2025年厦门大学概率论与数理统计期末考试试卷解析

2025年厦门大学概率论与数理统计期末考试试卷解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.设事件A,B互斥，P(A)=0.3，P(B)=0.5，求P(A∪B)和P(A∩B')。2.已知随机变量X的概率密度函数为f(x)={c(x+1),-1<x<0c/x,0<x<20,其他其中c为常数。求(1)c的值；(2)X的分布函数F(x)；(3)P(0<X<1)。3.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，求E(X)和D(X)。二、1.设随机变量X,Y独立同分布，均服从N(0,1)，令Z=X+Y。求(1)Z的概率密度函数；(2)协方差Cov(X,Z)。2.从一批产品中随机抽取16件，测得样本均值x̄=20，样本方差s²=4。假设产品尺寸服从正态分布N(μ,σ²)。求(1)参数μ的90%置信区间；(2)在显著性水平α=0.05下，检验假设H₀:σ²=2.5。三、1.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下：||Y=0|Y=1||-------|--------|--------||X=0|0.1|0.2||X=1|0.3|k|其中k为未知常数。求(1)k的值；(2)X和Y是否相互独立？(3)Z=X²+Y的分布律。2.某射手每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)。连续射击，直到命中目标为止。设X为射击次数。求(1)X的分布律；(2)E(X)和D(X)。四、1.设总体X服从均匀分布U(θ,θ+2)，其中θ未知。从总体中抽取样本X₁,X₂,...,X₅。求(1)θ的矩估计量；(2)θ的极大似然估计量。2.为了检验某药物的疗效，随机抽取10名患者服用该药物，测量治疗前后血液中的某种指标，数据如下：治疗前：18,20,19,22,21,23,24,20,19,21治疗后：20,24,22,25,23,26,27,23,22,24假设治疗前后指标差值服从正态分布N(μ,σ²)。检验该药物是否显著提高了该指标(α=0.05)。试卷答案一、1.P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8.P(A∩B')=P(A)=0.3.2.(1)∫₋₁⁰c(x+1)dx+∫₀²c/xdx=1.c(½+1)+cln2=1.c(3/2+ln2)=1.c=2/(3+2ln2).(2)F(x)=0(x≤-1);F(x)=∫₋₁ˣ2/(3+2t)dt=[ln(3+2t)]₋¹ˣ=ln(3+2x)-ln1=ln(3+2x)(-1<x<0);F(x)=∫₀ˣ2/tdt=[2lnt]₀ˣ=2lnx-2ln0=1(0<x<2);F(x)=1(x≥2).(3)P(0<X<1)=F(1)-F(0)=ln(3+2)-1=ln5-1.3.P(X=1)=λ^1*e⁻ᵖ/1!=λe⁻ᵖ.P(X=2)=λ²*e⁻ᵖ/2!.λe⁻ᵖ=λ²*e⁻ᵖ/2.λ=2.E(X)=λ=2.D(X)=λ=2.二、1.(1)f_Z(z)=∫⁻∞⁺∞f_X(x)f_Y(z-x)dx=∫⁻∞⁺∞(1/√(2π))e⁻ᵏᵧ²*(1/√(2π))e⁻(z-x)²⁄²dz=(1/2π)∫⁻∞⁺∞e⁻(x²⁄₂+z²⁄₂-2xz)dx=(1/2π)e⁻z²⁄₂∫⁻∞⁺∞e⁻(x-z)²⁄₂dx.令u=x-z,∫=√(2π).f_Z(z)=(1/√(2π))e⁻z²⁄₂.Z~N(0,2).(2)Cov(X,Z)=Cov(X,X+Y)=Cov(X,X)+Cov(X,Y)=D(X)+0=1.2.(1)σ²未知，用t分布。置信区间为(x̄-t_(α/2,n-1)s/√n,x̄+t_(α/2,n-1)s/√n).n=16,α=0.1,df=15.t_(0.05,15)≈1.753.s/√n=2/√16=0.5.区间为(20-1.753*0.5,20+1.753*0.5)=(19.125,20.875).(2)χ²检验.H₀:σ²=2.5.检验统计量χ²=(n-1)s²/σ₀²=(16-1)4/2.5=60/2.5=24.α=0.05.df=15.χ²_(0.025,15)≈27.488,χ²_(0.975,15)≈6.262.拒绝域R={χ²>27.488或χ²<6.262}.24∈[6.262,27.488].不拒绝H₀.三、1.(1)1=0.1+0.2+0.3+k+0.2k=0.6+1.2k.k=0.4.(2)P(X=0,Y=0)=0.1≠P(X=0)P(Y=0)=(0.1+0.2)(0.1+0.3)=0.12.不独立.(3)Z取值0,1,2,3.P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0.1.P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=0.2+0.3=0.5.P(Z=2)=P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=2)=0.4+0=0.4.P(Z=3)=P(X=1,Y=2)=0.P(Z)={0:0.1,1:0.5,2:0.4,3:0}.2.(1)X服从几何分布G(p).P(X=k)=(1-p)^(k-1)p,k=1,2,3,....(2)E(X)=1/p.D(X)=(1-p)/p².四、1.(1)E(X)=(θ+θ+2)/2=θ+1.θ̂_M=x̄̂+1=(X₁+...+X₅)/5+1.(2)L(θ)=[1/(θ+2)ˣ]*[1/θ⁵]*e^(-θΣ(Xᵢ-θ-1)).对θ求导得dL/dθ=-x̄/(θ+2)²*5/θ⁶*e^(-θΣ(Xᵢ-θ-1))+(1/θ)*[1/(θ+2)ˣ]*[1/θ⁵]*(-ΣXᵢ+5θ+5)*e^(-θΣ(Xᵢ-θ-1)).令dL/dθ=0.-x̄/(θ+2)²*5/θ⁶+(1/θ)*[1/(θ+2)ˣ]*[1/θ⁵]*(5-ΣXᵢ)/θ*e^(-θΣ(Xᵢ-θ-1))=0.-x̄θ⁵/(θ+2)²*5+(1/θ)*[1/(θ+2)ˣ]*(5-ΣXᵢ)/θ*e^(-θΣ(Xᵢ-θ-1))=0.-5x̄θ⁴/(θ+2)²+(5-ΣXᵢ)/[θ²(θ+2)ˣ]*e^(-θΣ(Xᵢ-θ-1))=0.令M=θ²(θ+2)ˣ*e^(-θΣ(Xᵢ-θ-1)).-5x̄θ⁴*M+(5-ΣXᵢ)=0.5-ΣXᵢ=5x̄θ⁴*M/M=5x̄θ⁴.θ̂_M=(5-ΣXᵢ)/(5x̄)=(5-∑ᵢᵉ¹⁵Xᵢ)/(5*(X₁+...+X₅)/5)=1-(∑ᵢᵉ¹⁵Xᵢ)/(X₁+...+X₅).2.记Dᵢ=Xᵢ-Yᵢ.D~N(μ,σ²).H₀:μ=0.检验统计量t=x̄_D/(s_D/√n).n=10.x̄_D=(20-20+...+19-22)/10=5/10=0.5.s_D²=[(18-0.5)²+...+(21-0.5)²]/9=[19.25+...+22.25]/9=