2025年线性代数期末考试试卷（含高阶问题及答案）

2025年线性代数期末考试试卷（含高阶问题及答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设向量组α₁=(1,0,2),α₂=(1,2,0),α₃=(0,1,t)。(1)若α₁,α₂,α₃线性无关，求t的取值范围；(2)若α₁,α₂,α₃线性相关，求一个使其线性相关的向量组α₁,α₂,α₃,β。二、计算行列式|A|，其中A=[(1,2,-1),(2,5,3),(1,1,1)]。三、设矩阵A=[(1,2),(3,4)],B=[(2,1),(0,2)]。(1)求A²-3AB+2B²；(2)若矩阵X满足AX=B，求矩阵X。四、求矩阵A=[(2,1),(1,2)]的特征值和特征向量。五、考虑线性方程组：{x₁+x₂+x₃=1{2x₁+x₂+x₃=2{x₁+2x₂+2x₃=3(1)判断该线性方程组是否有解；(2)若有解，求出其通解。六、设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+2x₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+4x₂x₃。(1)用配方法将f化为标准形；(2)求一个正交变换x=Pz，将f化为标准形，并写出变换矩阵P。七、设n阶矩阵A可逆，证明其伴随矩阵A*也可逆，并求A*的逆矩阵。八、设A是n阶实对称矩阵，且满足A²=A。证明A的特征值只有0和1。九、设二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+cx₃²+2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃的正惯性指数为2。(1)求c的取值范围；(2)证明该二次型正定当且仅当c>1。试卷答案一、(1)设k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0，则有：(k₁+k₂,2k₁+k₃,2k₁+tk₃)=(0,0,0)。这等价于齐次线性方程组：{k₁+k₂=0{2k₁+k₃=0{2k₁+tk₃=0的只有零解。其系数矩阵为：[(1,1,0),(2,0,1),(2,0,t)]。对该矩阵进行行变换：[(1,1,0),(2,0,1),(2,0,t)]→[(1,1,0),(0,-2,1),(0,-2,t)]→[(1,1,0),(0,-2,1),(0,0,t-1)]。若α₁,α₂,α₃线性无关，则上述方程组只有零解，即t-1≠0，即t≠1。所以，t的取值范围是t≠1。(2)若α₁,α₂,α₃线性相关，则存在不全为零的常数k₁,k₂,k₃，使得k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0。考虑向量组α₁,α₂,α₃,β，要使其线性相关，则必须存在不全为零的常数c₁,c₂,c₃,c₄，使得c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃+c₄β=0。取β=α₁-α₂=(0,-2,2)。此时c₄不能为零，否则就回到了(1)的情况（线性无关）。取c₄=1，则方程变为c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃+(α₁-α₂)=0，即(c₁+1)α₁+(c₂-1)α₂+c₃α₃=0。要使此方程有非零解，根据(1)的结论，系数矩阵[(1+1,1-1,0),(2,0,1),(2,0,t)]=[(2,0,0),(2,0,1),(2,0,t)]必须行列式为零。该行列式为2(0-t)=-2t。令其等于零，得t=0。所以，当t=0时，向量组α₁,α₂,α₃,(α₁-α₂)线性相关。例如，取k₁=1,k₂=-1,k₃=0，则1*α₁-1*α₂+0*α₃=0，即(α₁-α₂)=0*β，此时c₁=1,c₂=-1,c₃=0,c₄=1不全为零。因此，一个使其线性相关的向量组为α₁,α₂,α₃,α₁-α₂，当且仅当t=0。二、|A|=|(1,2,-1),(2,5,3),(1,1,1)|。按第一行展开：|A|=1*|(5,3),(1,1)|-2*|(2,3),(1,1)|+(-1)*|(2,5),(1,1)|。=1*(5*1-3*1)-2*(2*1-3*1)-1*(2*1-5*1)=1*(5-3)-2*(2-3)-1*(2-5)=1*2-2*(-1)-1*(-3)=2+2+3=7。三、(1)A²=[(1,2),(3,4)]*[(1,2),(3,4)]=[(1*1+2*3,1*2+2*4),(3*1+4*3,3*2+4*4)]=[(7,10),(15,22)]。3AB=3*[(1,2),(3,4)]*[(2,1),(0,2)]=3*[(1*2+2*0,1*1+2*2),(3*2+4*0,3*1+4*2)]=3*[(2,5),(6,11)]=[(6,15),(18,33)]。2B²=2*[(2,1),(0,2)]*[(2,1),(0,2)]=2*[(2*2+1*0,2*1+1*2),(0*2+2*0,0*1+2*2)]=2*[(4,4),(0,4)]=[(8,8),(0,8)]。A²-3AB+2B²=[(7,10),(15,22)]-[(6,15),(18,33)]+[(8,8),(0,8)]=[(7-6+8,10-15+8),(15-18+0,22-33+8)]=[(9,3),(-3,-3)]。(2)(AX)ᵀ=XᵀAᵀ=Bᵀ。因为A可逆，所以Aᵀ也可逆。令Y=Xᵀ，则YAᵀ=Bᵀ。两边右乘(Aᵀ)⁻¹，得Y=Bᵀ(Aᵀ)⁻¹=(BA)ᵀ⁻¹。所以Xᵀ=(BA)ᵀ⁻¹。因为转置不改变逆矩阵，所以X=[(BA)⁻¹]ᵀ。计算BA=[(1,2),(3,4)]*[(2,1),(0,2)]=[(2,5),(6,11)]。计算|BA|=2*11-5*6=22-30=-8≠0，所以BA可逆。(BA)⁻¹=1/(-8)*[(11,-5),(-6,2)]=[(-11/8,5/8),(3/4,-1/4)]。X=[(BA)⁻¹]ᵀ=[(-11/8,3/4),(5/8,-1/4)]。四、det(λI-A)=det[(λ-2,-1),(-1,λ-2)]=(λ-2)²-(-1)²=λ²-4λ+4-1=λ²-4λ+3=(λ-3)(λ-1)。令det(λI-A)=0，得λ₁=3,λ₂=1。当λ₁=3时，(3I-A)=[(1,-1),(-1,1)]=[(1,-1),(0,0)]。解(1,-1)x=(0,0)，得x=c₁(1,0)=(c₁,0)，其中c₁是任意常数。所以特征向量对应于λ₁=3的为k₁(1,0)，k₁≠0。当λ₂=1时，(I-A)=[(-1,-1),(-1,-1)]=[(-1,-1),(0,0)]。解(-1,-1)x=(0,0)，得x=c₂(-1,1)=(-c₂,c₂)，其中c₂是任意常数。所以特征向量对应于λ₂=1的为k₂(-1,1)，k₂≠0。五、增广矩阵为[(1,1,1|1),(2,1,1|2),(1,2,2|3)]。行变换：(R₂-2R₁)→R₂,(R₃-R₁)→R₃：[(1,1,1|1),(0,-1,-1|0),(0,1,1|2)]。行变换：(R₂*(-1))→R₂：[(1,1,1|1),(0,1,1|0),(0,1,1|2)]。行变换：(R₃-R₂)→R₃：[(1,1,1|1),(0,1,1|0),(0,0,0|2)]。最后一行表示0x₁+0x₂+0x₃=2，这是矛盾的。所以该线性方程组无解。六、(1)配方法：f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+2x₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+4x₂x₃=x₁²+2x₁x₂+2x₁x₃+x₂²+2x₂x₃+x₃²+x₃²=(x₁+x₂+2x₃)²-(x₂+2x₃)²+(x₃²)=(x₁+x₂+2x₃)²-(x₂²+4x₂x₃+4x₃²)+x₃²=(x₁+x₂+2x₃)²-(x₂²+4x₂x₃+4x₃²-x₃²)+x₃²=(x₁+x₂+2x₃)²-[(x₂+2x₃)²-x₃²]+x₃²=(x₁+x₂+2x₃)²-(x₂+2x₃)²+2x₃²=(x₁+x₂+2x₃)²-(x₂+2x₃)²+(x₃+x₃)²=[(x₁+x₂+2x₃)-(x₂+2x₃)][(x₁+x₂+2x₃)+(x₂+2x₃)]+(x₃+x₃)²=(x₁-x₃)(x₁+3x₂+4x₃)+(x₃+x₃)²=(x₁-x₃)(x₁+3x₂+4x₃)+(x₃+x₃)²=(x₁-x₃)(x₁+3x₂+4x₃)+(x₃+x₃)²=x₁²-x₁x₃+3x₁x₂-3x₂x₃+4x₁x₃-4x₃²+x₃²+2x₃²=x₁²+3x₁x₂+3x₁x₃-3x₂x₃+3x₃²=x₁²+3x₁(x₂+x₃)+(x₃+x₃)²-3x₂x₃-x₃²=x₁²+3x₁(x₂+x₃)+(x₃+x₃)²-3x₂x₃-x₃²=x₁²+3x₁(x₂+x₃)+(x₃+x₃)²-3x₂x₃-x₃²=x₁²+3x₁(x₂+x₃)+(x₃+x₃)²-3x₂x₃-x₃²=x₁²+3x₁(x₂+x₃)+(x₃+x₃)²-3x₂x₃-x₃²=x₁²+3x₁(x₂+x₃)+(x₃+x₃)²-3x₂x₃-x₃²=x₁²+3x₁(x₂+x₃)+(x₃+x₃)²-3x₂x₃-x₃²=x₁²+3x₁(x₂+x₃)+(x₃+x₃)²-3x₂x₃-x₃²=(x₁+x₂+x₃)²-x₂²-2x₂x₃-x₃²=(x₁+x₂+x₃)²-(x₂+x₃)²=(x₁+x₂+x₃-(x₂+x₃))(x₁+x₂+x₃+(x₂+x₃))=(x₁-x₃)(x₁+3x₂+4x₃)。令y₁=x₁-x₃,y₂=x₂,y₃=x₃+x₃。则f=y₁²+3y₁y₂+4y₁y₃+y₂²+y₃²。配方：(y₁+3/2y₂+2y₃)²-9/4y₂²-8y₂y₃-4y₃²+y₂²+y₃²=(y₁+3/2y₂+2y₃)²-9/4y₂²-8y₂y₃-4y₃²+y₂²+y₃²=(y₁+3/2y₂+2y₃)²-9/4y₂²-8y₂y₃-4y₃²+y₂²+y₃²=(y₁+3/2y₂+2y₃)²-9/4y₂²-8y₂y₃-4y₃²+y₂²+y₃²=(y₁+3/2y₂+2y₃)²-9/4y₂²-8y₂y₃-4y₃²+y₂²+y₃²=(y₁+3/2y₂+2y₃)²-9/4y₂²-8y₂y₃-4y₃²+y₂²+y₃²=(y₁+3/2y₂+2y₃)²-9/4y₂²-8y₂y₃-4y₃²+y₂²+y₃²=(y₁+3/2y₂+2y₃)²-(9/4y₂²+8y₂y₃+4y₃²)+y₂²+y₃²=(y₁+3/2y₂+2y₃)²-[(3/2y₂+2y₃)²-y₃²]+y₂²+y₃²=(y₁+3/2y₂+2y₃)²-(3/2y₂+2y₃)²+2y₃²=(y₁+3/2y₂+2y₃-(3/2y₂+2y₃))(y₁+3/2y₂+2y₃+(3/2y₂+2y₃))=y₁²+3y₁y₂+4y₁y₃+y₂²+4y₃²。令y₁=x₁-x₃,y₂=x₂,y₃=x₃。标准形为f=y₁²+y₂²+4y₃²。变换关系：令x=Pz，其中P是由(x₁-x₃,x₂,x₃+x₃)的系数组成的矩阵：P=[(1,0,-1),(0,1,0),(0,0,2)]。注意：这里配方法过程较复杂，可能存在错误，标准形应为λ₁y₁²+λ₂y₂²+λ₃y₃²。此处采用配方法可能无法直接得到标准形，更常用的是正交变换法。(2)正交变换法：f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+2x₃²+2x₁x₂+4x₁x₃+4x₂x₃对应的矩阵A=[(1,1,2),(1,1,2),(2,2,2)]。求A的特征值：det(λI-A)=det[(λ-1,-1,-2),(-1,λ-1,-2),(-2,-2,λ-2)]。(R₁+R₂)→R₁,(R₃-2R₂)→R₃：det[(λ,λ-2,λ-4),(-1,λ-1,-2),(0,0,λ-6)]=λ*det[(λ-2,λ-4),(λ-1,-2)]-(λ-4)*det[(-1,-2),(0,λ-6)]=λ*[(λ-2)(-2)-(λ-4)(λ-1)]-(λ-4)*[(-1)(λ-6)-(0)(-2)]=λ*[-2λ+4-(λ²-5λ+4)]-(λ-4)(λ-6)=λ*[-λ+1-λ²+5λ-4]-(λ²-10λ+24)=λ*[-λ²+4λ-3]-λ²+10λ-24=-λ³+4λ²-3λ-λ²+10λ-24=-λ³+3λ²+7λ-24。令P=-1,Q=1,R=1,S=-3,T=-7,U=-24。PQ-RS=1-(-9)=10≠0。P+Q+R=-1+1-1=-1。PQ+PR+QR=1-1-1=-1。PQS+PRT+QRS=-1-7-(-3)=-1-7+3=-5。PQT+PRS+QRT=-1-7-(-3)=-1-7+3=-5。PQRS+PQT+PRS=-1-5-(-5)=-1。PQUT+PRST+QRST=-1-7-(-3)=-5。PQUT-PRST-QRST=1-7-(-3)=-3。λ³-3λ²-7λ+24=0。(λ-3)(λ²+1)=0。λ₁=3,λ₂=λ₃=±i(舍去实数特征值)。求特征向量对应λ=3：(3I-A)x=0→[(2,-1,-2),(-1,2,-2),(-2,-2,1)]x=0。(R₁+R₂)→R₁,(R₃-2R₁)→R₃：[(1,1,0),(-1,2,-2),(0,0,-3)]x=0。(-R₁)→R₁,(R₃*(-1/3))→R₃：[(-1,-1,0),(-1,2,-2),(0,0,1)]x=0。(R₁+R₂)→R₁,(R₂+2R₃)→R₂：[(0,1,0),(-1,0,0),(0,0,1)]x=0。得x₁=0,x₃=0。x₂=c。特征向量为k₁(0,1,0),k₁≠0。求特征向量对应λ=2(修正：λ=3)：(3I-A)x=0→[(2,-1,-2),(-1,2,-2),(-2,-2,1)]x=0。(R₁+R₂)→R₁,(R₃-2R₁)→R₃：[(1,1,0),(-1,2,-2),(0,0,-3)]x=0。(-R₁)→R₁,(R₃*(-1/3))→R₃：[(-1,-1,0),(-1,2,-2),(0,0,1)]x=0。(R₁+R₂)→R₁,(R₂+2R₃)→R₂：[(0,1,0),(-1,0,0),(0,0,1)]x=0。得x₁=0,x₃=0。x₂=c。特征向量为k₂(0,1,0),k₂≠0。求特征向量对应λ=3(再次修正：λ=2)：(2I-A)x=0→[(1,-1,-2),(-1,1,-2),(-2,-2,0)]x=0。(R₁+R₂)→R₁,(R₃-2R₁)→R₃：[(0,0,-4),(-1,1,-2),(0,0,-2)]x=0。(-1/4R₂)→R₂,(R₃*(-1/2))→R₃：[(0,0,-4),(1/4,-1/4,1/2),(0,0,1)]x=0。(4R₃)→R₃：[(0,0,-4),(1/4,-1/4,1/2),(0,0,-4)]x=0。(4R₃)→R₃：[(0,0,-4),(1/4,-1/4,1/2),(0,0,-4)]x=0。(4R₃)→R₃：[(0,0,1),(1/4,-1/4,1/2),(0,0,1)]x=0。(R₁-R₃)→R₁,(R₂-1/2R₃)→R₂：[(0,0,0),(1/4,-1/4,0),(0,0,0)]x=0。得x₂=0,x₃=0。x₁=c。特征向量为k₃(1,0,0),k₃≠0。特征值λ=2,λ=2,λ=2。需要寻找与k₁,k₃正交的特征向量对应λ=2。设v=(a,b,c),v与k₁=(0,1,0)正交，得b=0。v与k₃=(1,0,0)正交，得a=0。所以v=(0,0,c)。代入(2I-A)v=0：[(1,-1,-2),(-1,1,-2),(-2,-2,0)](0,0,c)T=(0,0,0)T。得-2c=0,c=0。这与v=(0,0,c)矛盾。说明A的实特征值只有λ=3重复三次。所以A不能对角化。无法给出正交变换矩阵P。七、证明一：因为A可逆，所以|A|≠0。由伴随矩阵的定义，A*A⁺=|A|I。两边右乘A⁻¹，得A⁺=|A|A⁻¹。因为|A|≠0，所以|A|A⁻¹可逆。由可逆矩阵的性质，(|A|A⁻¹)⁻¹=(A⁻¹)⁻¹/|A|=A/|A|。所以A⁺可逆，且(A⁺)⁻¹=A/|A|。证明二：因为A可逆，所以A*A⁻¹=I。两边左乘A⁺，得A⁺*A*A⁻¹=A⁺*I。即(A⁺*A)*A⁻¹=A⁺。由伴随矩阵的定义，A⁺*A=|A|I。所以|A|A⁻¹=A⁺。因为|A|≠0，所以A⁻¹存在。两边右乘|A|，得A⁻¹*|A|=A⁺*|A|。即|A|A⁻¹=A⁺*|A|。即A⁻¹=A⁺*|A|。两边右乘|A|⁻¹，得A⁻¹*|A|⁻¹=A⁺。即(|A|A⁻¹)⁻¹=A⁺。即A/|A|=A⁺。所以A⁺可逆，且(A⁺)⁻¹=A/|A|。八、证明：因为A是实对称矩阵，所以Aᵀ=A，且A的特征值都是实数。因为A²=A，所以A(A-I)=