北京市第四十三中学2026-2027学年第一学期期中考试高二年级数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第四十三中学2026-2027学年第一学期期中考试高二年级数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.空间任意四个点A、B、C、D，则BC−DC+A.BD B.DB C.AD D.DA2.已知向量a=(8,−2,1)，b=(−4,1,k)，且a//b，那么实数kA.12 B.−12 C.−23.已知圆的方程是x2+y2A.(−1,0)与9 B.(1,0)与9 C.(−1,0)与3 D.(1,0)与34.已知圆C1:x2+y2=1与圆CA.相离 B.相交 C.内切 D.外切5.已知圆C：x2+y2−2y−4=0，直线l：3x+y−6=0，则直线l被圆A.10 B.102 C.56.椭圆x22+y2k=1A.1 B.3 C.3 D.7.一个椭圆的两个焦点分别是F1−3,0，F23,0，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8A.x264+y228=1 B.8.“a=−1”是“直线l1:ax+4y−3=0与直线l2:x+A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知M是圆(x−1)2+y2=1上的动点，则MA.2 B.2+1 C.3 10.曲线C:x3+y3=1.给出下列结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C只经过2个整点(A.①② B.② C.②③ D.③二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知a=1,0,−1,b=2,1,1，则12.已知直线过点1,1，倾斜角为120°，则该直线的一般式方程为

．13.已知直线l:x+2y−3=0与圆C:x2+y2−4x=0交于A,B两点，则线段14.已知椭圆x216+y212=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M给出下列四个结论：①MN的最小值为2；②四面体NMBC的体积为43③有且仅有一条直线MN与AD④存在点M，N，使△MBN为等边三角形．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)已知两点A−1,2，B1,1，直线(1)若直线l1经过点A，且与直线l平行，求直线l(2)设点C是直线l上任意一点，求线段BC的最小值；(3)一束光线从点A射向直线l，反射后经过点B，求光线从A点到B点走过的路程．17.(本小题12分)已知圆M的方程为x−22+y−3(1)若直线l经过点A且与圆M相切，求直线l的方程；(2)若点Px,y在圆M上，求x218.(本小题12分)如图，四边形ABCD为梯形，AB//CD，四边形ADEF(1)求证：CE//平面ABF；(2)若AB⊥平面ADEF，AF⊥AD，AF=AD=CD=1，AB=2，求二面角C−BF−A的余弦值：(3)在(2)的前提下，求点D到平面BCF的距离．19.(本小题12分)如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，AA1(1)求直线CE与B1(2)已知点M在线段CC1上，直线EM与平面BCC1B120.(本小题14分)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求椭圆M的方程；(2)若AB=2，求实数m(3)设O为坐标原点，先用m表示▵OAB的面积S，然后求S的最大值．21.(本小题15分)已知An:a1,a2,⋯,ann≥4为有穷数列．若对任意的i∈(1)判断数列A4:1,0.1,−1.2,−0.5,A5:1,2,2.5,1.5,2是否具有性质(2)若A4具有性质P，证明：(3)给定正整数n，对所有具有性质P的数列An，求Tn中元素个数的最小值．1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】1012.【答案】313.【答案】2x−y−4=0

14.【答案】6

15.【答案】①②④

16.【答案】解：(1)直线l:y=−2x+5的斜率kl因为直线l1与直线l平行，所以k又直线l1经过点A−1,2，所以l1的方程为y−2=−2(2)易知线段BC的最小值即为点B到直线l的距离．直线l的方程可化为2x+y−5=0，点B1,1到直线l的距离为d=因此线段BC的最小值为2(3)设点A关于直线l的对称点为A′，连接A′B，交直线l于点P，连接AP，则AP=A′P，因此光线的总路程AP+PB=A′P+PB，即A′B．设A′(x0,y0)，则kAA′又线段AA′的中点在直线l上，AA′的中点坐标为x0所以y0+22联立x0−2y0=−5点A′到B1,1的距离：A′B因此光线从A点到B点走过的路程为13

17.【答案】解：(1)由圆M的方程x−22+y−32=1①当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=3．圆心M到直线x=3的距离：d=3−2=1=r，故x=3是圆②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−1=kx−3，即kx−y+1−3k=0因为直线l与圆M相切，则d=2k−3+1−3k对等式两边平方得k+22=k2+1将k=−34代入所设直线方程，整理得综上，直线l的方程为x=3或3x+4y−13=0．(2)x2+y2表示圆M上的点P原点O到圆心M2,3的距离：OM由于OM=13>r=1，所以原点因此圆M上的点到原点O的最小距离为：OPmin因此x2+y

18.【答案】解：(1)证明：过C作CG//AD交AB于G点，因为AB//CD，所以四边形ADCG为平行四边形，则CG=AD,CG//AD，又四边形ADEF为平行四边形，所以AD=EF,AD//EF，所以EF=GC,EF//GC，则四边形CEFG为平行四边形，即CE//FG，FG⊂平面ABF，CE⊄平面ABF，所以CE//平面ABF；(2)因为AB⊥平面ADEF，AD,AF⊂平面ADEF，所以AB⊥AD,AB⊥AF，又AF⊥AD，所以AD,AB,AF三条线两两垂直，即可以以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B2,0,0,F0,0,1设平面BCF的一个法向量为n=x,y,z令x=1⇒y=1,z=2，即n=易知平面ABF的一个法向量为AD=二面角A−BF−C的平面角为锐角，设二面角A−BF−C的一个平面角为α，则cosα=(3)DC=1,0,0，则点D到平面BCF

19.【答案】解：(1)若选择①，因AA1⊥

平面ABCD，AD⊂平面ABCD又AD⊥BE，AA1,EB⊂平面ABB1A1又AB⊂

平面ABB1A若选择②，作CF//AD，交AB

于F，又AB//CD，则四边形DCFA

是平行四边形，则CD=CF=AD=AF=1，又AB=2，则FB=1，则在▵CFB

中，CF2+FB2=BC即DA,AA1,AB两两垂直，则可以A为原点，AD,AB,A则C1,1,0，E0,0,1，D1得CE=−1,−1,1，则直线CE

与B1D1

(2)因点M

在线段CC1

上，则设M1,1,t又

B0,2,0，C1,1,0，E0,0,1则EM=1,1,t−1，CB=设平面BCC1B1则m⋅CB=−则直线EM

与平面BCC1EM⋅mEM⋅m所以线段CM

的长为12

或3

20.【答案】解：(1)焦距：2c=2离心率：e=c则a=3，b2∴椭圆方程为：x2(2)联立：y=x+mx23则：4xΔ=(6m)设A(x1,则x1+xAB=解得：m=±2(3)原点O到直线l的距离d=mS=1令t=m2，由mS=令f(t)=−3t2+12t∴t=2时，f(t)∴S即S=m12−3

21.【答案】(1)解：由题知A4即a因为a3所以A4不具有性质P由于A5即a因为aa故A5具有性质P因为aa故T(2)“T4≠⌀”等价于“证明1,3,假设1,3,2,4两个元素均不在则有a不妨设a1若a2则由a3可得−1