152 分段计费与方案选择

C06-11·分段计费与方案选择｜第1页专项练习C06-11·分段计费与方案选择苏科版（2024）数学七年级上册第4章一元一次方程专项突破（阶梯计费与方案比较）姓名：____________班级：____________日期：____________得分：__________答题说明本卷共10题，全部为解答题，满分100分，建议用时90分钟。难度按「中档3题+较难4题+压轴3题」编排，各题分值已标于题号后。本卷主题为分段计费与方案选择：阶梯水价与电价、出租车分段计价、两种套餐的临界用量、两种出行方式的费用比较，压轴题为「已知三段阶梯计费的总费用，反求用量并判断落在哪一阶梯」。解答须写出分段依据、方程与分类讨论过程，只写答案不给分。每题所配示意图均按题干真实数据绘制，图中的分界用量、各段单价与固定费用即为已知条件，图上不标任何答案数值。1．（8分·中档）某市自来水公司实行阶梯水价：每户每月用水量不超过12m³的部分，每立方米2.5元；超过12m³的部分，每立方米3.8元。设某户某月用水量为x（m³），应缴水费为y（元）。（1）某户本月用水8m³，求该户本月应缴水费。（3分）（2）某户本月用水20m³，求该户本月应缴水费。（3分）（3）某户本月缴水费41.4元，求该户本月的用水量。（2分）2．（8分·中档）某市出租车的计费规则为：起步价8元（含3公里）；超过3公里但不超过10公里的部分，每公里1.6元；超过10公里的部分，每公里2.4元。行驶里程按整公里计，不足1公里按1公里计，且不计等候费与返空费。设行驶里程为x公里，车费为y元。（1）求行驶6公里时的车费。（3分）（2）求行驶15公里时的车费。（3分）（3）某乘客付车费24元，求这次乘车的行驶里程。（2分）3．（8分·中档）某停车场按停车时长收费：停车不超过1小时的，收8元；超过1小时但不超过4小时的部分，每小时5元；超过4小时的部分，每小时3元。停车时长按整小时计，不足1小时按1小时计。每辆车每日收费封顶45元。设停车时长为t小时，收费为w元。（1）求停车3小时与7小时分别应缴的费用。（3分）（2）求停车11小时与12小时分别应缴的费用。（3分）（3）某车主缴费41元，求其停车时长。（2分）4．（10分·较难）某通信公司推出两种手机流量套餐。套餐A：月租38元，含20GB流量，超出部分每GB5元；套餐B：月租58元，含40GB流量，超出部分每GB3元。两种套餐超出部分均按整GB计费，不足1GB按1GB计，月租不与流量叠加。设某用户每月使用流量gGB（g为正整数），按套餐A付费为a元，按套餐B付费为b元。（1）分别求g=30时两种套餐的费用，并指出哪种更省。（3分）（2）分别求g=50时两种套餐的费用，并指出哪种更省。（3分）（3）求两种套餐费用相同的流量，并写出g在不同范围内应选哪种套餐。（4分）5．（10分·较难）某市从今年起对居民生活用水实行三级阶梯水价：每户每月用水量不超过20m³的部分，每立方米2元；超过20m³但不超过30m³的部分，每立方米2.8元；超过30m³的部分，每立方米4元。设某户某月用水量为x（m³），应缴水费为y（元）。（1）分别求用水25m³与35m³时的水费。（3分）（2）写出y关于x的分段表达式（按三个阶梯分别写出）。（3分）（3）某户本月缴水费92元，求该户本月的用水量。（4分）6．（10分·较难）从甲地到乙地有两种出行方式。出租车甲：起步价10元（含3公里），超过3公里但不超过10公里的部分每公里2元，超过10公里的部分每公里3元，无其他费用。网约车乙：不设起步里程，每公里2.5元，另收平台服务费2元。两种方式的里程均按整公里计，不足1公里按1公里计。设里程为d公里（d为正整数），乘甲车需m元，乘乙车需n元。（1）求d=8时两种方式的费用，并指出哪种更省。（3分）（2）求两种方式费用相同的里程。（4分）（3）求d=18时两种方式的费用之差。（3分）7．（10分·较难）某市居民管道燃气实行阶梯气价：每户每月用气量不超过50m³的部分，每立方米2.2元；超过50m³但不超过120m³的部分，每立方米2.6元；超过120m³的部分，每立方米3.4元。此外每户每月固定收取服务费5元，服务费不计入阶梯气价。设某户某月用气量为x（m³），应缴费为y（元）。（1）分别求用气80m³与150m³时应缴的费用。（3分）（2）某户本月缴费245元，求该户本月的用气量。（3分）（3）某户本月缴费297元，判断其用气量落在哪一阶梯，并求用气量。（4分）8．（12分·压轴）某市居民用电实行阶梯电价：每户每月用电量不超过200度的部分，每度0.55元；超过200度但不超过400度的部分，每度0.60元；超过400度的部分，每度0.85元。设某户某月用电量为x（度），应缴电费为y（元）。（1）分别求用电150度与350度时的电费。（3分）（2）某户本月缴电费200元，求该户本月的用电量。（3分）（3）某户本月缴电费272.5元，求该户本月的用电量。（6分）9．（12分·压轴）某工厂某月共用电5000度，其中峰时电价为每度0.62元，谷时电价为每度0.32元。设该月谷时用电量为x度，当月总电费为W元。（1）求全部在峰时用电与全部在谷时用电两种极端情形下的电费。（3分）（2）写出W关于x的表达式，并求x=2000与x=1000时的电费。（3分）（3）若该月电费为2350元，求谷时用电量；并判断该月电费能否为1500元，说明理由。（6分）10．（12分·压轴）某小区对居民用水按三级阶梯计价，并另收固定基本费：每户每月用水量不超过15m³的部分，每立方米2.4元；超过15m³但不超过25m³的部分，每立方米3.6元；超过25m³的部分，每立方米6元。此外每户每月固定收取基本费6元，基本费不计入阶梯水价。设某户某月用水量为x（m³），应缴费用为y（元）。（1）分别求用水18m³与32m³时应缴的费用。（3分）（2）某户本月缴费60元，求该户本月的用水量。（3分）（3）某户本月缴费96元，先判断用水量落在哪一阶梯，再求用水量。（6分）——题目到此结束·参考答案与速解技巧见下页——

参考答案与速解技巧C06-11·分段计费与方案选择专项｜苏科版（2024）七年级上册·第4章一元一次方程第1题（8分·中档）【标准解答】（1）因为8≤12，8m³全部按第一阶梯计价。y=8×2.5=20。答：应缴水费20元。（2）20m³中前12m³按2.5元计，超出的8m³按3.8元计。y=12×2.5+(20−12)×3.8=30+30.4=60.4。答：应缴水费60.4元。（3）先算第一阶梯满额水费：12×2.5=30（元）。因为41.4>30，所以用水量超过12m³，超出部分按3.8元计价。设用水量为xm³，则30+3.8(x−12)=41.4，3.8(x−12)=11.4，x−12=3，x=15。检验：12×2.5+3×3.8=30+11.4=41.4，符合。答：用水15m³。【速解技巧】①阶梯计费先算「分界点费用」，把12m³的30元、20m³的60.4元记在草稿上，再拿题给费用去比，一步就定出落在哪一段。②反求用量只有一句方程：分界点费用+超段单价×超出量=总费用。切忌用总费用直接除以某一档单价。③算出结果必须回代：本题15m³超过12m³才成立；若算出小于12的数，说明先前判段错了。第2题（8分·中档）【标准解答】（1）6公里超过3公里、不超过10公里，超出3公里。y=8+(6−3)×1.6=8+4.8=12.8。答：车费12.8元。（2）15公里超过10公里，车费由三段组成：起步价、3～10公里的7公里、超过10公里的5公里。y=8+(10−3)×1.6+(15−10)×2.4=8+11.2+12=31.2。答：车费31.2元。（3）先算两个分界点的车费：3公里为8元；10公里为8+7×1.6=19.2（元）。因为24>19.2，所以里程超过10公里。设里程为x公里，19.2+2.4(x−10)=24，2.4(x−10)=4.8，x−10=2，x=12。答：行驶里程12公里。【速解技巧】①出租车题的固定动作：把3公里、10公里两个「跳表点」的车费先算出（8元、19.2元），题给费用一比较就知道在哪一段。②分段累加式是「起步价+各段里程×各段单价」，每段的里程要用「本段上限−本段下限」算，不能拿总里程直接乘。③不足1公里按1公里计，意味着反求出的里程必须是整数；算出小数就说明这一段判断有误。第3题（8分·中档）【标准解答】（1）3小时：首小时8元，另2小时每小时5元，w=8+2×5=18（元）。7小时：前4小时为8+3×5=23（元），超过4小时的3小时每小时3元，w=23+3×3=32（元）。答：停车3小时缴18元，停车7小时缴32元。（2）11小时：23+7×3=44（元）。12小时：按分段计为23+8×3=47（元），但每日封顶45元，故实收45元。答：停车11小时缴44元，停车12小时缴45元。（3）先算分界点：1小时为8元，4小时为8+3×5=23（元）。因为41>23，所以停车超过4小时。设停车t小时，23+3(t−4)=41，3(t−4)=18，t−4=6，t=10。检验：10小时的分段费用为41元，未超过45元封顶，成立。答：停车10小时。【速解技巧】①「封顶」是分段函数外面再套一层min：先把分段费用算出来，再与封顶值比较取较小者，不能一上来就用封顶值。②反求时长先比8元、23元两个分界费用，41元大于23元即落在第三段。③得出根后必查是否触顶：若解出的分段费用大于封顶值，则实际缴费被压到封顶值，此时不能唯一反求时长，要说明「封顶后无法确定」。第4题（10分·较难）【标准解答】（1）g=30时，套餐A超出30−20=10GB：a=38+10×5=88（元）。套餐B的30GB未超过40GB，b=58（元）。因为58<88，所以选套餐B更省，省88−58=30元。（2）g=50时，套餐A超出30GB：a=38+30×5=188（元）。套餐B超出10GB：b=58+10×3=88（元）。因为88<188，所以选套餐B更省，省188−88=100元。（3）两套餐的「包含量」不同（20GB与40GB），必须按g所在区间分别列方程。①当0<g≤20时：a=38，b=58，a≠b，无解。②当20<g≤40时：a=38+5(g−20)，b=58。由38+5(g−20)=58得5(g−20)=20，g=24，落在本区间内。③当g>40时：a=38+5(g−20)=5g−62，b=58+3(g−40)=3g−62。由5g−62=3g−62得g=0，不在本区间，无解。故只有g=24时两套餐费用相同，此时均为58元。比较：0<g<24时a<b，选套餐A；g=24时相同；g>24时b<a，选套餐B。【速解技巧】①套餐比较题先把「月租」「包含量」「超出单价」三件事列成一张小表，两个套餐的包含量不同，方程必须分区间列，不能只列一个。②交点只在「两个套餐都处于超出状态」或「一个超出、一个未超出」的区间里才可能出现；每个根都要回代检查是否落在所设区间。③结论要写成「区间+选择」三段式：小于临界选便宜的月租，大于临界选包含量大的，等于临界两者相同。第5题（10分·较难）【标准解答】（1）25m³：前20m³按2元，超出5m³按2.8元，y=20×2+5×2.8=40+14=54（元）。35m³：前20m³为40元，20～30m³的10m³为28元，超过30m³的5m³按4元，y=40+28+5×4=88（元）。答：用水25m³缴54元，用水35m³缴88元。（2）第一阶梯末端：20×2=40（元）；第二阶梯末端：40+10×2.8=68（元）。当0<x≤20时，y=2x；当20<x≤30时，y=40+2.8(x−20)=2.8x−16；当x>30时，y=68+4(x−30)=4x−52。（3）两个分界费用为40元与68元。因为92>68，所以用水量超过30m³。设用水xm³，由4x−52=92得4x=144，x=36。检验：20×2+10×2.8+6×4=40+28+24=92，符合。答：用水36m³。【速解技巧】①写分段表达式前，先把各阶梯末端的累计费用算出来（40元、68元），这两个数是分段的分界值，也是后面判段的依据。②表达式必须带区间；写成y=2x而不写0<x≤20，等于把整条式子当成全程适用，是本题最常见的失分点。③反求用量时，把92与40、68逐一比较，一次定段，再用该段的式子解一元一次方程，最后回代。第6题（10分·较难）【标准解答】（1）d=8：甲车8公里在3～10公里之间，m=10+(8−3)×2=20（元）。乙车n=2.5×8+2=22（元）。因为20<22，所以乘甲车更省，省2元。（2）按d所在区间分别比较，甲车的分段点为3公里与10公里。①当0<d≤3时：m=10，n=2.5d+2。由2.5d+2=10得d=3.2，不在本区间，舍去。②当3<d≤10时：m=10+2(d−3)=2d+4。由2d+4=2.5d+2得0.5d=2，d=4，在本区间内。③当d>10时：m=24+3(d−10)=3d−6。由3d−6=2.5d+2得0.5d=8，d=16，在本区间内。答：d=4公里与d=16公里时两种方式费用相同。（3）d=18超过10公里：m=24+3×8=48（元），n=2.5×18+2=47（元）。m−n=48−47=1。答：乘甲车比乘乙车多1元，即乙车省1元。【速解技巧】①「两种方式费用相同」本质是两条分段函数的交点，须按甲车的分界点分成3段讨论，每段解出的根都要回到本段验区间。②弃根有据可查：d=3.2是从「3公里以内」这段解出的，但该段只允许d≤3，故舍去；不写这句就是白丢分。③交点通常有两个（本题4公里与16公里），说明「谁更省」不是一句话，而要按区间分段作答：中间段甲省、两端乙省。第7题（10分·较难）【标准解答】（1）80m³：前50m³为50×2.2=110（元），50～80m³的30m³按2.6元为78元，再加服务费5元。y=110+30×2.6+5=110+78+5=193（元）。150m³：前两阶梯满额为110+70×2.6=292（元），超过120m³的30m³按3.4元。y=292+30×3.4+5=292+102+5=399（元）。答：分别缴193元与399元。（2）先扣掉固定服务费：245−5=240（元）。两个分界额：50m³为110元，120m³为292元。因为110<240≤292，所以用气量在第二阶梯。设用气xm³，110+2.6(x−50)=240，2.6(x−50)=130，x−50=50，x=100。检验：110+50×2.6+5=110+130+5=245，符合。答：用气100m³。（3）扣掉服务费：297−5=292（元）。与分界额比较：292恰等于第二阶梯末端120m³的累计气价（110+70×2.6=292），说明用气量正好落在第二阶梯的末端，即x=120m³，而不是进入第三阶梯。检验：若x=120，y=292+5=297；若取120+1=121m³，y=292+3.4+5=300.4，已超过297。故只有x=120。答：用气量落在第二阶梯（其末端），用气120m³。【速解技巧】①有固定费用的题，第一步永远是「总费用−固定费」，把固定费剥离后再套阶梯；固定费若按阶梯单价去算，整题必错。②剥离后的金额要与各阶梯的累计额（110元、292元）逐一比较，落在哪一档一目了然。③恰好等于分界额时，答案是分界点的用量，要写明「落在第几阶梯的末端」，并取相邻的更大用量回代验证，证明没有跨段。第8题（12分·压轴）【标准解答】（1）150度未超过200度，全部按0.55元：y=150×0.55=82.5（元）。350度超过200度、不超过400度：y=200×0.55+150×0.60=110+90=200（元）。答：用电150度缴82.5元，用电350度缴200元。（2）两个分界额：200度为110元，400度为110+200×0.60=230（元）。因为110<200≤230，所以用电量在第二阶梯。设用电x度，110+0.60(x−200)=200，0.60(x−200)=90，x−200=150，x=350。检验：200×0.55+150×0.60=110+90=200，符合。答：用电350度。（3）因为272.5>230，所以用电量超过400度，落在第三阶梯。设用电x度，230+0.85(x−400)=272.5，0.85(x−400)=42.5，x−400=50，x=450。检验：110+120+50×0.85=110+120+42.5=272.5，符合。答：用电450度。【速解技巧】①三级阶梯题只需背两句话：各阶梯末端累计额（本题110元、230元），以及「累计额+本段单价×超出量=总费用」。②判段先比累计额，再解方程；顺序颠倒就会用错单价，且往往算出负数。③小数单价的题算完必须回代到「整钱+分段乘积」，本题42.5÷0.85=50是整数，说明计算无误；若除不尽，一定是判段错了。第9题（12分·压轴）【标准解答】（1）全部在峰时，即x=0：W=5000×0.62=3100（元）。全部在谷时，即x=5000：W=5000×0.32=1600（元）。答：两种极端情形分别为3100元与1600元。（2）峰时用电量为(5000−x)度，故W=0.62(5000−x)+0.32x=3100−0.30x。x=2000时，W=3100−0.30×2000=3100−600=2500（元）。x=1000时，W=3100−0.30×1000=3100−300=2800（元）。答：表达式为W=3100−0.30x，两种情形分别缴2500元与2800元。（3）由3100−0.30x=2350得0.30x=750，x=2500，且0≤2500≤5000，符合实际。答：谷时用电2500度（此时峰时也是2500度）。关于1500元：由W=3100−0.30x知W随x增大而减小，x最大取5000时W取最小值1600元。因为1500<1600，所以该月电费不可能为1500元。【速解技巧】①「总量固定、两类单价不同」的题，设其中一类为x，另一类就是「总量−x」，一步就把两个未知量并成一个。②化简后是一次函数W=3100−0.30x，斜率−0.30就是「谷时比峰时每度便宜的钱」，增减性由此一眼看出。③判断「电费能否为某值」要用最值：把x的两个端点代入得3100与1600，超出这个范围的费用都不可能实现。第10题（12分·压轴）【标准解答】（1）18m³：15×2.4=36（元），超出3m³按3.6元为10.8元，再加基本费6元。y=36+3×3.6+6=36+10.8+6=52.8（元）。32m³：前两阶梯为36+10×3.6=72（元），超过25m³的7m³按6元。y=72+7×6+6=72+42+6=120（元）。答：分别缴52.8元与120元。（2）先剥离基本费：60−6=54（元）。两个分界额：15m³为36元，25m³为36+10×3.6=72（元）。因为36<54≤72，所以用水量在第二阶梯。设用水xm³，36+3.6(x−15)=54，3.6(x−15)=18，x−15=5，x=20。检验：36+5×3.6+6=36+18+6=60，且20在15<x≤25内。答：用水20m³。（3）剥离基本费：96−6=90（元）。判段：第一阶梯末端36元，第二阶梯末端72元。因为90>72，所以用水量超过25m³，落在第三阶梯。设用水xm³，由72+6(x−25)=90得6(x−25)=18，x−25=3，x=28。检验：72+3×6+6=96，且28>25，与所判阶梯一致。答：用水28m³。说明：若把90误当成落在第二阶梯，用36+3.6(x−15)=90会得x=30，但30已超过25，与第二阶梯矛盾，故必须舍去。【速解技巧】①三段阶梯+固定费的题，处理顺序固定：先剥固定费，再算两个阶梯末端累计额（36元、72元），最后判段解方程。②判段是本题全部分数的关键：90元大于72元即进第三阶梯，用错段就算出「30m³」这种自相矛盾的假根。③每条根都要做双重检验：数值代入总费用是否吻合，以及用量是否落在所设区间内。两者都过，才是唯一解。

《本专项速解规律总结》本专项以「分段计费与方案选择」为主线：从两段阶梯的水费、出租车计价，到三段阶梯的电费、燃气费与含固定费的综合计费，再到两种套餐、两种车型的临界用量比较，最后落到「已知总费用反求用量并判断落在哪一阶梯」。以下7条是把整卷压成几句话的速解规律，复习时先背这7条，再回看具体题目。规律一·阶梯计费只有三个数：分界用量、分界费用