2026-2027学年上海市曹杨第二中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年上海市曹杨第二中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。1.已知异面直线a、b所成角为θ，、分别为直线a、b的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（）A. B.

C. D.2.在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵.如图，在堑堵中，，，堑堵的顶点到直线的距离为m，到平面的距离为n，则的取值范围是（

）

A. B.

C. D.​​​​​​​3.已知实数a，b，c，d满足，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（）A. B. C. D.4.已知平行四边形的两个顶点为M（-1，1），P（t,-t），另两个顶点在圆x2+y2=8上.对于给定的t,若这样的平行四边形有且只有一个，则t的取值范围是（）A.[-3，-1） B.[1，3] C.[2，4] D.[3，5）二、填空题：本题共12小题，共54分。5.过点（1，1）且与直线x-y+1=0垂直的直线的一般式方程为

.6.若圆锥的底面半径为1，高为，则其侧面积为

.7.在平面直角坐标系中，点（2，1）到直线4x+3y-7=0的距离为

.8.若一个球的体积是π，则这个球的表面积是

.9.设t∈R，已知向量，，.若、、共面，则t=

.10.已知圆C1：x2+（y-2）2=4与半径为1的圆C2内切于点，则圆C2的圆心坐标为

.11.设θ∈R，则直线xcosθ+y-1=0的倾斜角的取值范围是

.12.已知圆柱的底面半径为1，高为4，AB是该圆柱的一条母线.若一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面绕两周到达B点，则蚂蚁爬行的最短路程为

.13.若圆x2+（y+2）2=r2（r＞0）上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是

.14.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2=4，底面A1B1C1上有一动点P.若CP=4，则点P的轨迹长度为

.15.如图，在四面体ABCD中，AB=AD=2，BC=CD=BD=2.当二面角A-BD-C的大小在内变化时，异面直线AB与CD所成的角的余弦值的最大值为

.

16.在平面直角坐标系中，对任意实数m,始终不在直线上的所有点构成的图形的面积为

.三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

设a∈R，已知直线l：x-ay+a-1=0.

（1）若直线l1：（a-3）x-4y+8=0与l平行，求a的值；

（2）若a=2，直线l2经过点（1，1），且l2与l的夹角大小为，求l2的方程.18.(本小题14分)

已知圆C经过点A（-1，2）、B（3，0），且圆心C在直线l：x+2y+2=0上.

（1）求圆C的方程；

（2）过点（5，4）作圆C的切线，求切线的方程.19.(本小题14分)

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB=.

（1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC；

（2）在（1）的条件下，若AD=2，在棱PD上（含端点）是否存在一点E，使得直线CE与平面PBC所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20.(本小题18分)

三棱锥P-ABC中，PA=PC，AB=BC=AC=2，M为AC的中点.

（1）证明：AC⊥平面PBM；

（2）若PM⊥平面ABC，且三棱锥P-ABC的体积为，求点A到平面PBC的距离；

（3）若PM=，点P在平面ABC上的投影H在线段BM上（含端点），求二面角P-BC-A的余弦值的取值范围.21.(本小题18分)

在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0）、B（4，0），动点P满足|PB|=2|PA|，记动点P的轨迹为Γ.已知动点Q在直线x=-4上，过点Q作曲线Γ的两条切线l1、l2，切点分别为C、D.

（1）求曲线Γ的方程；

（2）直线CD是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由；

（3）设直线BQ、BC、BD的斜率分别为k0、k1、k2.证明：存在常数λ，使得恒成立.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】x+y-2=0

6.【答案】

7.【答案】

8.【答案】4π

9.【答案】-5

10.【答案】（，）

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】（1，3）

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】π

17.【答案】解：（1）因为直线l：x-ay+a-1=0与直线l1：（a-3）x-4y+8=0平行，

所以（a-3）×（-a）=1×（-4），所以-a2+3a=-4，即a2-3a-4=0，所以（a-4）（a+1）=0，解得a=4或a=-1，

当a=-1时，直线l：x+y-2=0，直线l1：-4x-4y+8=0，化简得x+y-2=0，两直线重合，舍去；

当a=4时，直线l：x-4y+3=0，直线l1：x-4y+8=0，两直线平行，符合要求，所以a=4；

（2）当a=2时，直线l的方程为x-2y+1=0，

因为直线l2经过点（1，1），

所以当斜率存在时，设直线l2的方程为y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，

由夹角公式得：，所以，

所以（k+2）2=k2+1，即k2+4k+4=k2+1，所以4k=-3，解得，

代入点斜式得，整理得3x+4y-7=0；

当斜率不存在时，直线l2的方程为x=1，直线l的倾斜角为θ，则tan，则sin，

此时l2与l的夹角的余弦值为cos（）=，所以l2与l的夹角为，符合题意，

所以直线l2的方程为3x+4y-7=0或x=1．

18.【答案】解：（1）设圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2，

结合题意得，解得，

所以圆C的方程为x2+（y+1）2=10；

（2）由（1）知圆C的圆心为（0，-1），半径r=，

①过点（5，4）的直线斜率不存在，方程为x=5，

圆心到直线的距离d=5≠r,直线与圆不相切；

②过点（5，4）的直线斜率存在，设其方程为y-4=k（x-5），即kx-y-5k+4=0，

若该直线与圆C相切，则圆心C到直线的距离d=r,

即，化简得3k2-10k+3=0，解得k=或3，

所以切线的方程为y-4=（x-5）或y-4=3（x-5），即x-3y+7=0或3x-y-11=0．

19.【答案】解：（1）证明：在△ABC中，由AC=2，BC=1，，得AB2+BC2=AC2，即AB⊥BC，

因为PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，所以PA⊥BC，

又PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB；

因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，所以PA⊥AD，

又AD⊥PB，且PA∩PB=P，PA，PB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB；

所以BC∥AD，又因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以AD∥平面PBC；

（2）由（1）知BC∥AD，且AB⊥BC，所以AB⊥AD，又PA⊥底面ABCD，

因此PA⊥AD，PA⊥AB，故以A为坐标原点，分别以，，的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

由PA=AD=2，BC=1，，

可得各点坐标：A（0，0，0），，，D（2，0，0），P（0，0，2），

则=（1，0，0），，

设平面PBC的一个法向量为，

则，取y=2，则，即，

假设在棱PD上存在一点E满足条件，设，即，其中λ∈[0，1]，

因为=（2，0，-2），

所以=（2λ，0，-2λ），E（2λ，0，2-2λ），，

设直线CE与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，

整理得2λ2+3λ-2=0，解得或-2，又因λ∈[0，1]，所以，

故存在满足条件的点E，．

20.【答案】（1）证明：因为PA=PC，M为AC的中点，所以AC⊥PM，

又AB=BC，M为AC的中点，所以AC⊥BM，

又PM∩BM=M，PM，BM⊂平面PBM，

所以AC⊥平面PBM；

（2）解：因为AB=BC=AC=2，M为AC的中点，

所以，，

若PM⊥平面ABC，且三棱锥P-ABC的体积为，

所以，，，

在△PBC中，，

所以，

所以，

设点A到平面PBC的距离为d,则，

解得，即点A到平面PBC的距离为．

（3）解：以点M为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，

过点M作平面ABC的垂线得z轴，建立空间直角坐标系：

则M（0，0，0），，C（1，0，0），A（-1，0，0），

因为点P在平面ABC上的投影H在线段BM上（含端点），

所以设P（0，a,b），，

因为，所以，所以a2+b2=6，

，，

设平面PBC的法向量为，则，

令，则y=b,，

所以，

又平面ABC的法向量为，

设二面角P-BC-A的平面角为θ，

则，

令，则，

则，

当t=0时，cosθ=0，

当t≠0时，，

因为在上单调递减，在上单调递减，

所以在上单调递增，

所以，

所以二面角P-BC-A的余弦值的取值范围为．

21.【答案】解：（1）设P（x,y），因为A（1，0）、B（4，0），|PB|=2|PA|，

所以，

整理得x2+y2=4．

所以曲线Γ是以原点O（0，0）为圆心，半径r=2的圆，方程为x2+y2=4．

（2）设Q（-4，t），t∈R，

因为|OQ|2=（-4）2+t2=16+t2＞4=r2，所以点Q恒在圆Γ外．

设切点C（x1，y1），则切线l1方程为x1x+y1y=4，将点Q（-4，t）代入，得-4x1+ty1=4；

同理，对切点D（x2，y2），有-4x2+ty2=4．

所以直线CD的方程为-4x+ty=4，即4（x+1）-ty=0，

则，解得，

所以直线CD恒