湘教版八年级上册数学5.1 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用 教学课件（25秋新教材）

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课

件湘教版八年级上册数学（25秋新教材）第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用5.1直角三角形的性质定理

第5章直角三角形1.理解和掌握含30°角的直角三角形的性质和应用；

（重点）2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培

养逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．（难点）学习目标问题1

如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到

Rt△ABC的直角边

BC与斜边

AB之间的数量关系吗？（提示：请点击拼接和分离）分离拼接ABCDA'C'问题2

剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？动手：用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.含30°角的直角三角形的性质结论：短直角边=斜边ABCD如图，△ADC是

△ABC的轴对称图形，因此

AB=AD，∠BAD=2×30°=60°，从而

△ABD是一个等边三角形.再由

AC⊥BD，可得

BC=CD=BD=AB.合作探究证明：取线段

AB

的中点

D，连接

CD.∵CD为Rt△ABC

斜边

AB

上的中线，A30°BCD∵∠BCA=90°，且∠A

=30°，∴∠B=60°.∴△CBD为等边三角形.证明方法：中线法证法1证明：在

△ABC

中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，

∴∠B=60°．延长

BC到

D，使

BD=AB，连接

AD，则△ABD

是等边三角形．ABCD

∴BC=BD=AB．

30°)证明方法：倍长法证法2)证明：在

BA

上截取

BE

=

BC，连接

EC.

∵∠B

=60°，BE

=

BC.∴△BCE

是等边三角形，

∴∠BEC

=60°，BE

=

EC.∵∠A

=30°，∴∠ECA

=

∠BEC

-∠A

=

60°

-

30°=

30°.∴AE

=

EC，∴AE

=

BE

=

BC，∴AB

=

AE

+

BE

=

2BC.EABC∴BC=AB．

30°证明方法：截半法证法3含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.应用格式：因为在

Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

ABC所以BC=AB．

)30°知识要点(1)直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．

(2)三角形中30°角所对的边等于最长边的一半.

(3)直角三角形中最小的直角边是斜边的一半.

(4)直角三角形的斜边是30°锐角所对直角边的2倍．√想一想例1

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边

AB上的高，AD＝3cm，则

AB的长度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．D解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边

AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.典例精析∵∠B=∠ACB=15°

(已知)，∴∠DAC=∠B+∠ACB

=15°+15°

=30°，例2

已知：等腰三角形的底角为

15°，腰长为

20.

求腰上的高.ACBD15°15°20解：过

C作

CD⊥BA交

BA的延长线于点

D.))∴CD=AC=×20=10.方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含

30°

角的直角三角形来解决．

分析：如图，取轮船航向所在的直线为

OB

.过点

A

作

AD⊥OB

，垂足为D.

AD

的长为

A

岛到轮船航道的最短距离，若

AD

大于

20

海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险.典例精析

(方法一)解：如图，取线段

AB的中点

D，连接

CD.∵CD是Rt△ABC斜边

AB上的中线，∴CD=AB=BD=BC，即△BDC为等边三角形．∴∠B=60°.∵∠B+∠A=90°，∴∠A=30°.例4如图，在Rt△ABC中，如果

BC=AB，求证∠A=30°.D(方法二)如图，延长

BC

到

F，使

CF

=

BC，连接

AF所以

BF

=

AB，因此

BF

=

AB

=AF，即△ABF

是等边三角形.所以∠B

=

60°，因此∠CAB=90°

-∠B

=

30°.因为

∠BCA

=

90°，BC

=

CF，所以

AC

垂直平分

BF，于是

AB=AF(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于

30°.应用格式：∵在

Rt△ABC中，∠C=90°，

ABCBC=AB．

)30°∴∠A=30°要点归纳例5如图所示，在四边形

ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且

AC＝BC，求∠DAC的度数．解：∵AB⊥AC，

∴∠CAB＝90°.∵AC＝BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝

∠CBA＝30°．∴∠DAC

＝∠CAB＋∠BAD＝120°.1.如图，一棵树在一次强台风中，于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米B2.如图，在

△ABC

中，∠ACB=90°，CD

是高，

∠A=30°，AB=4．则

BD的长为

.A

B

C

D

13.

在

△ABC

中，∠A∶∠B∶∠C

=

1∶2∶3，若

AB

=

10，则

BC

的长为

.54.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则

AB=______cm.ACB8第4题图5.在△ABC

中，∠C

=

90°，∠B

=

15°，DE

是

AB

的垂直平分线，BE

=

5，求

AC

的长．解：连接

AE，

∵DE

是

AB

的垂直平分线，∴BE

=

AE，∴∠B

=

∠EAB

=

15°，∴∠AEC

=

30°，∵∠C

=

90°，∴AC

=

AE=BE

=

2.5．ACBED证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°.∵D

是

BC

的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°.∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.∴AB=4AE.∴BE=3AE.6.在△ABC