材料力学教程 课件 第03章 简单应力状态下杆件应力和强度分析

中北大学航空宇航学院第三章简单应力状态下杆件应

力和强度分析

如何定义应力，单位是什么？3、应力（stress)应力—分布内力在一点的集度F1FnF3F2应力就是单位面积上的内力

工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。

基本变形时，判断构件的强度是否满足是以直接实验为依据的。对于轴向拉伸和压缩、圆轴扭转、梁的弯曲等变形，直接通过材料的力学性能试验（试样的拉伸、压缩和扭转试验）测出材料的失效应力，再除以一个大于1的数（安全系数n），得到材料的许用应力。要使构件安全工作，构件上的最大应力（正应力或切应力）必须小于或等于材料的许用应力如何建立了构件的强度条件？

§3-1

杆件轴向拉压变形的应力第三章简单应力状态下杆件应力和强度分析§3-2

材料的力学性能与失效判据§3-3

剪切与挤压的实用强度分析§3-4

圆轴扭转时应力和强度分析§3-5

非圆截面杆扭转§3-6

细长梁弯曲时应力和强度分析§3-8

提高梁弯曲强度的措施§3-7

提高梁弯曲强度的措施第一节杆件轴向拉压变形时的应力1.轴向拉压杆横截面上的应力

两个拉杆任意截面上的内力相同，但是常识告诉我们，直径细的拉杆更容易破坏。

由截面法求得各个截面上的轴力后，并不能直接判断杆件是否具有足够的强度，必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。

要完成该积分，必须知道正应力在截面上的变化规律。为此考察杆件在受力后表面上的变形情况，并由表及里地作出杆件内部变形情况的几何假设，再根据力与变形间的物理关系，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过应力与dA之乘积的合成即为内力这一静力学关系，得到以内力表示的应力计算公式。这一分析过程是工程力学中分析截面上应力分布的基本方法，应重点掌握。第一节杆件轴向拉压变形时的应力9p

M

deformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula变形几何关系物理关系静力关系

观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship第一节杆件轴向拉压变形时的应力平面假设:变形前原为平面的横截面，变形后仍然保持为平面且仍垂直于杆轴线。(参考圣维南原理)

由平面假设，拉杆所有纤维的伸长相等，从而各纤维的受力一样，因此：横截面上各点处仅有正应力s，并沿截面均匀分布。圣维南（Saint-Venant)原理：力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受影响。有限元网格变形图轴向位移轴向位移（一半）设横截面的面积为A，由静力学关系：

正应力，拉应力为“+”，压应力为“－”FN

轴力A

横截面面积

对于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆：

对于受到几个轴向载荷作用的等截面直杆，最大正应力发生在最大轴力作用面处：最大轴力所在的截面称为危险截面危险截面上的正应力称为最大工作应力二、斜截面上的应力（StressonInclinedSection）

F

AM

1.应力(Stress)①平均应力②全应力（总应力）同横截面上的正应力相同，斜截面上的应力也是均匀分布的不同方位角对应的应力分布情况方位角为90度时，即纵向截面上没有应力通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，称为该点处的应力状态（stressstate）。由上两式可知，在轴向拉压问题中，一点处的应力状态由其横截面上的正应力可完全确定。这样的应力状态称为单向应力状态。【例2-2】

起吊三角架如图所示，已知杆AB由两根横截面面积均为A的角钢制成，设A=10.86cm2,F=130kN,a=30°。求杆AB横截面上的应力。【例2-2】解2)计算sAB以节点A为研究对象，列平衡方程拉可以采用的关系计算2.轴向拉压杆斜截面上的应力

不同材料的实验表明，拉压杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时沿斜截面发生。

横截面上的应力分布均匀，由此推断，斜截面m-m上的应力pa也为均匀分布。

设横截面面积As

横截面上的正应力

将应力pa沿截面法向和切向进行分解：当a=0时正应力最大当a=45°时切应力最大当a=90°时

拉压杆的最大切应力发生在与杆轴线成45°的斜截面上纵向纤维之间无挤压，无剪切讨论

当

=-45°时【例2-3】

已知阶梯形直杆受力如图所示，杆各段的横截面面积分别为A1=A2=2500mm2，A3=1000mm2，杆各段的长度如图。求(1)杆AB、BC、CD段横截面上的正应力(2)杆AB段上与杆轴线夹45°角(逆时针方向)斜截面上的正应力和切应力。【例2-3】解(1)计算各杆段横截面上的正应力利用截面法求出各段轴力(步骤略)AB段BC段CD段【例2-3】解(2)计算杆AB斜截面上的正应力和切应力第二节材料的力学性能与失效判据材料的力学性能：也称机械性能。通过试验揭示材料在受力过程中所表现出的与试件几何尺寸无关的材料本身特性。如变形特性，破坏特性等。研究材料的力学性能的目的是确定在变形和破坏情况下的一些重要性能指标，以作为选用材料，计算材料强度、刚度的依据。因此材料力学试验是材料力学课程重要的组成部分。此处介绍用常温静载试验来测定材料的力学性能。第二节材料的力学性能与失效判据1.实验仪器和试件电子万能试验机上夹头横梁下夹头电源数据采集处理系统计算机2.低碳钢在拉伸时的力学性能四个阶段弹性阶段屈服阶段强化阶段局部变形（颈缩）阶段弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段Oa段应力与应变成正比弹性模量E是直线Oa的斜率Q235E≈200GPa直线部分的最高点a所对应的应力称为比例极限，sp（proportionallimit）Oa段材料处于线弹性阶段ab段不再为直线，但解除拉力后变形仍可完全消失（弹性变形），材料只出现弹性变形的极限值---弹性极限，se（elasticlimit）当应力大于弹性极限后，若再解除拉力，则试样会留下一部分不能消失的变形---塑性变形。由于弹性极限和比例极限极为接近，因此工程上并不对此严格区分。应力基本保持不变，应变显著增加

屈服/流动表面磨光的试样屈服时，表面将出现与轴线大致成45°倾角的条纹，这是由于材料内部相对滑移形成的，称为滑移线。在屈服阶段内的最高应力和最低应力称为上屈服极限和下屈服极限。上屈服极限的数值与试件形状、加载速度等因素有关，一般是不稳定的。下屈服极限则有比较稳定的数值，能够反映材料的性能通常把下屈服极限称为屈服极限或屈服强度

材料屈服表现为显著的塑性变形，而零件的塑性变形将影响机器的正常工作，所以屈服极限是衡量材料强度的重要指标Q235ss≈235MPa过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形，必须增加拉力，这种现象称为材料的强化。最高点e所对应的应力：材料所能承受的最大应力，称为强度极限或抗拉极限，它是衡量材料强度的另一个重要指标。在强化阶段中，试样的横向尺寸有明显的缩小。Q235sb≈380MPa粗糙平口光泽斜口约45°材料经受较大塑性变形而不被拉断的能力称为延性或塑性。材料的塑性用延伸率或断面收缩率度量。试样原始标距长度l,拉断后标距长度l1

延伸率定义为：试样原始横截面积A,拉断后颈缩处最小横截面面积A1断面收缩率定义为：材料的延伸率和断面收缩率值越大，说明材料塑性越好。工程中:d≥5%为塑性材料d<5%为脆性材料如果把试件拉到超过屈服极限的d点:此时卸载应力应变关系沿dd’回到d’点dd’与Oa平行卸载过程中，应力和应变按照直线规律变化卸载规律卸载后短期内再次加载:可见在再次加载时，直到d点以前的材料的变形都是弹性的，过了d点才开始出现塑性变形。第二次加载时，其比例极限得到了提高，但是塑性变形和延伸率却有所下降，这种现象称为冷作硬化

工程中经常利用冷作硬化来提高材料的弹性阶段，如起重的钢丝绳和建筑用的钢筋，常以冷拔工艺提高强度。又如对某些零件进行喷丸处理，使其表面发生塑性变形，形成冷硬层，以提高零件表面层的强度。但另一方面，零件初加工后，由于冷作硬化使材料变硬变脆，给下一步加工造成困难，很容易产生裂纹，往往需要在工序之间安排退火，以消除冷作硬化的影响。

低碳钢在温度升高到300℃以后，随着温度的升高，其弹性模量、屈服极限和强度极限均降低，而延伸率则提升高；而在低温情况下，低碳钢的强度提高，塑性降低。低碳钢拉伸总结：四个阶段：弹性屈服强化颈缩四个特征点：比例极限弹性极限屈服极限强度极限六个指标：强度指标弹性指标塑性指标3.铸铁拉伸时的力学性能铸铁的拉伸应力~应变关系图如下：弹性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量~割线弹性模量。破坏时沿横截面拉断。铸铁拉伸没有屈服现象，强度极限sb是衡量强度的唯一指标。

铸铁等脆性材料的抗拉强度很低，所以不宜作为抗拉构件的材料。（%）4.其他金属材料拉伸时的力学性能其他塑性材料拉伸的应力~应变关系图有些材料明显的四个阶段有些材料没有屈服、颈缩阶段，但有弹性阶段和强化阶段对于没有明显屈服点的塑性材料，规定以产生0.2%的塑性应变时的应力作为屈服指标，称为名义屈服极限。5.低碳钢压缩时的力学性能压缩试样：

金属材料的压缩试样一般都制成很短的圆柱，以免被压弯(参考压杆稳定)，圆柱高度约为直径的1.5~3倍。混凝土、石料等则制成立方体的试块。d0h0粗短圆柱体：h0=1~3d0低碳钢压缩时的s

~e曲线1.两类试验时的E

以及大致相等2.得不到压缩时的3.只能压扁6.铸铁压缩时的力学性能2.铸铁压缩时的s

~e曲线1.同较小变形情况下突然破坏2.异

a.压缩时的高出拉伸时的4—5倍

b.受压后形成鼓形，具有明显的塑性变形，破坏是500

左右斜断口铸铁试验结果(与拉伸试验比较)铸铁的应用7.失效判据塑性材料失效：屈服产生较大的塑性变形：应力达到强度极限断裂脆性材料失效：应力达到强度极限断裂材料失效时应力称为材料的极限应力，su（ultimatestress）塑性材料的极限应力：ss

脆性材料的极限应力:sb

在对构件进行强度计算时，考虑力学模型与实际情况的差异以及必须有适当的强度安全储备等因素，对于由一定材料制成的具体构件，需要规定一个工作应力的最大容许值，这个值称为材料的许用应力，用[s]表示。

n为大于1的数，称为安全因数。对于塑性材料:对于脆性材料:安全因数的选择1、材料的素质，包括材料的均匀程度，质地好坏，塑性还是脆性；2、载荷情况，包括对载荷的估计是否准确，静载荷还是动载荷；3、实际构件简化过程和计算方法的精确程度；4、零件在设备中的重要性，工作条件，损坏后造成后果的严重程度，制造和修配的难易程度；5、对减轻设备自重和提高设备机动性的要求。

确定安全因数要综合多方面的因素，很难做统一的规定。不过随着人类对客观事物的认识的不断提高和完善，安全因数的选择必然日益趋于合理。

目前一般机械制造中[参考《安全系数和许用应力》，机械工业出版社，1981]，在静载情况下，对塑性材料可取ns=1.2~2.5,脆性材料均匀性较差，且断裂突然发生，有更大的危险性，所以取nb=2~3.5甚至3~9。拉压杆在工作时不发生失效,强度条件为:smax

为构件最大工作应力等截面拉压杆强度条件:根据强度条件对拉压杆进行强度计算时,可做以下三方面工作:(1)强度校核(2)截面设计(3)许用载荷确定已知材料、截面、载荷，检验强度条件是否满足已知材料、载荷，确定杆件横截面形式和几何尺寸已知材料、截面尺寸，确定所能承受的最大载荷

当拉压杆的工作应力smax超过许用应力[s],而偏差不大于许用应力的5%，工程上是允许的。8.应力集中

由圣维南原理知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。但是，如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将急剧增大，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低且趋于均匀。

由于截面急剧变化所引起的应力局部增大现象，称为应力集中。应力集中因数K1s最大局部应力，由解析理论、实验或数值方法确定。名义应力，不考虑应力集中条件下求得的应力值。实验结果表明：截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小，应力集中的程度就越严重。应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意应力集中能促使疲劳裂纹的形成和扩展，因而对构件的疲劳强度影响极大。62/111【例2-4】

结构尺寸及受力如图。设AB、CD均为刚体，BC和EF为圆截面直杆，直径均为d=25mm。若已知载荷F=39kN,杆的材料为Q235，其许用应力[s]=160MPa。试校核此结构的强度是否安全。63/111【例2-4】解(1)受力分析计算杆BC和EF的轴力杆EF受力最大，且杆EF与杆BC截面相同，故杆EF为危险杆。64/111【例2-4】解(2)计算危险构件的应力(3)判断危险构件是否满足强度条件许用应力危险构件EF强度满足，整个结构强度满足。65/111【例2-5】

上例中，若杆BC和EF的直径未知，其他条件不变。设计二杆的直径。66/111【例2-5】解工程设计时，对结果进行取整取67/111【例2-6】

上例中若杆BC和EF的直径均为d=30mm，[s]=160MPa，其他条件不变，试确定此时结构许可载荷[F]。68/111【例2-6】解杆EF为危险杆由平衡方程应用强度条件：结构的许可载荷第三节剪切与挤压的实用强度分析三种破坏形式铆钉沿受剪面m-m和n-n被剪坏板铆钉孔或铆钉本身被挤压而发生显著的塑性变形板在被铆钉孔削弱的截面被拉断mmF/2剪切面FS剪切的应力分析F/2F/2mm剪切面上切应力分布较为复杂2、剪应力均匀分布且平行于剪力1、在剪切时伴随的弯曲、挤压对剪应力无影响。mmF/2剪切面FS剪切的应力分析F/2F/2mm剪切面上切应力分布较为复杂

工程中假定在剪切面上切应力分布均匀，则名义切应力：剪切强度条件：在铆钉与板相接触的侧面上，彼此之间局部受压挤压相互接触面

挤压面挤压面上承受的压力

挤压力Fbs挤压面上的应力

挤压应力sbs挤压应力在挤压面上分布复杂名义挤压应力:挤压强度条件:Abs

挤压面面积关于挤压面的说明当挤压面为圆柱面时，计算挤压面面积取实际挤压面在直径平面上的投影面积(有效挤压面)。实际挤压面有效挤压面【例】

如图所示接头，由两块钢板用四个直径相同的钢铆钉搭接而成。已知载荷F=80kN，板宽b=80mm，铆钉直径d=16mm,d=10mm,许用切应力[t]=100MPa，许用挤压应力[sbs]=300MPa，许用拉应力[s]=160MPa。校核该接头的强度。解(1)铆钉剪切强度校核通常认为个铆钉剪切面上剪力相等。切应力(2)铆钉挤压强度校核铆钉所受挤压力等于剪切面上的剪力【例】解(3)板拉伸强度校核轴力沿板轴线的变化情况截面1-1轴力最大，截面2-2削弱最严重，均应计算。实验前（1）画纵向线,圆周线;（2）施加一对外力偶.薄壁圆筒：壁厚（r0—圆筒的平均半径）dxx

Me

Me实验后（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度

；（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.第四节圆轴扭转时的应力和强度分析1、剪切胡克定律和切应力互等定理推论(Inference)（1）横截面上无正应力，只有切应力；（2）切应力方向垂直半径或与圆周相切.dxδ

圆周各点处切应力的方向于圆周相切,且数值相等,近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化.MeMeABDCMeMel式中,r

为薄壁圆筒的外半经.剪切胡克定律(Hooke’slawforshear)由图所示的几何关系得到

薄壁圆筒的扭转试验发现,当外力偶Me

在某一范围内时,与Me

（在数值上等于

T

）成正比.TO

从T与

之间的线性关系,可推出

与

间的线性关系.该式称为材料的剪切胡克定律(Hooke’slawforshear)G–剪切弹性模量O

3.切应力互等定理

用相邻的两个横截面和两个纵向面，从圆筒中取出边长为dx，dy和d的单元体圆筒平衡单元体平衡

上下两个侧面必有切应力

上下两个侧面切应力大小相等，方向相反切应力互等定理

在相互垂直的一对平面上，切应力同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。第四节圆轴扭转时的应力和强度分析1.圆轴扭转时横截面上的应力综合研究几何、物理、静力学几方面的关系。平面假设:

变形后，横截面仍保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不改变，且半径仍为直线。圆轴扭转时，各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。1.几何方面其中表示扭转角沿轴线长度方向的变化率，而称为相对扭转角。同一截面上为常数，因此与成正比2.物理方面在剪切比例极限内由于发生在垂直于半径的平面内，所以也应与半径垂直。3.静力学方面微剪力trdA其对圆心的力矩

(trdA)r横截面上，所有微力矩之和等于扭矩代入物理方程极惯性矩则4.切应力计算公式适应条件等直圆杆；横截面上的最大切应力小于剪切比例极限T：扭矩Ip：横截面的极惯性矩r：所求切应力点到圆心的距离对某一横截面而言，T为常数，Ip

也是常数，因此横截面上的切应力是r

的线性函数对某一横截面而言，T为常数，Ip

也是常数，因此

横截面上的切应力是r

的线性函数圆心处r=0

t=0外表面r=r

max

t=tmax取Wp∶扭转截面系数，单位mm3m3圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律2.最大切应力和强度条件极惯性矩和扭转截面系数的计算空心圆截面:强度条件对于等截面圆轴而言，最大扭矩所在的截面为危险截面

不同材料的许用切应力[t]各不相同，通过扭转试验测得各种材料的扭转极限应力tu，除以安全因数n得到。塑性材料和脆性材料的扭转试验破坏形式不完全相同塑性材料:屈服沿横截面剪断脆性材料:沿与轴线约45°方向的螺旋面断裂塑性材料屈服时横截面上的最大切应力ts脆性材料断裂时横截面上的最大切应力tb统称为材料的扭转极限应力tu【例】

实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图所示。已知轴的转速n=100r/min，传递的功率

P=7.5kW。若两传动轴横截面上的最大切应力均等于40MPa，并且已知空心轴的内外径之比a=0.5，试确定实心轴的直径与空心轴的外径。【例】解(1)计算扭矩(2)根据强度条件计算直径实心轴空心轴两轴的横截面面积之比可见，如果轴长度相同，承受扭矩相同，则在最大切应力相同的情况下，实心轴要使用更多的材料。【例】

如图所示圆柱形密圈螺旋弹簧，沿弹簧轴线承受拉力F。所谓密圈螺旋弹簧，是指升角a很小的弹簧。设弹簧的平均直径为D，弹簧丝的直径为d，试分析弹簧的应力并建立相应的强度条件。【例】解(1)分析内力，用截面法如图截取上部由于a很小，所取截面近似为弹簧的横截面截面上的内力有剪力扭矩(2)求切应力a.由剪力引起的切应力，假设沿横截面均匀分布b.由扭矩引起的切应力最大切应力发生在截面内侧。如图当弹簧的直径D>>弹簧丝的直径d(D/d>10)当D/d<10，或在计算精度要求较高的情况下，不仅不能忽略剪力引起的切应力，还要考虑弹簧丝曲率的影响。最大切应力公式修正为：其中c=D/d(3)强度条件弹簧危险点处于纯剪切状态。其强度条件Solution:(1)calculateexternaltorques

(2)DeterminatemaximuminternaltorqueMAMBMCMDExamplethedrivingshaft:diameterd=45cm,speedn=300r/min,inputpowerNA=367kW,outputpowerNB=147kw,NC=ND=11kW。=40MPa,ChecktheStrengthforshaft.InsegmentAC

(3)Checkthestrength

Thestrengthofdrivingshaftisenough.MAMBMCMD第五节非圆截面杆扭转第五节非圆截面杆扭转1.自由扭转与约束扭转变形特征:翘曲扭转后，横截面将不再保持平面自由扭转约束扭转：翘曲程度相同：翘曲程度不同——无正应力——有正应力2.矩形截面杆的扭转矩形截面轴的自由扭转切应力分布特点：1)沿边走2)角点为03)长边中点最大4)短边中点较大相应参数查表3-2教材P47狭长矩形截面第六节细长梁弯曲时应力和强度分析1.纯弯曲时的正应力剪力FS是相切于横截面的内力系的合力；弯矩M是垂直于横截面的内力系的合力。剪力FS只与横截面上的切应力t

有关；弯矩M只与横截面上的正应力s

有关。AC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力，这种情况称为横力弯曲CD段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。115deformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesisDistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula变形几何关系物理关系静力关系

观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship116117p

M

一、实验（Experiment）1.变形现象（Deformationphenomenon)横向线各横向线仍保持为直线，相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直.纵向线各纵向线段弯成弧线，且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长.变形前变形后

由于弯曲的作用，上部纤维缩短，下部纤维伸长。

中间必有一层保持原长，这一层称为:中性层1182.提出假设

(Assumptions）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴⊥

中性层1191变形几何关系cc是中性层和横截面的交线，称为中性轴

除平面假设外，我们还假设纵向纤维之间无挤压，即纵向纤维间无正应力。120dx图（b）yzxO应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（a）dx二、变形几何关系（Deformationgeometricrelation）图（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO121三、物理关系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx

直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.应力分布规律：?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径r??1221231243静力关系横截面对z轴（中性轴）的惯性矩1/r为梁轴线变形后的曲率EI越大1/r越小EI

梁的抗弯刚度/弯曲刚度弯矩125126

由公式可知，某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。Wz

抗弯截面系数/弯曲截面系数单位m3127讨论

（1）应用公式时，一般将My

以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断

的正负号.

以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(

为正号).凹入边的应力为压应力（

为负号）；（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.则公式改写为引用记号—抗弯截面系数128实心矩形截面的抗弯截面系数实心圆截面（直径为d）的抗弯截面系数其他形状的截面及型钢几何性质可参见附录A及附录D129130（1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy131zy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面M

应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式1321、设计钢梁时，宜采用中性轴为（

）的截面；设计铸铁时，宜采用中性轴为（

）2、如图所示，两个尺寸相同的矩形截面，都被相同面积A=2a的槽孔所削弱，则两截面的抗弯截面模量之间关系为（）。（A）对称轴；

（B）偏于受拉边的非对称轴；（C）偏于受压边的非对称轴；

（D）对称轴或非对称轴。1332.横力弯曲时的正应力

工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比l/h大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即强度条件134

对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大的横截面上，其大小应为:

弯矩最大的截面并不一定是危险截面。

梁的最大正应力不仅和弯矩M

有关，而且和截面的形状尺寸(几何性质)有关。135受力情况相同的三种等截面梁，如图所示。它们分别由整块材料或两块材料并列或两块材料叠合组成。若用分别表示三种梁中横截面上的最大正应力，则（）。（1）（2）（3）136【例】

如图所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后尺寸如图，F=150kN。求梁危险截面上的最大正应力smax和同一截面上翼缘与腹板交界处点a的正应力sa。137【例】解(1)作梁的弯矩图F=150kN(2)截面几何性质查型钢表(附录D)56a工字钢:(3)危险截面最大正应力(4)危险截面处点a的正应力138讨论

点a处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160MPa来计算：139显然，梁的自重引起的最大正应力仅为

而危险截面上的最大正应力变为远小于外加荷载F所引起的最大正应力。

如果考虑梁的自重(q=1.041kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为140【例】

如图所示圆轴AD，在BC段受均布载荷作用。

已知q=1kN/m，AB段直径d1=280mm，BC段直径d2=320mm，轴的许用应力[s]=140MPa，试校核该轴的强度。141【例】解(1)计算简图(2)求约束力并画弯矩图(略)(3)跨中危险截面

超过许用应力[s]=140MPa，但仅相差1%不到，因此跨中满足梁的强度条件。142【例】解(4)校核AB段强度AB段最大弯矩发生在截面BAB段强度符合要求，轴AD满足强度条件143【例】

如图所示一槽型截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，铸铁的抗拉许用应力[st]=30MPa，抗压许用应力[sc]=120MPa。已知F1=32kN，F2=12kN。试校核该梁的强度。144【例】分析

对铸铁这样的抗压和抗拉强度不一样的材料，截面中性轴又不在对称轴上，同一截面的最大拉应力和最大压应力不相等，计算最大应力时应分清抗拉和抗压强度校核。145【例】解(1)计算约束力，画弯矩图F1=32kN，F2=12kN146【例】解(2)计算截面几何性质求形心C

的位置（负面积法）横截面的惯性矩(注意平行移轴公式)147(3)对截面B弯矩负值，上侧受拉148(4)对截面C弯矩正值，下侧受拉149全梁的最大拉应力位于截面C

下边缘全梁的最大压应力位于截面B

下边缘该梁满足强度条件讨论

通过计算可知，虽然截面C的弯矩不是最大，但全梁的最大拉应力却发生在该截面的下边缘。因此，对于铸铁这样的抗拉强度和抗压强度不一样的材料，进行强度校核时，若中性轴不是对称轴，须确定梁的最大正弯矩和最大负弯矩，分别进行强度校核，而不是仅确定一个危险截面。1504.弯曲切应力矩形截面梁的切应力公式推导儒拉夫斯基假设1）截面上任意一点的切应力

t的方向和该截面上的剪力FS的方向平行。2）切应力沿宽度均匀分布，即t的大小只与距离中性轴的距离有关。151取简支梁中dx的微段进行受力分析

若所切微段上无横向外力作用，则两截面的剪力相等。则该微段上的应力分布如图

弯矩不同，两侧截面上的正应力也不相同

按照儒拉夫斯基假设，切应力和剪力平行。152

为了研究横截面上距离中性层y处的切应力t的数值，可在该处用一个平行于中性层的纵截面pp1，将微段的下半部分截出。153研究x方向的平衡

距中性轴为y处的横线以下部分面积A1对中性轴的静矩。同理可得154顶边分布的切应力的合力dF的大小由155z截面静矩的计算方法A为截面面积为截面的形心坐标A1156157工字形截面由翼缘和腹板组成上翼缘下翼缘腹板

由于腹板截面是狭长矩形，因此儒拉夫斯基假设仍然适用，若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。

经计算可得公式为

沿高度的分布规律如图158b

—腹板的厚度OzydxySz—距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩.tminozytmaxτmax（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；（b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.Sz翼缘上的平行于y轴的切应力分量很小，通常不进行计算。159ydzO假设：（a）沿宽度k-k'上各点处的切应力均汇交于O'点；（b）各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.

在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.3.圆截面梁(Beamofcircularcrosssection)最大切应力发生在中性轴上ydzO式中A为圆截面的面积.1604.圆环形截面梁(Circularpipebeam)

图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为

，环的平均半径为r0，由于

«r0故可假设（a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；（b）切应力的方向与圆周相切.zyr0δ式中A=2

r0

为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为zyr0δ

max