2027年广东省中考模拟数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）2027年广东实验中学集团中考模拟试卷总分：120分

时间：120分钟一、单选题：共10小题，每题3分，总计30分1．的倒数是（）A． B． C． D．2．如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（

）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．4．如图，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．5．不等式的解集是（

）A． B． C． D．6．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（

）A． B． C． D．7．一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（

）A． B． C． D．8．如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（

）A． B． C． D．9．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（

）A．2 B．3 C． D．10．若点，，，，均在抛物线上，且，则的大小关系是（

）A． B． C． D．二、填空题：共6小题，每题3分，总计18分11．在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度到点，则点的坐标是______．12．据相关部门统计，年春节假期中国高铁站客流量比往年有了较大增长，其中广州南站达到人次，将用科学记数法表示为________．13．方程的解为_______．14．某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）．15．若直线与双曲线交于点，，则的值是___________．16．如图，在以为直径的半圆中，是半圆的三等分点，点是弧上一动点，连接，，作垂直交于，连接，若，则的最小值是______．三、解答题：共9小题，总计72分17．解不等式组18．如图，已知在中，．点在上，且，过点作于点，，求证：．19．先化简，再求值：，其中．20．为了让学生更加了解广州南沙湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：(1)本次参加测评人数为人，并补全条形统计图；(2)现有成绩为A等级的两位同学和B等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动，从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率是多少?21．如图，是的内接三角形，是的直径．(1)请用无刻度的直尺和圆规过点C作的切线（保留作图痕迹，不写作法）．(2)若（1）中所作的切线交的延长线于点D，当时，求点C到直线的距离．22．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标．23．已知抛物线经过点．(1)求该抛物线的对称轴．(2)当时，若点在抛物线上，求的最小值．(3)若存在实数，当，且时，的取值范围是，求，的值．24．【生活观察】(1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____．【类比探究】(2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）．如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数．（参考数据：，，，，）【综合实践】(3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围．25．如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．

(1)求的长；(2)连接，若，求证：；(3)若，试求的最小值．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．C【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．【详解】解：∵，∴的倒数是.故选C2．C【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，故选：C．3．C【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则．根据以上运算法则逐项进行判断即可．【详解】解：A.，两项的指数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意；B.，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故该选项错误，不符合题意；C.，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负号的平方为正，故该选项正确，符合题意；D.，同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故该选项错误，不符合题意；故选：C．4．B【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．【详解】，，，，，．故选B．5．D【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．【详解】解：，去括号得：，移项合并得：，解得：，故选：D．6．C【分析】本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率．【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元．随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种：1.10元和20元，和为30元；2.10元和30元，和为40元；3.20元和30元，和为50元．其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元）．因此，所求概率为：．故选：C．7．A【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，∴，∴，，设正比例函数的解析式为：，把代入，得：，∴；故选A．8．C【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．∴，∴故选：C9．B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，∴，由题意得，∴，∴，即，解得，故选：B．10．C【分析】先把点A和点B坐标代入得出，再求出，求出该抛物线与x轴的两个交点坐标，结合，在抛物线上，得出，点在点B的左边，，，即可得出，进而得出对称轴的取值范围，最后根据该抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可比较函数值的大小．【详解】解：把，代入得：，整理得：，得：，整理得：，∴该抛物线的对称轴为直线，当时，，解得：，，即该抛物线与x轴的交点坐标为：，∵，在抛物线上，∴当时，y随x的增大而减小，该抛物线开口向下；∴点在点B的左边，∴，，整理得：，∴，则，∴点C离对称轴的距离：，即，点D离对称轴的距离：，即，点E离对称轴的距离：，即，∵该抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意得出对称轴的取值范围，掌握当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．11．【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向左平移横坐标减求解即可．【详解】解：∵将点向左平移2个单位长度到点，∴点的横坐标为，纵坐标不变，∴的坐标为．12．【详解】解：．13．【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，再检验得到原分式方程的解.【详解】解：原方程整理为方程两边同乘最简公分母，得：去括号，得：移项，合并同类项，得：检验：当时，因此是原分式方程的解.14．【分析】求出圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求解即可．【详解】解：圆锥形小丑帽子的底面半径为，圆锥的底面周长为，扇形木纸板的半径为，扇形木纸板的面积为，15．【分析】根据题意得到，，联立两函数解析式得到，则由根与系数的关系得到，据此代入求值即可．【详解】解：∵直线与双曲线交于点，，∴，，令，得，，．16．##【分析】如图，连接．证明点上，运动轨迹是，过点作于．求出，可得结论．【详解】解：如图，连接．∵是半圆的三等分点，∴，∵，∴是等边三角形，作的外接圆，连接．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴点在上，运动轨迹是，过点作于．∵∴,在中，，∴，∴，在中，，∵，∴，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹．17．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∴不等式组的解集为．18．证明：，，，，在和中，，，．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明后，利用全等三角形的性质即可得到．【详解】略19．，【分析】先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：，当时，原式．20．(1)100；(2)【分析】（1）因为C等级的人数和对应扇形占比已知，所以用C等级人数除以其占比即可得到总人数；再根据D等级占比求出D等级人数，用总人数减去A、C、D等级人数得到B等级人数，补全条形统计图；（2）先列出所有等可能的抽取结果，再找出恰好抽到1名A等级和1名B等级的结果数，根据概率公式计算对应概率．【详解】（1）解：等级有20人，占总人数的，本次参加测评人数为：（人），等级人数：人；等级人数：（人）．补全条形图略。（2）解：记2名等级同学为，，2名等级同学为，，列表得所有等可能的抽取结果：共12种等可能的结果，其中恰好1名等级、1名等级的结果有8种，恰好抽到一名成绩为等级同学和一名成绩为等级同学的概率为．21．(1)如图，(2)【分析】（1）连接并延长，过点C作的垂线即可；（2）作交于E，设，则，，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等面积法计算即可．【详解】（1）略（2）解：如图，作交于E，∵，∴，设，则，，∵是的切线，∴，∴，即，解得：（舍去），，∴，∵，∴，即点C到直线的距离为．22．(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：(2)或【分析】（1）运用待定系数法，将分别代入反比例函数解析式以及一次函数解析式中，即可求出它们的函数解析式；（2）设点P的纵坐标为m，由点P为线段上的一点，则有，由已知可得，，根据点C为中点，可得，最后由点C在反比例函数图象上，将点C坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，即可求得点C的坐标．【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，B点坐标为，∴将代入反比例函数中，得：，解得：，∴反比例函数的解析式为：；同理，将代入一次函数中，得：，解得：，∴一次函数的解析式为：；（2）解：设点P的纵坐标为m，∵点P为线段上的一点，一次函数的解析式为：，∴，∵过P作y轴的垂线，垂足为H，∴，∵点C为中点，∴，∵点C在反比例函数图象上，∴，整理得：，解得：或，∴或．23．(1)直线(2)(3)或【分析】（1）先将已知点代入抛物线解析式，得到，再利用抛物线对称轴公式直接计算得到对称轴（2）代入得到抛物线解析式，配方得顶点坐标，根据开口方向得到的最小值，即的最小值（3）将抛物线化为顶点式，对称轴在给定区间内，分和两种情况，根据开口方向判断区间内最值位置，列方程求解得到和【详解】（1）解：将点代入得：整理得，抛物线对称轴为∴该抛物线的对称轴为直线（2）解：当时，，抛物线解析式为：抛物线开口向上，点在抛物线上，的最小值为；（3）将抛物线化为顶点式得，对称轴，且，对称轴在内，分两种情况讨论：情况1：，抛物线开口向上，顶点为最小值点，，解得，左端点到对称轴的距离为，右端点到对称轴的距离为，，最大值在处，代入得把代入得，解得，；情况2：，抛物线开口向下，顶点为最大值点，解得，∵抛物线的右端点到对称轴距离更远，最小值在处.代入得，把代入得，解得，，综上，或24．(1)3(2)此时左前轮的转向角的度数约为(3)【分析】（1）根据题求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解；（2）先求得，进而解得出，根据等角的余角相等得出，即可求解；（3）分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解．【详解】（1）解：依题意，，∴∵∴∵∴（2）解：由题意得，，，，在中，解得：在中，，答：此