微积分（上册）（第3版）课件 第 5 章 不定积分

一、不定积分的概念和性质二、换元积分法第五章不定积分三、分部积分法四、有理函数的积分

逆运算五、小结经济数学——微积分金一、原函数与不定积分二、不定积分的性质第一节不定积分的概念和性质三、基本积分公式四、小结思考题经济数学——微积分一、原函数与不定积分

1.原函数的概念经济数学——微积分

问题：(1)一个函数具备什么条件，它的原函数一定存在？将在第六章证明原函数存在性，并给出原函数的形式.

注：初等函数在其定义区间内都有原函数.经济数学——微积分

经济数学——微积分

2.不定积分的概念经济数学——微积分

【例5.1.1】计算不定积分

经济数学——微积分【例5.1.2】计算不定积分

经济数学——微积分

经济数学——微积分

经济数学——微积分3.不定积分的几何意义

可见这些曲线上的点在横坐标相同时，有相互平等的切线.经济数学——微积分二、不定积分的性质【性质1.1】

或【性质1.2】

或经济数学——微积分【性质1.3】

【性质1.4】

经济数学——微积分三、基本积分公式由不定积分的定义和基本的导数公式，易得如下的基本积分公式.

(1)(2)(3)(4)(5)

经济数学——微积分

(7)(8)(9)(10)(11)

(6)

经济数学——微积分(13)

(12)

经济数学——微积分解【例5.1.5】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.1.6】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.1.7】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.1.8】计算不定积分

经济数学——微积分【例5.1.9】计算不定积分

解

经济数学——微积分【例5.1.10】计算不定积分

解

经济数学——微积分解【例5.1.11】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.1.12】计算不定积分

经济数学——微积分解

【例5.1.13】计算不定积分

经济数学——微积分

经济数学——微积分四、小结思考题1.原函数的定义：

2.不定积分的定义：所有原函数

经济数学——微积分5.不定积分的性质：1.微分运算和积分运算是逆运算；2.微分运算是线性运算.6.基本积分法：利用不定积分的线性性质和基本积分公式及恒等变换计算不定积分的方法.4.熟记基本积分公式；经济数学——微积分

5.2换元积分法金一、换元积分法二、小结经济数学——微积分

第一换元法第二换元法

一、换元积分法经济数学——微积分

一、第一换元法经济数学——微积分

又叫凑微分法

第一换元法经济数学——微积分【例5.2.1】计算不定积分

解

经济数学——微积分解【例5.2.2】计算不定积分

经济数学——微积分【例5.2.3】计算不定积分

解

经济数学——微积分【例5.2.4】计算不定积分

解

经济数学——微积分

经济数学——微积分解【例5.2.5】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.6】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.7】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.8】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.9】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.10】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.11】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.12】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.13】计算不定积分

经济数学——微积分二、第二换元法

经济数学——微积分解【例5.2.14】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.15】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.16】计算不定积分

以上三例所用的代换归纳如下：被积函数特点变量代换的方法

经济数学——微积分

(14)(15)(16)(17)(18)(19)

(20)(21)(22)

经济数学——微积分解【例5.2.17】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.18】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.2.19】计算不定积分

经济数学——微积分

【例5.2.20】计算不定积分

经济数学——微积分

【例5.2.21】计算不定积分

经济数学——微积分

【例5.2.22】计算不定积分

经济数学——微积分

【例5.2.23】计算不定积分

经济数学——微积分

【例5.2.24】计算不定积分

经济数学——微积分二、小结1.第一换元法

经济数学——微积分2.熟记常用的凑微分形式：

经济数学——微积分3.第二换元积分法：

经济数学——微积分

5.3分部积分法金一、分部积分法二、小结思考题经济数学——微积分

分部积分公式

移项取不定积分

一、分部积分法经济数学——微积分解【例5.3.1】计算不定积分

经济数学——微积分解

【例5.3.3】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.3.3】计算不定积分

解不出！经济数学——微积分解【例5.3.4】计算不定积分

经济数学——微积分

【例5.3.5】计算不定积分

解

经济数学——微积分

反：反三角函数对：对数函数幂：幂函数指：指数函数三：三角函数可换序

解

【例5.3.6】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.3.7】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.3.8】计算不定积分

经济数学——微积分

【例5.3.9】计算不定积分

经济数学——微积分解【例5.3.10】计算不定积分

经济数学——微积分二、小结思考题1.利用分部积分计算不定积分：

情形一：直接分部化简积分;情形二：利用两次分部积分法得到循环式,由此解出积分式;注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加

C.

情形三：对含自然数n

的积分,通过分部积分法建立递推公式.

可换序3.不定积分的计算方法：基本积分法、换元积分法、分部积分法.思考题

在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？经济数学——微积分思考题解答注意前后几次所选的应为同类型函数.例第一次时若选第二次时仍应选这样形成“回转式”,移项解方程即可.经济数学——微积分

5.4有理函数的积分金一、简单有理函数的分解二、三角函数有理式的积分三、小结思考题经济数学——微积分

初等函数求导初等函数积分有理函数:

有理函数多项式相除多项式+真分式分解若干个部分分式之和一、简单有理函数的分解经济数学——微积分

经济数学——微积分(3)(4)当真分式分解为部分分式的和之后，真分式的积分最终归结为以下四种积分：(1)(2)

真分式的积分：

再分项积分经济数学——微积分【例5.4.1】计算不定积分

解

右端通分，两端的分子应相等

经济数学——微积分【例5.4.2】计算不定积分

解

右端通分，两端的分子应相等

经济数学——微积分【例5.4.3】计算不定积分

解

右端通分，两端的分子应相等

经济数学——微积分

经济数学——微积分二、三角函数有理式的积分

有理函数积分经济数学——微积分【例5.4.4】计算不定积分

解

三角函数的次数较高，利用万能公式计算量大！作万能变换则有

经济数学——微积分【例5.4.5】计算不定积分

解

作万能变换则有

经济数学——微积分【例5.4.6】计算不定积分

解

经济数学——微积分

初等函数求导初等函数积分“积不出来”的积分：

经济数学——微积分一.有理函数的不定积分：1.有理函数=多项式+真分式；2.将真分式分解成若干个部