材料力学教程 课件 第02章 杆件内力分析

弹性体内力的特征:

(1)连续分布力系

(2)与外力组成平衡力系(特殊情形下内力 本身形成自相平衡力系)F1FnF3F2中北大学航空宇航学院第二章杆件内力分析第一节轴向拉压变形的内力分析第二节扭转变形的内力分析第三节弯曲变形的内力分析第四节弯矩、剪力与载荷集度之间的微分关系第五节组合变形的内力分析总结与讨论第一节轴向拉压变形的内力分析1轴向拉压(axialtensionandcompression)变形概述一、工程实例桁架结构飞机的起落架是非常重要的一个受压构件活塞杆汾河南中环桥上述实例均可以简化为如下的力学模型：拉伸压缩受力特点：作用在杆上的外力或外力合力的作用线与杆的轴线重合。变形特点：沿杆轴线方向伸长或缩短。具有上述受力和变形特点的杆件称为拉（压）杆；拉（压）杆的变形称为轴向拉伸（轴向压缩）。2轴力和轴力图讨论题在下列杆件中,哪些杆件是轴向拉压杆?(A)(B)(C)(D)一、轴力（NormalForce）杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。轴力用FN

表示，方向与轴线重合。轴力的符号规则：FN与截面的外法线方向一致为正；反之为负。求解轴力的方法：截面法。轴力为正，杆件受拉；轴力为负，杆件受压。二、轴力图（DiagramofNormalForce）轴力方程（函数）轴力图：横坐标x

表示横截面的位置，纵坐标FN表示相应截面上的轴力.作轴力图的步骤(1)建立适当的坐标系(2)写出轴力方程(3)计算特殊截面的内力(4)按比例作图注意:AB杆受力如图所示,已知例1kNkN试作AB杆轴力图解:(1)求反力由AB杆的平衡方程kN(2)计算各段的轴力由平衡方程得:kNkN(3)按比例画轴力图P110kN10kN思考题：C截面处，轴力的数值是多少？例题2一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图.

CABD600300500400E40kN55kN25kN20kNCABD600300500400E40kN55kN25kN20kNCABDE40kN55kN25kN20kNFRA解:

求支座反力

求AB段内的轴力FRAFN1CABDE40kN55kN25kN20kNFRA1

求BC段内的轴力

FRA40kNFN220kNCABDE40kN55kN25kNFRA2

FN3求CD段内的轴力20kN25kNCABDE40kN55kN25kN20kNFRA3求DE段内的轴力20kNFN440kN55kN25kN20kNFRA4FN1=10kN（拉力）FN2=50kN（拉力）FN3=-5kN（压力）FN4=20kN（拉力）

发生在BC段内任一横截面上思考：

轴力的数值与构件材料横截面的形状、尺寸有关系吗？F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kNF3=35kN.

试求：Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图第二节扭转变形的内力分析

工程实例一、扭转的概念和实例更准确的力学模型轴shaft：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。受力特点：杆件的两端作用着大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆件轴线的力偶变形特点：杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动二、扭转外力偶矩的计算(Calculationoftheexternalmoment)若功率N—KW千瓦转速n—r/min或转/分则()

讨论题：在图示变速箱中有多个传动轴，为什么各个传递轴的直径却不尽相同？变速箱工作原理：https:///v?vid=1629080244949330333&pd=bjh&fr=bjhauthor&type=video)三扭转变形的内力（矩）扭矩Tx取左段分析：=0:T=M同理取右段分析可得：=M截面法：符号规定：若按右手螺旋法则把T表示为矢量，当矢量方向与截面外法线方向一致时，T为正；反之为负一、轴力（NormalForce）杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。轴力用FN

表示，方向与轴线重合。轴力的符号规则：FN与截面的外法线方向一致为正；反之为负。求解轴力的方法：截面法。轴力为正，杆件受拉；轴力为负，杆件受压。二扭矩图（Torsionalmomentdiagram)集中力偶作用位置是控制截面，计算扭矩是左右需要分段，指定截面上待求扭矩假设为正方向二扭矩图（Torsionalmomentdiagram)50201515N.mN.mN.mN.mTx2143Nm.2015Nm.Nm.30TxTx第三节弯曲变形的内力分析

一工程实例运送工件的大梁大梁在自重q、工件重力F，支座反力作用下发生弯曲变形

镗床镗刀杆受镗削力作用发生弯曲变形圆轴发生弯曲变形火车轮轴简化及变形弯曲的受力和变形特点梁（beam）：以弯曲变形为主的构件产生弯曲变形的杆件的受力特点：所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴垂直。变形特点：杆的轴线由直线弯曲成曲线。中华传统文化博大精深，其中就蕴含着许多与梁的强度变形有关的成语典故栋梁之才：南朝·宋·刘义庆《世说新语·赏誉》：“庾子嵩目和峤，森森如千丈松，虽磊砢有节目，施之大厦，有栋梁之用。不屈不挠：汉·蔡邕《太尉乔玄碑》：“其性庄，疾华尚朴，有百折不挠，临大节而不可夺之风。”百折不挠：《汉书·叙传下》：“乐昌笃实；不桡（挠）不离（屈）。”《齐民要术·卷五·种榆白杨》：“白杨性甚劲直，堪为屋材，折则折矣，终不曲挠。”宁折不弯：挑大梁；顶梁柱能屈能伸：《周易·系辞下》：“尺蠖之屈；以求信也；龙蛇之蛰；以存身也。”汉·袁康《越绝书·外传纪策考》：“始有灾变蠡专其明；可谓贤焉；能屈能申。”

平面弯曲

(planebending)

挠曲线（deflectioncurve）

特征挠曲线平面与外载荷作用平面重合

思考题梁发生平面弯曲吗？2．梁的简化及其类型Loadonbeamandtypeofbeams一、梁上载荷(concentratedloads)单位：牛顿（N）千牛（kN）起吊重物作用在大梁上的集中力F分布载荷（Distributedloads）单位：牛顿（N/m）千牛（kN/m）分布载荷（Distributedloads）集中力偶（concentratedmoment）单位：牛顿（N•m）千牛（kN•m）二、支座与梁的类型向心球轴承FRAAAAA向心推力轴承AAAFRAyAFRAx铁轨对火车轮轴的约束，可以简化为两端外伸梁当，外伸梁为简支梁（simplesupportedbeam）

悬壁梁(cantileverbeam)FRyFRxM静定梁的基本形式

(Basictypesofstaticallydeterminatebeams)

悬臂梁(cantileverbeam)

外伸梁(overhangingbeam)

简支梁(simplysupportedbeam)请考虑各种约束对应的约束反力？辅助支撑跟刀架顶尖

在铣床上洗削工件时，为防止工件的移动并减小其变形和振动，需要增加辅助支撑，虎钳和辅助支撑构成系统

用车床加工细长轴时，经常采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以减少其变形。卡盘和辅助支撑构成超静定系统。静定梁以及超静定梁的概念三、梁的内力(Internalforceinbeam)Shearingforceandbendingmoment

使用截面法确定x截面上的弯曲内力x截面上有哪些弯曲内力？研究AC段的平衡研究BC段的平衡（需要先计算约束力）

弯曲内力：剪力Fs和弯矩M为了使由AC、BC分别求出剪力Fs

、弯距M的大小、正负均相同，下面做出Fs

、M的符号规定Fs的符号规定：截面n-n的左段相对右段向上错动时，其上的剪力为正，反之为负。M的符号规定：截面n-n处的弯曲变形向下凸时，其上的弯距为正，反之为负。外力左上右下为正；反之为负外力矩左顺右逆为正；反之为负1解（1）（2）截面法求内力研究E截面右侧，可得到同样结论讨论题截面1-1、2-2上的剪力相同吗弯矩相同吗各是多少？

二

Shearingforcediagramsandbendingmomentdiagrams剪力方程Fs=Fs(x)弯矩方程M=M(x)以截面沿梁轴线的位置为横坐标x，以截面上的剪力Fs或弯矩M数值为对应的纵坐标，选定比例尺分段绘制剪力图和弯矩图。通常，弯矩图画在梁的受压一侧由于梁结构较为复杂，且作用有多个载荷，所以剪力方程和弯矩方程需要分段表达，剪力图和弯矩图也需要分段绘制。分段原则是：在集中载荷（包括支反力）、集中力偶作用处，分布载荷的起始和终止位置，都是需要分段的位置；另外，分段位置左右两侧截面的剪力和弯矩可能发生突变，这一点应特别注意。例2画出梁的剪力图和弯矩图。解：（1）求支反力（2）剪力方程和弯矩方程

只需分一段。在任一横截面x处例3画出梁的剪力图和弯矩图。解：

（1）求支反力（2）剪力方程和弯矩方程

需要分两段。例4画出梁的剪力图和弯矩图。解：剪力方程和弯矩方程总结：Fs图M图例5如右图所示的模型，可简化为简支梁承受移动集中载荷P，求整个移动过程中的解：当P移动到AB的中点时，出现当P移动到接近A、B点时，出现结合例4分析例题9一简支梁受移动荷载F

的作用如图所示.试求梁的最大弯矩为极大时荷载F

的位置.ABFlx解:先设F在距左支座A

为x

的任意位置.求此情况下梁的最大弯矩为极大.荷载在任意位置时，支反力为当荷载F在距左支座为x的任意位置C时，梁的弯矩为令此结果说明，当移动荷载F

在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大.得最大弯矩值代入式将纯弯曲例题10一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知F=25.3kN,有关尺寸如图所示.试用本节所述关系作剪力图和弯矩图.解：（1）求梁的支反力

将梁分为AC、CD、DB

三段.每一段均属无载荷区段.BACD2001151265FFFRAFRB231（2）剪力图每段梁的剪力图均为水平直线AC段23.61.727+BFRBACD2001151265FFFRA231DB段最大剪力发生在DB段中的任一横截面上CD段4.723.11+BACD2001151265FFFRAFRB231最大弯矩发生在C

截面（3）弯矩图

每段梁的弯矩图均为斜直线.且梁上无集中力偶.（4）对图形进行校核

在集中力作用的C,D

两点剪力图发生突变,突变值F=25.3kN.而弯矩图有尖角.

在AC段剪力为正值，弯矩图为向上倾斜的直线.BACD2001151265FFFRAFRB2314.723.11+23.61.727+

在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图为向下倾斜的直线.

最大弯矩发生在剪力改变正、负号的

C截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.第四节Differentialrelationsbetweentheintensityofdistributedloadq，shearingforceQ

andbendingmomentM无荷载集中力FC集中力偶MC向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在FS=0的截面水平直线一般斜直线或在C处有转折在剪力突变的截面在紧靠C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征Mmax所在截面的可能位置表4-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q<0向下的均布荷载在C处有突变F在C处有突变M在C处无变化C例题一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100kN/m,如图所示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.

解：（1）计算梁的支反力FRAFRBEqABCD0.21.612

将梁分为AC、CD、DB

三段.AC和DB上无荷载，CD

段有向下的均布荷载.（2）剪力图+80kN80kNAC段水平直线CD段

向右下方的斜直线DB段水平直线最大剪力发生在AC

和DB

段的任一横截面上.FRAFRBEqABCD0.21.612+48kN·m例题作梁的内力图.解：（1）支座反力为3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=