北京市燕山教育集团2026－2027学年第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页北京市燕山教育集团2026－2027学年第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中,是中心对称图形的是(

)A. B.

C. D.2.平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（

）A. B. C. D.3.若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A.﹣16 B.﹣4 C.4 D.164.若，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（

）A. B. C. D.5.将抛物线沿轴向右平移1个单位长度，平移后的抛物线的解析式是（

）A. B. C. D.6.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转到，若，则旋转角的度数是（

）

A. B. C. D.7.绿水村2023年的人均收入为18000元，2025年的人均收入为21780元，求人均收入的年平均增长率．设人均收入的年平均增长率为，根据题意，可列方程为（

）A. B.

C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论：①一定大于；②可能等于；③的面积可能小于的面积；④的面积一定等于的面积．上述结论中，所有正确结论的序号为（

）A.①② B.②③ C.①③④ D.②③④二、填空题：本题共8小题，共27分。9.方程的根是

．10.请写出一个关于的一元二次方程，其中是方程的一个根：

．11.抛物线的顶点坐标为

．12.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则

（填“”“”或“”）．13.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是

．14.如图，在平面直角坐标系中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是

．

15.抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为

．

16.某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表：运维站增效利润投放台数甲乙丙丁150362324274674246396916071(1)若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给

运维站，才能使单日总增效利润最大；(2)若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为

元．三、计算题：本大题共1小题，共4分。17.解方程：．四、解答题：本题共11小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题4分)如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：．

19.(本小题4分)

已知，求代数式的值．20.(本小题4分)

已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当取最大整数时，求此时方程的根．21.(本小题4分)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕原点顺时针旋转得到（，分别是，的对应点）．

(1)在图中画出，并直接写出点，的坐标；(2)点位于内（不含边界），将点绕原点顺时针旋转得到点，直接写出的纵坐标的取值范围．22.(本小题6分)已知二次函数的图象过点和．

(1)求这个二次函数的解析式；(2)画出二次函数图像；(3)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围．23.(本小题4分)

在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点．(1)求该正比例函数和反比例函数的解析式；(2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围．24.(本小题5分)

某科技团队研发的机器人在进行舞蹈表演中，表演队形随音乐节奏变化调整．在开场阶段，参加表演的所有机器人排列成一个正方形方阵；在音乐高潮部分，表演队形发生变化：首先5个机器人出列，在舞台的最前方担任领舞，其余机器人调整为一个长方形方阵，长方形方阵的列数比原来的2倍少1，行数比原来少5．求此次参加表演的机器人的总个数．25.(本小题6分)某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线的一部分．在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米，现测量出如下数据：d/米0.01.02.03.04.8．．．h/米1.01.752.01.750.04．．．请解决以下问题：(1)在给出的平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接；

(2)结合表中数据与所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度及抛物线的解析式；(3)公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的平顶游船能从喷泉下方通过．已知游船宽度为1.6米，顶棚到水面的高度为2米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．公园应该将水枪高度调节到多少米以上？（注：水枪调节过程中所喷出的抛物线的形状相同）26.(本小题5分)

在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．(1)若，求点的坐标及抛物线的对称轴；(2)若对于，都有，求的取值范围．27.(本小题5分)在中，，，为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．

(1)如图1，当点在的延长线上且时，记，的交点为，连接．求证：；(2)如图2，当点在的延长线上时，取的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明．28.(本小题6分)在平面直角坐标系中，给出如下定义：若存在直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分图象关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则称这个新函数为原函数关于直线的“镜面函数”．例如，图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为也可以写成．

(1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象；(2)若函数关于直线的“镜面函数”的图象与直线有三个公共点，求的值；(3)已知点，是抛物线关于直线的“镜面函数”图象上的两点，当时，均满足，直接写出的取值范围．

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】,

10.【答案】/（答案不唯一）

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】【小题1】乙

【小题2】

17.【答案】解：∵，∴，∴或，解得．或解：，，，，．

18.【答案】证明：∵是等边三角形，，∵将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，∴，，，在和中，，．∴．

19.【答案】解：（3x+2）（3x-2）+x（x-2）

=9x2-4+x2-2x

=10x2-2x-4，

∵5x2-x-1=0，

∴5x2-x=1，

∴原式=2（5x2-x）-4=-2．

20.【答案】【小题1】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∵，，，∴，∴解得；【小题2】解：∵，且为整数，∴的最大整数值为，将代入原方程，得，配方得，∴，∴，．

21.【答案】【小题1】如图，即为所求，，【小题2】解：如图，∵位于内（不含边界），∴，将点绕原点顺时针旋转得到点，则在上，且不与点C、D重合，∴．

22.【答案】【小题1】解：∵二次函数的图象过点和，∴，解得：，∴二次函数的解析式为：．【小题2】解：，列表：x…012345……010…以表中每对x，y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数的图象，如下图：【小题3】解：由（1）得，二次函数的解析式为：，∴对称轴为直线，当时，二次函数有最大值，；∴当时，；当时，；∴当时，函数值y的取值范围为：．

23.【答案】【小题1】解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点，，，正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：；【小题2】当时，，，当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，，解得．

24.【答案】解：设原来正方形方阵每边有个机器人，根据题意，得，整理，得，解得，，∵行数需为正整数，即，∴不符合题意，舍去，∴，总个数为（个），答：此次参加表演的机器人总个数为100个．

25.【答案】【小题1】如图所示：【小题2】解：由图象知水柱最高点距离湖面的高度是2米；根据图象，该抛物线的顶点坐标为，故设抛物线的解析式为，将代入，得，解得，∴该抛物线的解析式为，即；【小题3】解：设水枪高度至少向上调节m米由题意知，调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为，∵对称轴为直线，游船宽度为1.6米，∴当横坐标为时，纵坐标的值大于等于，则，解得，∴水枪高度至少向上调节0.66米，即应将水枪高度调节到1.66米以上．

26.【答案】【小题1】解：当时，，当时，，∴点M的坐标为，抛物线的对称轴为直线；【小题2】解：由题意可得抛物线的对称轴为直线，当时，抛物线的开口向上，，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵抛物线上的两点，，满足时，都有，∴；当时，抛物线的开口向下，，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵点关于直线的对称点为，∵抛物线上的两点，，满足时，都有，∴，解得，综上，满足条件的a的取值范围是或．

27.【答案】【小题1】证明：∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，，∴，∴是等边三角形，∴，由旋转的性质得，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴是的中位线，∴；【小题2】解：，证明如下：延长到点，使，同（1）理，是等边三角形，∴，，由旋转的性质得，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∵，又∵点是的中点，∴是的中位线，∴，∴．

28.【答案】【小题1】如图所示：【小题2】解：对于函数，顶点坐标为，当和时，，当时，，∴函数在时的图象经过，，，∴当时，函数关于直线的“镜面函数”的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，∴当