点.则BM+MN的最小值是.【答案】【解析】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值.∵AB=AC，D是BC边上的中点，∴AD是∠BAC的平分线.∴M′H=M′N′.∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）.∵AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，∴AD⊥BC.∴AD=12.∵S△ABC=AC×BH=BC×AD，∴13×BH=10×12.解得BH=.故答案为：.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★★【题型】填空题12.如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF.当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是.【答案】30°【解析】如图，连接CF.∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴AB=BC=AC，BE=EF=BF，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EBF=∠BEF=∠BFE=60°.∴∠ABC-∠EBD=∠EBF-∠EBD.∴∠ABE=∠CBF.在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS）.∴∠BCF=∠BAD=30°.如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD=FG，∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG的长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小.由轴对称的性质，可得∠DCG=2∠BCF=60°，CD=CG，∴△DCG是等边三角形.∴DG=DC=DB.∴∠DBG=∠DGB=∠CDG=30°.故答案为：30°.【知识点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【难度】★★【题型】填空题三、解答题13.如图，BA，BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点P处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？【答案】利用关于直线对称点的性质得出P点关于AB的对称点P′，以及P点关于CB的对称点P″，连接P′P″即可得出.【解析】如图所示，M，N点即为所求.【知识点】轴对称﹣最短路线问题；作图—应用与设计作图【难度】★★【题型】解答题14.下图均是4×4的正方形网格，格点A，格点B和直线l的位置如图所示，点P在直线l上.（1）请分别在图1和图2中作出点P，使PA+PB最短.（2）请分别在图3和图4中作出点P，使PA-PB最长.【答案】如图所示.【解析】（1）图1，根据两点之间线段最短，连接AB与直线l的交点即为点P，图2，找出点B关于直线l的对称点，连接AB′与直线l相交于点P，根据轴对称确定最短路线问题，点P即为所求.（2）图3，找出点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长与直线l相交于点P，根据轴对称的性质，PB=PB′，此时，点P即为所求；图4，连接AB并延长与直线l相交于点P，点P即为所求.如图所示.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★★【题型】解答题15.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB.（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是度.（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm.①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值.【答案】（1）50.（2）①BC=6；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，△PBC周长的最小值=14.【解析】（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=70°.∴∠A=40°.∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM=90°.∴∠NMA=50°.故答案为：50.（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM=BM.∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC.∵AB=8，△MBC的周长是14，∴BC=14-8=6.②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小.∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14.【知识点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【难度】★★【题型】解答题C卷（拓展）一、选择题1.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】连接AD，AM.∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC.∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=20，解得AD=10.∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A.∴MA=MC.∵AD≤AM+MD，∴AD的长为CM+MD的最小值.∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=10+×4=10+2=12.故选：D.【知识点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【难度】★★★【题型】选择题2.如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A.50° B.60° C.70° D.80°【答案】D【解析】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值.作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°.∴∠HAA′=50°.∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°.∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°.∴∠EAF=130°-50°=80°.故选：D.【知识点】轴对称﹣最短路线问题【难度】★★★【题型】选择题二、填空题3.如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm.点P，Q分别为AB，AD上的两个定点且BP=AQ=2cm，若在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为cm.【答案】5【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC.∵BD⊥AC，∴AD=DC=3.5cm.作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小.最小值PE+QE=PE+EQ′=PQ′，∵AQ=2cm，AD=DC=3.5cm，∴QD=DQ′=1.5（cm）.∴CQ′=BP=2（cm）.∴AP=AQ′=5（cm）.∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形.∴PQ′=PA=5（cm）.∴PE+QE的最小值为5cm.故答案为5.【知识点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【难度】★★★【题型】填空题4.在△ABC中，AB=AC=10，AD是△ABC的角平分线，E在A