微积分（上册）（第3版）课件 1-2 函数

一、映射第二节函数二、逆映射与复合映射三、函数的概念四、函数的几种特性五、小结一、映射1.定义设X与Y是两个非空集合，f是一个对应法则.如果对于任何一个x∈X，按照对应法则f，都有惟一确定的

y

∈Y和它对应，则称f为集合X到集合Y的映射，记为将x的对应元y记作并称y为映射f下x的像，而x称为映射f下y的原像(或称为逆像).集合X称为映射f的定义域，记作，而X的所有元素的像f(x)的集合称为映射f的值域，记为.例1设A={商场中的所有商品}，B={商场中商品九月份的销量}，则是一个映射，

有唯一确定的

y=f(x)与之对应.

概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素

需要指出的是

（1）映射要求元素的像必须是唯一的.

（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.(3)对应法则f:2.定义设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆像也是唯一的，即对X

中的任意两个不同元素x1≠x2，它们的像y1与y2

也满足y1≠y2

，则称f为单射；

如果映射f满足Rf=Y

，则称f为满射；

如果映射f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称一一映射）.

例2设X={1，2，…，n，…}，Y={1，3，…，

2n-1，…}，对于任何一个n∈X，按照对应法则f得到2n-1∈Y，则映射f:X→Y是一一映射.值得注意的是:Y是X的子集，Y中的元素似乎比X中的元素个数“少”，但实际是，在无限集合中，“部分可以等于整体”.这是无限集合的一个特性.■二、逆映射与复合映射1.逆映射

如果映射f:X→Y是一一映射，则对于每一个y∈Y,在X中存在惟一的x与y对应,满足y=f(x),这样就有映射构成了从Y到X

的映射,称为映射f的逆映射,记为f-1.例3设A={1，2，3}，B={4，5，6}，则既是单射，又是满射，存在逆映射2.复合映射则对于每一个x∈X,就可以构造出一个从X到Z的新映射和称为g与f的复合映射.例4因此不能构成复合映射但若将g的定义域缩小，就有可能构成复合映射.比如令则可以构成复合映射■因变量自变量三、函数的概念X称为函数f的定义域，记作Df，即Df=

X

.函数值的全体构成的数集称为值域，记为：的映射f:X→Y为定义在X上的函数,记为设非空数集XR,YR,称从X到Y自变量因变量对应法则f2.函数的两要素定义域与对应法则.约定:定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值.例5

求函数的定义域.解要使函数有意义，必须有即所以定义域为

函数的表示方法：1、公式法；2、表格法；3、图形法；4、语言叙述法。定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．是多值函数.3.几个特殊的函数举例(1)绝对值函数xyo(2)符号函数1-1xyo显然对于任意x∈R,有(3)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线显然:有理数点无理数点•1xyo(4)狄利克雷(Dirichlet)函数(5)最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例6解■M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性四、函数的几种特性例7证明函数在区间(1,2)内是有界的,在(0,1)内是无界的.证明若取M=1,则对于都有所以函数f(x)在(1,2)内是有界的.对于任何正数M(不妨设M>1),取则有所以函数f(x)在(0,1)内是无界的.2．函数的单调性xyoxyo例8确定函数

的单调区间.解对于有当从而因此在上单调减少.综上所述,的单调区间为及[).因此在[

)上单调增加.当从而3．函数的奇偶性偶函数yxox-x奇函数yxox-x例9判断函数

的奇偶性.解函数f(x)的定义域为对由于所以函数