2026-2027学年天津市河东区高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年天津市河东区高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,−2,2)，b=(6,−3,2)，则下列结论正确的是(

)A.a−b=(−5,−1,0) B.|a|=2.已知直线L经过点A(1,23)，B(2,3)A.30° B.60° C.120° D.150°3.过点A(1,−2)，B(3,−2)的面积最小的圆的标准方程为(

)A.(x+2)2+(y−2)2=1 B.(x−24.已知点P为椭圆x216+y24=1上一点，F1，A.1 B.5 C.7 D.135.如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，E，F分别是上底面A′C′和侧面CD′的中心，若EF=xAA′+yAB+zAD，则A.−1

B.0

C.12

D.6.若直线ax+(a−4)y−1=0与直线ax+2y+13=0平行，则a的值可能为(

)A.0或6 B.−6或0 C.−4或2 D.−2或47.若斜率为−33的直线与y轴正半轴交于点A，与圆(x−1)2+yA.23 B.4 C.2 8.已知斜率为2的直线l与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A，B两点，M为线段AB的中点，OA.32 B.34 C.29.已知点P是直线l1：mx+y+4m−4=0与l2：x−my+8m+4=0的交点，A(x1,y1)，B(x2A.10 B.13 C.20 D.26二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.椭圆3x2+4y2=1211.已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=012.已知A、B、C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足AP=−712OA+yOB+13OC，则当点P、A、B13.若圆C1：(x−2)2+y2=114.已知过点P(4,m)(m≠0)作圆C：x2+y2−4y=0的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则直线AB必过定点15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，若F1，F2三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知△ABC的三个顶点A(−1,1)，B(3,−1)，C(0,2)．

(Ⅰ)求边BC所在直线在x轴上的截距；

(Ⅱ)求边BC上的中线AM所在直线与边AC上的高所在直线的交点P的坐标．17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆C上任意一点，△F1PF2面积的最大值为43．

18.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，PA=1，AB=3，BC=1，AD=2，点Q在线段BD上，且2BQ=QD，M是PD的中点．

(Ⅰ)求证：CM//平面PAB；

(Ⅱ)求直线PD与平面PAQ19.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=4，BC=2，AA1=3，A1E=3EB1．

(Ⅰ)若点D为线段AC的中点，求证：BD⊥平面CEC1；

(Ⅱ20.(本小题16分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，长轴长为4．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)T(1，0)，点P在椭圆上(异于点A)，若点T到直线AP的距离为55，求点P的坐标；

(Ⅲ)记椭圆的左顶点为M，下顶点为N，C、D两点均在直线l：x=a上，且C在第一象限，设直线MD、NC分别交椭圆于点P1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】D

10.【答案】2

11.【答案】−1

12.【答案】1413.【答案】−23

14.【答案】(1,2)

15.【答案】516.【答案】解：(Ⅰ)已知B(3,−1)，C(0,2)，

则BC所在直线的斜率kBC=2−(−1)0−3=−1，

所以直线BC方程为y−2=−x，

即y=−x+2，

令y=0，解得x=2，

故BC所在直线在x轴上的截距为2．

(Ⅱ)由题得，BC边的中点M(32,12)，

又A(−1,1)，

所以直线AM的斜率kAM=12−132−(−1)=−15，

所以直线AM的方程为y−1=−15(x+1)，整理为x+5y=4．

又直线AC的斜率kAC=2−10−(−1)=1，

17.【答案】解：(Ⅰ)已知e=ca=32，可得c=32a．S△F1PF2=12|F1F2|⋅|yP|=c|yP|，

因此当P位于椭圆短轴端点时，|yP|取得最大值b，

此时△F1PF2的面积取得最大值：Smax=12⋅|F1F2|⋅b=12⋅2c⋅b=bc=43．

又b2=a2−c2=a2−(32a18.【答案】解：(Ⅰ)证明：取PA中点N，∵M为PD中点，∴MN/​/AD，且MN=12AD=1．

又∵BC=1，BC/​/AD，∴BC//MN，且BC=MN，

∴四边形BCMN为平行四边形，所以CM//BN．

∵BN⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，

∴CM/​/平面PAB．

(Ⅱ)∵PA⊥平面ABCD，且AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直．

以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

得A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．

∴AB=(3,0,0)，AP=(0,0,1)，PD=(0,2,−1)，PB=(3,0,−1)，BD=(−3,2,0)，AD=(0,2,0)．

BQ=13BD=(−33,2319.【答案】解：(1)证明：因为ABC−A1B1C1为直三棱柱，且AB⊥BC，

则以B为原点，BA,BC,BB1分别为x，y，z的正半轴，建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(4,0,0)，C(0,2,0)，B1(0,0,3)，

C1(0,2,3)，A1(4,0,3)，E(1,0,3)，D(2,1,0)，

所以BD=(2,1,0),CC1=(0,0,3),CE=(1,−2,3)，

则BD⋅CC1=0,BD⋅CE=2−2=0，

即BD⊥CC1，BD⊥CE，

又CC1∩CE=C，CC1，CE⊂平面CEC1，

所以BD⊥平面CEC1；

(2)点F在线段CC1上，设F(0,2,t)，0≤t≤3，

由(1)知，AE=(−3,0,3),AF=(−4,2,t)，

CE=(1,−2,3),CF=(0,0,t)，

设平面AEF的法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅AE=−3x+3z=0m⋅AF=−4x+2y+tz=0，令x=2，则z=2，y=4−t，

所以m=(2,4−t,2)，

由(1)BD⊥平面

CEC1，点F在线段

CC1上，

故BD=(2,1,0)为平面CEF的一个法向量，

又平面

AEF

与平面

CEF

的夹角的余弦值为20.【答案】解：(Ⅰ)由已知得2a=4，所以a=2，

由顶点A(0,1)，得b=1，

所以椭圆的标准方程为x24+y2=1．

(Ⅱ)若直线AP的斜率不存在，则直线AP的方程为x=0，

点T到直线AP的距离为1，与已知矛盾，故直线AP斜率存在，

设直线AP的方程为y=kx+1，即kx−y+1=0，

点T(1,0)到该直线的距离为d=|k⋅1−0+1|k2+1=|k+1|k2+1=55，解得k=−2或k=−12．

当k=−2时，直线AP的方程为y=−2x+1，

联立方程y=−2x+1x24+y2=1，解得x=1617y=−1517或x=0y=1，则P(1617,−1517)；

当k=−12