2027届上海市虹口区高三上学期调研测试数学试题（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）虹口区2025学年度第一学期高三第一次调研测试数学试卷（完卷时间：120分钟满分：150分）考生注意：1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效：2.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚：3.本试卷共21道试题.一､填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．已知集合，则_______．2．函数的定义域是_______．3．若，则_______．4．若，则的值为________.5．设，，、，等差数列的首项，公差，若，则的值为________.6．设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为________.7．已知关于正整数的方程，则该方程的解为__________.8．若，且，则______．9．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为.延长切线交双曲线的右支于点，为坐标原点，点为线段的中点，则______.10．如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离__________.11．记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为__________.12．已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为__________.二､选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13．已知，则“”是“”的（

）条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要14．某机构对2014年至2023年的中国新能源汽车的年销售量进行了统计，结果如图所示（单位：万辆），则下列结论中正确的是（

）A．这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为123B．这十年中国新能源汽车年销售量的极差为721C．这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为136.6D．这十年中的前五年的年销售量的方差小于后五年的年销售量的方差15．如图，正四棱柱的底面边长为，为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，则棱长的最大值为（

）A． B． C． D．16．在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（

）A．4 B．3 C．2 D．1三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．设．(1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；(2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值．18．图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且..(1)求证：；(2)记棱的中点为，是否在直线上存在点，使得平面？请说明理由，并求出二面角的大小.19．A校高一年级共有学生330名，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校采用分层随机抽样的方法抽取66名学生，其中女生32名，男生34名，测量他们的身高．(1)该校高一学生中男、女生各有多少名？(2)若从这66名学生中随机抽取两名，求这两名都是男生的概率；(3)在32名女生身高的数据中，其中一个数据记录有误，错将165cm记录为156cm，由错误数据求得这32个数据的平均数为161cm，方差为23.6875，求原始数据的平均数及方差．（平均数结果保留精确值，方差结果精确到0.01）20．已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为.

(1)求椭圆的焦距和离心率；(2)若，求直线的方程；(3)过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为.若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.21．如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数.①对任意的，有；②对于任意的，若，则.求证：(1)是型函数；(2)型函数在上为增函数；(3)对于型函数，有（为正整数）.答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.【详解】由，则.故答案为：.2．【分析】由对数函数的定义可得，解不等式即可得出答案.【详解】函数的定义域是，所以，解得：或.所以函数的定义域为：.故答案为：.3．【分析】直接利用二倍角公式计算可得.【详解】因为，所以.故答案为：4．10【分析】化简结合二项式定理求项的系数.【详解】因为，所以，所以的展开式的第项的表达式，，所以.故答案为：.5．56【分析】由等差数列通项公式及求和公式列出等式即可求解.【详解】由，，可得，又，解得：.故答案为：56.6．【分析】由已知得的大小，再根据的面积公式得的值，从而由余弦定理可得的值.【详解】，，又，所以，故，则的面积，所以，由余弦定理得，故.故答案为：.7．或【分析】利用组合数的性质得到方程，解方程，结合的取值范围即可求解.【详解】根据组合数的性质，由可知：或，即或，所以和均满足题意，所以该方程的解为：或.故答案为：或8．6【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解.【详解】由可得，故，由于，故，故答案为：69．【分析】根据双曲线的定义，中位线的性质，可转化为，根据勾股定理计算，然后利用及解方程求解即可.【详解】如图，取双曲线右焦点，连接，由题知，，所以，因为O为，T为PF的中点，所以TO为的中位线，可得.又，所以，又，所以，又，所以，解得.故答案为：510．【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可.【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为，则根据正切函数的定义得，，则，解得.故答案为：.11．【分析】由偶函数的性质可得出，令，，利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值.【详解】因为二次函数为偶函数，则该函数的对称轴为直线，可得，令，，则，因此，该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为.故答案为：.12．100000【分析】令，根据给定信息列出不等式，求出的范围即可得解.【详解】设，依题意，，，由，得，解得，因此，则，，所以的最小值为100000.故答案为：10000013．C【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断.【详解】充分性：根据诱导公式，因为，所以或，当时，；当时，；所以由不能必然推出，充分性不成立；必要性：因为，所以，此时，所以由可以推出，必要性成立；综上，是的必要非充分条件；故选：C.14．D【分析】由图表提取数据并按照由小到大排列，根据中位数、极差与百分位数定义，结合方差的性质，可得答案.【详解】由图可得数据为：，对于A，这十年中国新能源汽车年销售量的中位数为，故A错误；对于B，这十年中国新能源汽车年销售量的极差为，故B错误；对于C，由，则这十年中国新能源汽车年销售量的第70百分位数为，故C错误；对于D，由图表易知前五年的数据比后五年的数据稳定，则前五年的方差小于后五年的方差，故D正确.故选：D.15．A【分析】建立空间直角坐标系，设出点、、的坐标，结合已知条件得到方程，根据方程解的情况求出的取值范围即可求解.【详解】根据已知条件，以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系，设正四棱柱的高为，令，，，所以，，因为，所以，即，整理得：，因为棱上至少存在一点使得，所以关于得的方程，至少有一个解，即，整理得：，解得，又因为，所以，所以棱长的最大值为.故选：A16．C【分析】求出平面的一个法向量，再利用点到平面的距离公式即可得到答案.【详解】设平面的一个法向量，则，令，则，即，所以该四棱锥的高.故选：C.17．(1)(2)【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值.【详解】（1）因为且函数的最小正周期为，所以，解得，所以，则，由，则，所以当，即时取得最大值.（2）当时，，则，因为，所以，则，解得；因为，所以，由余弦定理，得，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.18．(1)证明如下：因为，，，所以，所以，即，图2中，，则,所以，又，又为平面内两条相交直线，所以面，又在面，所以又，为平面内两条相交直线，所以面，又在面内，所以.(2)存在点，使得平面，理由如下：以为临边，构造矩形,连接，易知过点，因为分别为的中点，所以，又在平面内，在平面外，所以平面,即点就是点，由（1）知面，在面内，所以，又，是平面内两条相交直线，所以面，在面内，所以，又，所以为二面角的平面角，因为,所以，所以二面角的大小为.【分析】（1）通过条件证明面，进而证明面，即可求解；（2）以为临边，构造矩形,通过中位线可说明点即为点，再通过二面角平面角的概念求得为二面角的平面角，即可求解.【详解】（1）略（2）略19．(1)男、女生各有名(2)(3)【分析】（1）根据抽样比即可计算出男女生人数；（2）利用古典概型计算公式可得结果；（3）根据方差定义，利用方差的计算公式进行整体代换即可计算出结果.【详解】（1）根据题意可知，抽样比为，所以该校高一学生中男生有名，女生有名；（2）从这66名学生中随机抽取两名共有种，两名都是男生的抽法共有种，所以这两名都是男生的概率为（3）根据题意可设正确的31个数据为，易知，可得；所以原始数据平均值为；由方差定义可得，因此，可得；原始数据的方差为即原始数据的方差为.20．(1)(2)(3)直线经过定点.【分析】（1）根据椭圆方程确定、，利用解出即可求解；（2）设直线的方程，直曲联立根据韦达定理得：，结合为中点解出坐标，再利用，解出，即可求解；(3)分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时，设出方程，直曲联立，利用韦达定理，结合已知条件，求出直线过定点；斜率不存在时，设出、两点坐标，根据中点坐标公式，求出、坐标，结合已知条件，求出直线过定点，两种情况综合即可求解.【详解】（1）由得，所以焦距，离心率.（2）

，设直线的方程，与椭圆:，联立得：，整理得：，，因为点与点不重合，为中点，所以，代入方程，解得，所以可得点，于是由得，直线的方程：.（3）

①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:，联立，得：，整理得：，设，由韦达定理得，且，化简得，又，从而，，由可得，从而，又因为，，所以上式化为：整理得：，韦达定理代入：，化简得：.，所以或当时，直线为：，直线经过点，舍去；当时，直线为：，此时成立，直线经过定点②当直线斜率不存在时，设，，则，，，代入，得与联立得：解得此时直线也经过点.综上，直线经过定点.【点睛】关键点点睛：本题关键在于设分斜率存在与不存在两种情况设出直线方程，利用直