湘教版八年级上册数学4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边） 教学课件（25秋新教材）

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件湘教版八年级上册数学（25秋新教材）4.3全等三角形第4章三角形4.3.2

全等三角形的判定(SAS)学习目标1.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生识图、分析图形的能力；2.能运用“边角边”证明简单的三角形全等问题.（重点、难点）ABCDEF1.

什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.3.已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角.①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F2.

全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等.

如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证△ABC≌△DEF吗?想一想：即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．探究活动1：一个相等的条件可以吗？（1）有一条边相等的两个三角形不一定全等（2）有一个角相等的两个三角形不一定全等结论：只有一个相等条件不能保证两个三角形全等.利用“SAS”判定三角形全等1有两个分别相等的条件也不能保证三角形全等.不一定全等探究活动2：两个相等的条件可以吗？3cm4cm不一定全等3cm4cm不一定全等30°

6cm结论：(1)有两个角分别相等的两个三角形(2)有两条边分别相等的两个三角形(3)有一个角和一条边分别相等的两个三角形6cm30°60°30°30°60°

每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边长分别为2cm，2.5cm.将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？50°2cm2.5cm50°2cm2.5cm探究活动3：已知两边及其夹角可以吗？

下面我们利用平移、旋转、轴对称知识来证明上述猜测成立.设在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC=∠A′B′C′，

我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.ABCAB=A′B′，BC=B′C′.

A′B′C′第一步，如图，将△ABC

沿射线

BB′

的方向平移，平移的距离等于线段

BB'

的长度.ABCA1B'C1在这个平移下，将△ABC

的像记为△A1B1C1，则点B

的像（点B1）与点B

重合，且△A1B1C1≌△ABC，从而

B1C1=BC，B1A1=BA，∠A1B1C1=∠ABC.A′C′(B1)从而

B2A2=B1A1，B2C2=B1C1.又

B1C1=BC，BC=B'C'，则

B'C2

=B'C'，于是点

C2

与点

C'

重合.又∠A2B2C2=∠A1B1C1，∠A1B1C1=∠ABC，∠ABC=∠A'B'C'，所以∠A2B2C2=∠A'B'C'.ABCA1C1A2B'(B1)(B2)A′C′(C2)第二步，如图，将△A1B1C1绕点

B'

旋转，旋转角的大小等于∠C1B'C'.在这个旋转下，将△A1B1C1的像记为△A2B2C2，则点

B1的像（点B2）与点

B'

重合，点

C1的像(点C2)在射线

B'C'

上，且△A2B2C2≌△A1B1C1，ABCA1C1A2B'(B1)(B2)A′C′(C2)(C3)(B3)(A3)第三步，如图，作△A2B2C2关于直线

B'C'

成轴对称的图形，将其像记为△A3B3C3，由于点

B2与点

B'

重合，且均在对称轴

B'C'

上，因此点

B2的像（点B3）与点

B'

重合.同理可得，点

C2

的像（点C3）与点

C'

重合.又

△A3B3C3≌△A2B2C2，于是∠A3B3C3=∠A2B2C2.又∠A2B2C2=∠A'B'C'，所以∠A3B3C3=∠A'B'C'.又点

B3，C3分别与点

B'，C'

重合，从而∠A3B3C3=∠A3B'C'，于是∠A3B'C'=∠A'B'C'，因此射线

B'A3与射线

B'A'

重合.又

B3A3=B2A2，B2A2=B1A1，B1A1=BA，BA=B'A'，于是

B3A3=B'A'=B'A3，因此点

A3与点

A'

重合.所以△A3B3C3与△A′B′C′重合，即△A3B3C3≌△A′B′C′.又△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1≌△A2B2C2，△A2B2C2≌△A3B3C3，因此△ABC≌△A'B'C'.我们将上述猜测称为全等三角形的判定定理（边角边)ABCA1C1A2B'(B1)(B2)A′C′(C2)(C3)(B3)(A3)在△ABC

和△DEF

中，所以△ABC≌△DEF(边角边)．文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”(SAS).“边角边”判定三角形全等的方法几何语言：AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，ABCDEF必须是两边“夹角”知识要点

例1

如图，AB和

CD相交于

O，且

AO=BO，CO=DO.求证：△ACO≌△BDO.分析:△ACO≌△BDO.边:角:边:AO=BO(已知)，∠AOC=∠BOD(对顶角相等)，(边角边)CO=DO(已知).？典例精析证明：在△ACO和△BDO中，∴△ACO≌△BDO(边角边).AO=BO，∠AOC=∠BOD

(对顶角相等)，CO=DO，方法小结：证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐含的条件，如对顶角相等、公共角（边）相等这些.例2

如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD，那么△ABD

和△CBD

全等吗？分析:△ABD≌△CBD边:角:边:AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，？ABCDBD=BD(公共边).解：在△ABD

和△CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，∴△ABD≌△CBD(边角边).BD=BD(公共边)，变式1：已知：如图，AB=CB，∠1=∠2.求证：AD=CD，DB

平分∠ADC.ADBC1243在△ABD

与△CBD

中，证明：∴△ABD≌△CBD(边角边).AB=CB(已知)，∠1=∠2(已知)，BD=BD(公共边)，∴

AD=CD，∠3=∠4.∴DB

平分∠ADC.ABCD变式2：如图，AD=CD，DB平分∠ADC，求证：∠A=∠C.12在△ABD

与△CBD中，证明：∴△ABD≌△CBD(边角边).AD=CD(已知)，∠1=∠2(已证)，BD=BD(公共边)，∴∠A=∠C.∵DB

平分∠ADC，∴∠1=∠2.想一想：

如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？B

A

CD△ABC和△ABD满足AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但它们并不全等.画一画：画△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm，AC=DF=3cm.观察所得的两个三角形是否全等？

有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.结论ABC30°DEF1F230°3cm3cm1.在下列图中找出全等三角形进行连线.Ⅰر30°8cm9cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30°ر8cm5cmⅢر30°8cm8cmⅢⅦر30°8cm9cmⅤ30°ر8cm5cmⅢر30°8cm8cmⅥⅣⅧ8cm5cm∴

AE+EF=CF+EF，即

AF=CE.2.如图，点

E、F在

AC上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF.求证：△AFD≌△CEB.

FABDCE证明：∵

AD∥BC，∴∠A=∠C.∵

点

E、F在

AC上，AE=CF，在△AFD和△CEB中，AD=CB(已知)，∠A=∠C(已证)，AF=CE(已证)，

∴△AFD≌△CEB(边角边).3.如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA，求证：BC=AD.ABCD证明：在△ABC与△BAD中

AC=BD∠CAB=∠DBAAB=BA∴△ABC≌△BAD(边角边).(已知)，(已知)，(公共边)，∴

BC=AD(全等三角形的对应边相等).4.小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，

ED=FD

，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道

EH=FH吗？与同桌进行交流.EFDH解：能.在△EDH和△FDH中，