华东师大版八年级上册数学第10章《数的开方》全章教学课件（25秋新教材）

教

学

课

件华东师大版八年级上册数学（25秋新教材）10.1

平方根与立方根第10章数的开方1.平方根学习目标1.理解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根.2.会求某些数的平方根、算术平方根.3.会用计算器求一个非负数的算术平方根.思考1：学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？为什么？应取5dm，因为52=25.正方形的面积19162536

边长13456思考2：若正方形的面积如下，请填表：你能指出“面积→边长”这些数据变化的共同点吗？都是已知一个正数的平方，求这个正数.如果一个数的平方等于

a，那么这个数叫做

a

的平方根.5的平方等于25，所以5是25的一个平方根.25的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于25？

概念举例平方根1又因为(-5)2=25，所以

-5也是25的一个平方根.这就是说，5与

-5都是25的平方根.求法根据平方根的意义，可以利用平方运算来求一个数的平方根.例1

求100的平方根.解：因为102=100，(－10)2=100，除了10和

－10以外，任何数的平方都不等于100，典例精析也可以说，100的平方根是

±10.所以100的平方根是10和

－10.1.144的平方根是什么？2.0的平方根是什么？3.-4有没有平方根？为什么？0没有，因为一个数的平方不可能是负数试一试通过这些题目的解答，回答下列问题，看看你能发现什么?问题：（1）正数有几个平方根？

（2）0有几个平方根？

（3）负数呢？有没有一个数的平方是负数？因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根.想一想

1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2.0的平方根还是

0.

3.负数没有平方根.要点归纳平方根的性质：概念

正数

a

有两个平方根，其中正的平方根叫做

a

的算术平方根.特别的，0的算术平方根是0.算术平方根2根号被开方数（a是非负数，a≥0）特殊：0的算术平方根是0.记作

.

a(a≥0)的算术平方根记为，读作“根号

a”，另一个平方根是它的相反数，即

，因此正数

a的平方根可以记作

，其中

a叫做被开方数.记法知识要点

149+1-1+2-2+3-3x

x2149+1-1+2-2+3-3这是什么运算？平方运算x2

x问题1：算一算，下面两种运算有什么关系？开平方运算3求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方有什么关系？平方与开平方互为逆运算思考：

典例精析(2)________________________________________________________________.

仿照小题(1)的解答过程，写出小题(2)的解答.计算器计算算术平方根的方法：在计算器上依次键入：

.问题2：将2025开平方运算的结果是多少？如何计算呢？对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）.被开方数EXE例3

用计算器求下列各数的算术平方根：

（1）529；（2）44.81（精确到

0.01）．说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可.用计算器求算术平方根3

解：(1)本小题的按键顺序是：

529EXE，

(2)本小题的按键顺序是：

44·EXE，81（1）529；（2）44.81（精确到

0.01）．平方根平方根的概念和性质用计算器求一个数的算术平方根算术平方根的概念和性质1.填一填（1）9的算术平方根是

；（2）0.01的算术平方是

；（3）8100的算术平方是

；（4）10的算术平方根是

；

（6）(-4)2的算术平方根是

.30.19042.判断（1）5是25的算术平方根；（2）-6是36的算术平方根；（3）0的算术平方根是0；（4）0.01是0.1的算术平方根；（5）-5是

-25的算术平方根.正数的算术平方根是____数，0的算术平方根是____，算术平方根等于它本身的数是

；0，10正

4.填空：3.你知道下列各式中字母

x的取值范围吗？

10.1平方根与立方根第10章数的开方2.立方根1.了解立方根和开立方的概念.2.会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算.3.会用计算器求一个数的立方根.学习目标要做一个体积为

216cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？解：设正方体的棱长为

x

cm，则这就是要求一个数，使它的立方等于216.因为63=216

所以x

=6，即正方体的棱长为

6cm.思考：如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的棱长又该是多少？立方根的概念

如果一个数的立方等于

a，那么这个数就叫做

a的立方根，也叫做

a的三次方根．记作.立方根的表示

一个数

a的立方根可以表示为：根指数被开方数其中

a是被开方数，3是根指数，3不能省略.读作：三次根号a，认识立方根1如果正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？解：设正方体的边长为

x

，则

x3=5.

所以正方体的边长是cm.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.立方开立方互逆到现在我们学了几种运算？+，-，×，÷，乘方，开方（开平方，开立方）想一想(3)_____________________________________________.典例精析例1

求下列各数的立方根：

(2)因为(－5)3=－125，

可以借助立方运算求立方根，也可以用立方运算检验开立方是否正确.因为(－0.2)3=－0.008，

仿照前两道小题的解答过程，写出小题(3)的解答.

因为=8，所以8的立方根是（）；

因为(

)3=0.125，所以0.125的立方根是(

)；因为(

)3

＝0，所以0的立方根是（）；因为(

)3

＝

－8，所以

－8的立方根是（）；因为

＝

，所以

的立方根是（）.

02-20-2根据立方根的意义填空：立方根的性质2

想一想：通过这些题目的解答，你能看出正数、0、负数的立方根各有什么特点？0.50.5

立方根的性质

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.立方根是它本身的数有

1，-1，0；平方根是它本身的数只有0.知识要点平方根与立方根的异同

被开方数平方根立方根有两个，互为相反数有一个，是正数无平方根零有一个，是负数零正数负数零所以

.

因为

，=

，

引伸探究因为

=

，=

，=-2-2=-3-3猜一猜:你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数

a与

-a的立方根的关系吗？互为相反数的两个数的立方根也互为相反数

所以

.

规律：对于任何数

a都有：2-2-340例2

计算：典例精析

规律：对于任何数

a都有8-827-270例3

计算：典例精析

用计算器求立方根3例4

用计算器求下列各数的立方根：(1)1331；(2)9.263(精确到0.01).说明

用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可.解(1)本小题的按键顺序是：3

EXE，

1331

(2)本小题的按键顺序是：显示结果为2.100151161，要求精确到0.01，可得3

EXE，

9·263

(2)9.263(精确到0.01).注意

＞EXE

立方根立方根的概念、表示及性质用计算器求一个数的立方根(1)25的立方根是5；()()1.判断下列说法是否正确.×(2)任何数的立方根都只有一个；

()(3)如果一个数的立方根是这个数本身，那么

这个数一定是零；

()××(5)0的平方根和立方根都是0.()√(4)一个数的立方根不是正数就是负数；

√2.求下列各式的值解：

（1）

（2）

（3）10.2

实数第10章数的开方1.了解实数的意义，能按要求对实数进行分类.(重点)2.了解实数范围内相关概念的意义.(重点)3.了解实数与数轴上点的一一对应的关系.能用数轴上的点表示无理数.(难点)学习目标（1）用计算器求；（2）利用平方运算验算（1）中所得的结果.=1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274···用计算机计算，你可能会大吃一惊：那么，是怎样的数呢？我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如：请你随意写出三个分数，将它化成小数，验证这个结论.

在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于

2，也就是说，

不是一个有理数.不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数.类似地，、圆周率等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.

定义：无限不循环的小数叫做无理数.无理数的概念1例1

判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？有理数是：无理数是：解：典例精析1.圆周率

及一些含有

的数2.开方开不尽的数，如：3.有一定的规律，但不循环的无限小数，如：无理数的特征：注意：带根号的数不一定是无理数判定一个数是不是无理数：

(1)看它是不是无限不循环小数；(2)所有的有理数都能写成分数形式，无理数则不能.

归纳总结具体从以下几方面来判断：(1)开方开不尽的数是无理数；(2)π是无理数；(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；(4)无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数.有理数和无理数统称为实数.按概念分类：无理数：无限不循环小数有理数：可以写成有限小数或无限循环小数实数分数整数开不尽方的数开方所得结果；有规律但不循环的无限小数；……化简后含有

π

的数；实数的概念及分类2正实数负实数数实负有理数正有理数按符号分类：0负无理数正无理数0正实数1负实数在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．有理数的运算法则及运算律对实数仍然适用.例如：与互为相反数与互为倒数=？11将两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形.你能在数轴上找到表示的点吗？a探究：实数与数轴上点的关系301-1在数轴上找表示

的点

数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的一个点来表示.

即：实数与数轴上的点一一对应.归纳总结

例2把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小.

（用“＜”号连接）

解:如图所示.－21.5在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.例3

试比较与

π

的大小关系.解：用计算器求得而这样，容易判断实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行.

取近似值进行加减运算时，中间结果通常应比要求的精确度多取一位.

还有其他的方法吗？

分析：我们也可以先将原式化简，再计算.

由此算式，可直接将数据输入计算器进行计算.实数有理数和无理数统称实数在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.实数与数轴上点的一一对应一、判断1.实数不是有理数就是无理数.（）2.无理数都是无限不循环小数.（）3.无理数都是无限小数.（）4.带根号的数都是无理数.（）×5.无理数一定都带根号.（）6.两个无理数之积不一定是无理数.（）7.两个无理数之和一定是无理数.（）8.数轴上的任何一点都可以表示实数.（）××2.

的相反数是

，绝对值是

.

3.绝对值等于

的数是

，

的平方是

.二、填空与选择1.正实数的绝对值是

，0

的绝对值是

，

负实数的绝对值是

.它本身0它的相反数

4.比较大小：－7

.

＜

5.一个数的绝对值是

，则这个数是

.6.（金华·中考）在－3，－，－1，0这四个实数中，最大的是（）A.－3B.－C.－1D.0【解析】因为－3，－

，－1为负数，都小于0，所以0最大.答案：DD7.如图，在数轴上点

A和点

B之间的整数是

．【解析】1＜＜2，2＜＜3，在与之间的整数是2.答案：2AB2小结与复习第10章数的开方一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质

概念表示主要性质平方根

算术平方根

立方根

若

，则

x叫做

a的平方根.正数有两个平方根，互为相反数0的平方根是0.负数没有平方根.若

则x的非负数值叫做

a的算术平方根.非负性：当

a≥0时，

≥0.若

，则

x叫做的立方根.

正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是

0.

联系

平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有

才有；(3)0的平方根、算术平方根均为

.

平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为

运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即

＝

；(3)0的平方根和立方根都是

0.非负数0逆二、开平方与开立方求一个非负数

a的

的运算，叫做开平方.其中

a叫做

.求一个数

a的

的运算，叫做开立方．其中

a叫做

.开平方与

、开立方与

都分别互为逆运算.平方根被开方数立方根被开方数平方立方[点拨](1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“±”号；(2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根)．1.

用计算器求一个正数的算术平方根三、用计算器求算术平方根、立方根2.

用计算器求立方根

用计算器求一个数

a的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入.SHIFTa=a=

用计算器求一个正数

a的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入.四、实数1.实数的分类无理数：无限不循环小数有理数：有限小数或无限循环小数实数分数整数开不尽方的数开方所得结果有规律但不循环的无限小数……化简后含有的数按概念分：正实数负实数数实负有理数正有理数按符号分类：0负无理数正无理数0正实数负实数2.实数与数轴(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的

数大.3.在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则同样适用.考点一平方根、算术平方根及立方根

例1已知一个正数的两个平方根分别是

a+3和2a-18，求这个正数.【解析】根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，可以得到关于

a的一元一次方程，解之求得a的值，从而可求出这个正数.解：根据平方根的性质，有

a+3+2a-18=0，解得

a=5，a+3=8，8²=64，所以这个正数是64.

一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．而一个非负数的算术平方根只有一个.另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同.方法总结2.

的平方根是（

）A.4B.2C.±2D.±41.下列说法正确的有（

）

①

-64的立方根是

-4；

②49的算术平方根是±7；③

的立方根是

；

④的平方根是

.A.1个

B.2个C.3个D.4个BC针对训练例2若

a，b为实数且+|b-1|=0，则(ab)2025=

.【解析】先根据非负数的性质求出

a，b的值，再根据乘方的定义求出

(ab)2025

的值.∵+|b-1|=0，∴a+1=0，且

b-1

=0.∴a

=-1

，b

=1.∴(ab)2025=(-1×1)2025=

(-1)2025=-1.

故填-1.-13.若

与

(b-

27)2互为相反数，则

.-5初中阶段主要涉及三种非负数：≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.方法总结针对训练例3在实数，，中，分数有

（

）A.3个

B.2个C.1个D.0个C考点二无理数的识别【解析】是分数；虽然含有分母

2，但它的分子是无理数，所以是无理数；同理

也是无理数.故选

C.4.在实数π，，0，-1中，无理数是（）A.π

B.C.0

D.-1A针对训练例4如图，数轴上的点

A，B分别对应实数

a，b，下列结论正确的是（

）A.a＞b

B.|a|＞|b|C.-a＜bD.a+b＜0ba0BAC【解析】数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故A不正确；根据点

A，B与原点的距离知|a|＜|b|，B不正确；-a＞0，根据|a|＜|b|，知-a＜b，C正确，D不正确.故选C.考点三

实数与数轴上的点的关系5.若|a|=-a，则实数

a在数轴上的对应点一定在（）A.原点左侧

B.原点或原点左侧

C.原点右侧D.原点或原点右侧B针对训练例5

估计

的值在（）A.2到3之间

B.3到4之间C.4到5之间 D.5到6之间B考点四

实数的运算与大小比较【解析】∵4＜6＜9，∴因此

的值在3到4之间.故选B.

像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的，一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用平方法，将无理数平方后，与已知的平方数作比较.方法总结6.满足

的整数

x是

.7.比较大小：

.

＜

-1，0，1

针对训练例6

计算

.【解析】对于被开方数是带分数的，通常需要先将带分数化成假分数，然后再开方.

故填9.计算

.针对训练考点五本章数学思想和解题方法分类讨论思想例7

a的算术平方根是3，b是16的平方根，则a+b=