3.2 函数与方程、不等式之间的关系（含答案）(人教B版2019必修一)-【同步教案】 2021-2022学年高一数学

3.5函数与方程（新课）知识梳理函数零点的理解1.函数的零点方程的根函数图象与轴交点的横坐标两函数交点的横坐标实质上是同一个问题的三种不同表达形式：方程的根的个数就是函数零点的个数，即函数图象与轴交点的个数。2.零点存在性定理（判定函数零点的）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。【注意】=1\*GB3①不满足的函数也可能有零点.=2\*GB3②若函数在区间上的图象是一条连续曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件.函数零点所在区间与零点个数的判断函数零点所在区间与零点个数的判断解方程：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根，根所在区间.零点存在性定理：利用定理进行判断.图像法：画出相应函数的图象，通过观察函数图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.函数在给定区间上的零点个数的判断方法：直接求零点：如果方程易解，可先解方程，那么在给定区间上有几个不同的解就有几个零点.零点存在性定理：定理要求函数图象在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数共有多少个零点.利用函数图象交点的个数：=1\*GB3①画出函数的图象，函数的图象与轴在给定区间上交点的个数就是函数的零点个数；=2\*GB3②将函数拆成两个图象易得的函数和的差，即等价于，则所求的零点个数即为函数和的图象在给定区间上的交点个数.典例解析考点一：求函数零点例1．求下列函数的零点．（1）；（2）．变式1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．（1）f（x）＝；（2）f（x）＝x2＋2x＋4；变式2．函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________.考点二：零点存在性定理例2．若函数在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线，且方程在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)f(4)的值()A．大于0B．小于0C．等于0 D．无法判断变式1．函数，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个 D．一个也没有变式2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内（）A．至少有一个实根B．至多有一个实根C．没有实根 D．有唯一实根考点三：判断函数零点（方程的根）所在的区间例3．函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．变式1．函数的零点所在的一个区间是A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）变式2．函数的零点所在区间为（）A． B． C． D．考点四：一元二次方程根的分布例4.关于x的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，则m的取值范围为________．变式1．若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是________．变式2．若方程有且仅有一个根在区间(0,3)内，求a的取值范围．考点五：含参问题例5．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则()A．k＝0B．k>0C．0≤k<1 D．k<0变式1．已知f(x)＝2ax－1＋3a，f(0)＜f(1)且在(1,2)内存在零点，则实数a的取值范围是()A．(，) B．(，) C．(，) D．(，)变式2．若函数在内恰有一解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．例6．若函数的零点是2，则函数的零点是（）A．0，2 B．0， C．0， D．2，变式1．若函数f（x）＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是（）A．－1和B．1和C.和 D．和变式2．若二次函数的两个零点分别是和，则的值为________例7．已知二次函数在上有且只有一个零点,则实数的取值范围（）A． B． C． D．变式1．已知函数f（x）＝﹣2x2+8x+a在区间[﹣3，2]上存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣8，42） B．（﹣8，﹣6] C．[﹣8，﹣6] D．[﹣8，42]变式2．如果二次函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．B．C． D．考点六：二分法例8．下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A．B．C． D．变式1．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是()A．B．C． D．变式2．下列函数的图象均与轴有交点，其中不宜用二分法求交点横坐标的是（）．A． B．C． D．例9．用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点，第二次应计算，以上横线应填的内容依次为（）A． B．C． D．变式1．某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为A．f（0.5） B．f（1.125）C．f（1.25） D．f（1.75）变式2．用二分法求函数在区间上的零点近似值取区间中点2，则下一个存在零点的区间为（）A． B． C． D．例10．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5变式1．为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值，如表所示：

1.25

1.3125

1.375

1.4375

1.5

1.5625

－0.8716

－0.5788

－0.2813

0.2101

0.32843

0.64115

则方程的近似解（精确到0.1）可取为A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3变式2．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示，则方程的近似解（精确度0.1）可取为（）232.52.752.6252.56251.09860.5120.2150.066A．2.52 B．2.625 C．2.47 D．2.75巩固练习1．函数f（x）＝x2＋4x＋4在区间[－4，－1]上（）A．没有零点 B．有无数个零点C．有两个零点 D．有一个零点2．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是（）A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点3．函数的实数解落在的区间是()A． B． C． D．4．函数的零点所在的区间是()A． B． C． D．5．已知函数f（x）=–3x2+2x–m+1．（1）若x=0为函数的一个零点，求m的值；（2）当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．6．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．7．函数零点的个数为_____________..8．函数存在零点，则的取值范围是________.9．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．10．若函数只有一个零点，则的值为__________．11．函数的两个零点为，，则____________.12．下列函数中能用二分法求零点的是（）A． B．C． D．13．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根区间是__________________14．已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（）A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.0663.5函数与方程答案典例解析例1．（1）；（2）和．变式1．（1）；（2）不存在零点.变式2．4例2D变式1C变式2．D例3．D变式1．B变式2．D例4：－eq\f(19,13)<m<0变式1：eq\f(1,2