江苏省扬州市2027届高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”．2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列各组函数中，在区间-π2,πA.y=sin x，y=tan C.y=cos x，y=tan 2.函数f(x)=xA. B. C. D.3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=3，A=π6，满足条件的△ABC恰有两个，则aA.1 B.2 C.3 D.44.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米A.240元 B.200元 C.160元 D.80元5.已知非零向量a，b，则“a∥b”是“a∥(aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.已知函数f(x)=ex, x>0,x+3, x≤0.A.1 B.2 C.3 D.47.若-π<α+β<0，cosαA.66 B.63 C.328.已知2log2x-x=3logA.z<x<y B.x<y二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知单位向量a，b，c满足a+b+A.a⋅b=C.a⊥(b-c) D.a-b10.已知函数f(x)=A.若a=0，则f(B.若a=1，则f(x)在区间C.若f(x)D.若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为311.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为A.abcB.aC.当b取得最小值时，sinD.当cosAcosBsinC=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合A=xx+1x-113.已知函数f(x)=cosx+π4cosx-π4，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度（φ>0）得到函数（写出满足条件的一个值即可）14.定义在R上的函数f(x)满足：对任意x,y∈R，f(x+y-1)=f(x-1)+f(四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上异于A，B的动点．（1）证明：△PBC是直角三角形；（2）若PA=AB=2，二面角B-PA-C的大小为π4，求直线AB与平面PBC16.（本小题满分15分）某校组织志愿服务队，现有师生共6人，其中男、女教师各1名，男、女学生各2名．现从中选3人承担引导工作．（1）记所选3人中男学生的人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）求在所选3人中恰有1名女性的条件下，至少有1名教师的概率．17.（本小题满分15分）在△ABC中，BC=8，AC=7，CA⋅（1）求sin B（2）点D,E满足：BD=λBA(λ>0)，（i）若λ=65，求（ii）当CE⋅DE取最小值时，求实数λ18.（本小题满分17分）已知函数f(x)=ln x，（1）若曲线y=g(x)在原点处的切线也是曲线y=（2）讨论函数h(x（3）若不等式f(ax)≤g(x)对任意19.（本小题满分17分）定义变换Γ:Γ[A已知f1(x)=A1sin(x+θ1)，f2(x)=Γ（1）若A1=1，θ1=π4，直接写出（2）若θ1（i）对于任意n∈N*，判断（ii）求证：存在常数λ1,λ2∈45高三数学参考答案1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B 7.D 8.A9.BC 10.ABD 11.ACD12.12,1 13.π15.解：（1）因为AB是圆O的直径，C是圆周上异于A,B的一点，所以又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．又AC∩PA=A，AC,PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC因为PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC．故△PBC是以∠PCB为直角的直角三角形． 5分（2）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，故∠BAC就是二面角B-PA-C的平面角，所以∠BAC=π4． 又AB=2，∠ACB=90∘，所以AC=BC=2法一（向量法）：以A为原点，AB，AP的方向分别为x轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),所以PB=(2,0,-2)，PC=(1,1,-2)．设平面PBC的法向量为由n⋅PB=0，n⋅PC=0得2x-2z=0又AB=(2,0,0)，设直线AB与平面PBC所成的角为θsin所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为33． 13法二：（综合法）由（1）知BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以面PBC⊥面PAC，且交线为PC．在平面PAC内过A作AH⊥PC，垂足为H，则AH⊥平面PBC，所以∠ABH就是直线AB与平面PBC所成的角．在Rt△PAC中，AH=PA⋅ACPC=2×26=16.解：（1）X的所有可能取值为0,1,2．6人中男学生有2人，其余4人，从6人中任选3人共有C63P(X=0)=C2所以X的分布列为X012P153515E(X)=0×1（2）记A=“所选3人中恰有1名女性”，B=“所选3人中至少有1名教师则P(A)=C31C3217.解：（1）由CA⋅CB=44得CA⋅CBcosC=44，即由余弦定理得AB2=C因为C∈(0,π)，所以由正弦定理bsinB=csinC得（2）由（1）得cosB=BC（i）因为DE∥BC，所以∠DEB=∠EBC，又BE平分∠ABC，所以∠EBC=∠DBE=30所以∠DEB=∠DBE=30∘，故BD=DE，即DE=5λ当λ=65时，BE=63，在CE2=BC2+（ii）法一（坐标法）以B为原点，BA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(5,0)C(4,43)，D(5λ,0)、CE所以当λ=815时，CE⋅DE取得最小值法二（基向量法）取与BA，BC同向的单位向量e1,e2BD=5λe1，所以CE⋅DE=[5λe1+(5λ法三（余弦定理）由CD=CE+EDCE⋅DE=CE2+又CE2=64+75λ2-120λ，DE2=2518.解：（1）g'(x)=2x-a，g(0)=0，g设该直线与曲线y=f(x)相切于点(x0由1x0=-a得-ax0=1，代入得lnx（2）h(x)=ah'(x)=①当a≤0时，h(x)在(0,1)上单调递减，在②当0<a<2时，h(x)在0,a2上单调递增，在③当a=2时，h(x)在④当a>2时，h(x)在(0,1)与a2,+∞上单调递增，在（3）法一（隐零点）：由x>0且ln(ax)有意义知令F(x)=x方程2x2-ax-且F(x)在(0,x0)上递减、在由2x02=ax0+1令r=2x02-1>0，则F故ψ(r)单调递减，又ψ(1)=0，所以F(x0)≥0而a=2x0-1x0在(0,+∞)上单调递增，故x0≤1等价于a≤1法二（分参）：由x>0且ln(ax)有意义知a>0令t=ax>0，则x=当t+lnt≤0时，不等式显然成立；当t+lnt令φ(t)=t2t+lnt，则φ'(t)=所以φ(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，故所以a2≤1，结合a>0得0<a≤1，即a的取值范围为法三（必要性探路）先考虑必要性：取x=1a，得0≤1a2-再验证充分性：当0<a≤1时，由lnu≤u而ax-1-(x2-ax)=-(综上，a的取值范围为(0,1]． 17分19.解：（1）由A1=1，θ1=π4所以f2同理A3=A27-18=34（2）（i）法一：记g(θ)=θ+14sin4θ，则θn+1=又gπ6=所以当θ∈π6,π3时g(θ)∈π6,π3法二：当θ∈π6,π3时若θn∈π4,π3，则若θn∈π6,π4，则故θn∈π6,π3必有θn+1也在其中，结论成立．