3.3 函数的应用（一）（含答案）(人教B版2019必修一)-【同步教案】 2021-2022学年高一数学

3.6函数的应用（新课）典例解析考点一：费用问题例1．A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与“供电距离的平方与供电量之积”成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)求x的范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．变式1．(本小题满分12分)某县城出租车的收费标准是：起步价是5元(乘车不超过3公里)；行驶3公里后，每公里车费1.2元；行驶10公里后，每公里车费1.8元．(1)写出车费与路程的关系式；(2)一顾客行程30公里，为了省钱，他设计了两种乘车方案：①分两段乘车：乘一车行15公里，换乘另一车再行15公里；②分三段乘车：每乘10公里换一次车．问哪一种方案最省钱．变式2．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？考点二：利润问题例2．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．（1）把利润表示为年产量的函数．（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？变式1．某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；（2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润.变式2．某商店销售洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元．全年分若干次进货，每次进货均为包．已知每次进货运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5元．（1）把该店经销洗衣粉一年的利润（元）表示为每次进货量（包）的函数，并指出函数的定义域；（2）为了使利润最大化，问每次该进货多少包？考点三：面积问题例3．某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？变式1．某小区要建一个面积为500平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外路宽5米，短边外路宽9米，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值．变式2．如图，一边靠学校院墙，其他三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的边，面积为.求与之间的函数关系式，并求当时的值.巩固练习1．为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？2．某市出租车的计价标准是：4km以内（含4km）10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km，不计等待时间的费用．（1）如果某人乘车行驶了10km，他要付多少车费？（2）试建立车费y（元）与行车里程x（km）的函数关系式．3．某商品每件成本为80元，售价为100元，每天售出100件。若售价降低QUOTE成（1成即为10%），售出商品的数量就增加成，要求降价幅度不能导致亏本，记该商品一天营业额为。（1）求：QUOTE的表达式，并指出定义域；（2）若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求QUOTE的取值范围..4．某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的eq\f(3,4)，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)当140<a≤280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)5．“水”这个曾被认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)．6．某地有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台使用，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)．试求f(x)和g(x)；(2)你认为选择哪一家比较合算？为什么？7．新能源汽车是我国汽车工业由大变强的一条必经之路！国家对其给予政策上的扶持，己成为我国的战略方针.近年来,我国新能源汽车制造蓬勃发展,某著名车企自主创新,研发了一款新能源汽车,经过大数据分析获得：在某种路面上,该品牌汽车的刹车距离（米）与其车速（千米/小时）满足下列关系：（，是常数）.（行驶中的新能源汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离）.如图是根据多次对该新能源汽车的实验数据绘制的刹车距离（米）与该车的车速（千米/小时）的关系图.该新能源汽车销售公司为满足市场需求,国庆期间在甲、乙两地同时展销该品牌的新能源汽车，在甲地的销售利润（单位：万元）为，在乙地的销售利润（单位：万元）为,其中为销售量（单位：辆）.(1)若该公司在两地共销售20辆该品牌的新能源汽车,则能获得的最大利润是多少？(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求该品牌新能源汽车行驶的最大速度.8．如图，把长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆的半径为x，求此框架围成的面积y与x的解析式，并写出它的定义域.3.6函数的应用答案典例解析例1．(1)x的取值范围为10≤x≤90；(2)y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90)；(3)当建在距A城eq\f(100,3)km时，才能使供电费用最小．变式1．(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50<x≤3，,1.2x＋1.43<x≤10，,1.8x－4.6x>10.))(2)方案①：44.8(元)；方案②：40.2(元)．方案②比方案①更省钱变式2．(1)(2)50000例2．（1）；（2）475台；（3）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．变式1．（1）3≤x≤10；（2）x＝6时，最大利润610万元.变式2．（1）定义域为（2）500包例3．把矩形的长和宽分别设计为100m和eq\f(200,π)m时，矩形区域面积最大．变式1．当绿地的长为30米、宽为米是时，使绿地和小路所占的总面积最小，最小面积为1280平方米.变式2．,.巩固练习1．（1）时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）当时，该单位每月不亏损.2．（1）17.2元；（2）y=．3．（1）QUOTE；（2）QUOTE.4．(1)y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－eq\f(1,100)x2＋(eq\f(a,100)－eq\f(140,100))x＋a，x的取值范围是0≤x≤eq\f(a,4)且x∈N.(2)当a为偶数时，应裁员eq\f(a,2)－70；当a为奇数时，应裁员eq\f(a－1,2)－70.5．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1.2x，0<x≤5，,3.6x－12，5<x≤6，,6x－26.4，6<x≤7.))6．(1)f(x)＝5x(15≤x≤40)，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(90，15≤x≤30，,2x＋30，30<x≤40.))(2)f(x)－g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－90，15≤x≤30，,3x－30，30<x≤40.))易知，当15≤