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文档简介

一、函数极限的定义三、小结二、函数极限的性质第二节函数的极限一、函数极限的定义

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。

下面，我们将主要研究以下两种情形：(1)自变量x无限接近于定值x0,但不等于x0,即|x-x0|充分小但不等于零,称为x趋向于x0,记作x→x0.

它有两种情形,一种是变量x从左边无限接近于定值x0,但不等于x0,记作x→x0-.一种是变量x从右边无限接近于定值x0,但不等于x0,记作x→x0+.(2)自变量x的绝对值|x|无限增大,称作x趋向于无穷大,记作x→∞.

它也有两种情形,一种是变量x向正方向无限增大,即x取正数且无限增大,记作x→+∞.另一种是变量x向负方向无限减小,即-

x取正数且无限增大,记作x→

-∞.

下面就自变量的上述几种变化趋势,分别讨论函数f(x)的极限.1.自变量趋于有限值时函数的极限①定义

设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义(在x0处可以没有定义),

A为常数.如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当0<|x-x0|

<δ时,恒有不等式|

f(x)-

A|<ε成立,则称函数f(x)当x趋向于x0时有极限A,或f(x)在x0处有极限A,记作②几何解释

注意

例1证对于只需取δ=ε,当0<|x-x0|<δ时,便有例2证对于只需取δ=ε,当0<|x-0|<δ时,便有例3证函数在点x=1处没有定义.【分析】例4证③单侧极限例如,左极限右极限左右极限统称为单侧极限.左右极限都存在但不相等,例5证例6设讨论当x→0时,函数f(x)的极限是否存在.证当x<0时,有当x>0时,有由于因此有播放2.自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题

如何用数学语言刻划函数“无限接近”.①定义

设函数f(x)在点|x|≥b≥0上有定义,A为一个常数.如果对于任意给定的正数ε,总存在正数X>b,使得当|x|

>X时,有|

f(x)-

A|<ε成立,则称函数f(x)当x→∞时有极限A,也称函数f(x)当x→∞时收敛于A.记作②两种情形

③几何解释

f(x)水平渐近线例7证例8证只需–x<lnε

,即x>–lnε=

二、函数极限的性质定理2（极限的局部有界性）定理1（极限的惟一性）

值得注意的是,如果数列收敛,则这个数列有界.但如果函数有极限,则一般只能得到此函数的“局部有界”的结论.

例如,我们知道

但是它只是局部有界的,而在定义域

内是无界的.定理3(极限的局部保号性)推论1【定理】(Heine定理)函数极限与数列极限的关系常用海涅定理来判断函数在某变化过程中的极限不存在.【注】例9证二者不相等,三、小结函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函

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