211 方案选择与最优决策（五）· 购买方案与团购

D06-05·方案选择与最优决策（五）·购买方案与团购｜第1页D06-05·方案选择与最优决策（五）·购买方案与团购苏科版（2024）数学七年级上册第4章一元一次方程专项突破姓名：____________班级：____________日期：____________得分：__________答题说明本卷共10题，全部为解答题，满分100分，建议用时90分钟。难度按「中档3题+较难4题+压轴3题」编排，各题分值已标于题号后。本卷主题为购买方案与最优决策：单买价与团购价的比较、批量分档单价、买多送少与买赠、满额免运费、满减与折扣的对决。压轴题为「同一批货用团购与单买组合采购，求最低总费用与最优组合」。解答须写清方案条件、分段依据、方程与比较过程，只写答案不得分。得分登记题号12345678910总分分值88810101010121212100得分考点与分值分布题号分值难度主要考查点18中档单买价与团购价的门槛比较、凑单是否值得28中档三档批量单价的接力累加求付款额38中档买4送1：正求付款、反求所得410较难含固定送货费的两方案比较与转折点510较难三档批量单价、合并购买与分开购买的差额610较难满300减60与八五折的交点及分段选择710较难满额免运费造成的价格断层与预算反求812压轴批量分档叠加买10送1，倒推付款本数912压轴团购上限约束下的组合采购最优点1012压轴整单打折与超出部分降价的分段交点合计100—中档3题24分/较难4题40分/压轴3题36分作答要求：(1)每题须写出所用方案的计费条件（单价、门槛、运费、赠品、上限），再列式；(2)比较两种方案时须分别算出两个总付款额再相减，不得只用单价差推断；(3)每问结果须回代检验，并说明本数、个数是否为整数、是否突破上限或预算。全部题目均可用一元一次方程求解；计算过程保留在卷面，答案写在横线上。1．（8分·中档）某校图书馆要采购一批科普读物，有两种购买方式。方案一（单买）：每本8元，不限购买本数；方案二（团购）：每本6元，但一次购买的本数不少于30本，不足30本不能按团购价付款。同一种读物，两种方式的书完全一样。图1-1两种购买方式的价格与条件（1）若图书馆需要这种读物20本，按方案一购买需付多少元？（3分）（2）若改按方案二购买，一次至少要买30本，需付多少元？（2分）（3）图书馆实际只需要26本。分别算两种方式各需付多少元，并说明哪种方式更省钱、省多少元。（3分）2．（8分·中档）某图书批发市场的批量单价规定如下：一次购买不超过20本，每本15元；一次购买超过20本但不超过50本，前20本仍按每本15元，超出的部分每本12元；一次购买超过50本，前50本按前两档价格合计，超出的部分每本9元。某班为图书角统一购书，一次购买x本，需付y元。（1）求一次购买12本时需付的钱数。（3分）（2）求一次购买40本时需付的钱数。（3分）（3）求一次购买60本时需付的钱数。（2分）3．（8分·中档）学校为获奖学生准备钢笔奖品。文具店规定：钢笔定价每支25元，买4支送1支，赠品不另付钱；不足4支的部分按原价购买，不送。所送支数与所购支数按整组结算，不跨组累计。图3-1买4支送1支的付款与赠品结构（1）要得到50支钢笔，最少需付多少元？（3分）（2）要得到47支钢笔，最少需付多少元？（3分）（3）若学校只有875元预算，按这种买法最多能得到多少支钢笔？（2分）4．（10分·较难）某校体育组要购买一批实心球，有两家商店报价。甲店：每个180元，另收一次送货费480元，送货费与购买个数无关。乙店：每个210元，免费送货。两家商店的球质量相同，需一次购买x个，在甲店需付A元，在乙店需付B元。（1）分别求x=10时A、B的值，并说明在哪家买更省钱、省多少元。（3分）（2）分别求x=20时A、B的值，并说明在哪家买更省钱、省多少元。（3分）（3）求x为多少时两家商店的付款相同；并写出在x小于、大于这个数时分别该选哪家店。（4分）5．（10分·较难）某图书批发市场按一次购买的本数分三档计价：一次购买不超过10本，每本60元；一次购买超过10本但不超过30本，前10本仍按每本60元，超出的部分每本54元；一次购买超过30本，前30本按前两档价格合计，超出的部分每本48元。一次购买x本需付y元。图5-1三档批量单价与购买本数的对应关系（1）求一次购买25本时需付的钱数。（3分）（2）求一次购买37本时需付的钱数。（3分）（3）某班分两次购书，第一次买20本，第二次买31本；若把两次合并成一次购买51本，比分开买省多少元？（4分）6．（10分·较难）某文具超市对同一种书包搞促销，有两种结账方式。方式一：按标价累计付款，每满300元减60元，不足300元的部分不减。方式二：不分金额，全部按标价的八五折付款。设一次购买的书包标价合计为x元，按方式一实付m元，按方式二实付n元。（1）求x=500时m、n的值，并说明按哪种方式付款更省钱。（3分）（2）求x=700时m、n的值，并说明按哪种方式付款更省钱、省多少元。（3分）（3）当购物标价合计不少于300元但不足600元时，是否存在两种方式实付金额相同的购物金额？若存在，求出这个金额，并写出x在该金额左右两侧时应选哪种方式。（4分）7．（10分·较难）某网店出售一种笔记本，每本15元。网店规定：一次购买金额满100元的免运费，不满100元的另付运费25元。设一次购买n本，共需付p元。（1）求n=4时p的值。（3分）（2）分别求n=6与n=7时p的值，并说明若只需要6本，买7本是否反而更省钱、省多少元。（4分）（3）若该班只有130元，按这种买法最多能买多少本？（3分）8．（12分·压轴）某出版社直销一种教辅，单价按一次购买本数分三档：一次购买不超过20本，每本20元；一次购买超过20本但不超过50本，前20本仍按每本20元，超出的部分每本16元；一次购买超过50本，前50本按前两档价格合计，超出的部分每本12元。出版社同时规定：每买10本送1本，赠品不另付钱，不足10本的部分不送。（1）若不参加买10送1的活动，一次购买60本需付多少元？（3分）（2）若参加买10送1的活动，要得到60本，最少需付多少元？此时实际付款购买了多少本？（4分）（3）若参加活动，要得到66本，最少需付多少元？与不参加活动直接购买66本相比省多少元？（5分）9．（12分·压轴）校运会要定制200个纪念水杯，厂家给出三种采购方式。方式一（单买）：每个45元，买8个送1个，赠品不另付钱，不足8个的部分不送，不限个数。方式二（团购）：每个38元，一次购买不少于50个，且一次最多只能买120个。方式三（组合）：先按团购一次买若干个（不少于50个、不超过120个），不足200个的部分再按单买的方式补齐，两种方式在同一批订单中使用。图9-1三种采购方式的价格与条件（1）若200个全部按方式一购买，最少需付多少元？（3分）（2）若按团购一次买120个，其余按方式一补齐，共需付多少元？（3分）（3）求使总费用最低的组合：团购买多少个、其余按方式一补齐，最低总费用是多少元？并说明为什么团购买118个或120个都不是最优。（6分）10．（12分·压轴）某校为运动会采购一批运动服，两家批发商的方案如下。甲方案：每套12元；若一次购买满200套，则全部按九折结算，不足200套不打折。乙方案：一次购买不超过150套，每套14元；超过150套时，前150套仍按每套14元，超出的部分每套10元。设一次购买x套，按甲方案需付A元，按乙方案需付B元。图10-1甲、乙两种批发方案的计价结构（1）分别求x=100时A、B的值，并说明按哪个方案更省钱、省多少元。（3分）（2）分别求x=300时A、B的值，并说明按哪个方案更省钱、省多少元。（3分）（3）求两个方案付款相同的套数x；并写出x小于、大于这个数时分别该选哪个方案。（6分）——题目到此结束·参考答案与速解技巧见下页——参考答案与速解技巧D06-05·购买方案与团购专项｜苏科版（2024）数学七年级上册第4章一元一次方程专项突破第1题（8分·中档）【标准解答】（1）按方案一，单价8元，买20本。需付8×20=160（元）。答：需付160元。（2）按方案二，一次至少要买30本，单价6元。需付6×30=180（元）。答：需付180元。（3）方案一：8×26=208（元）。方案二只能按30本起买：6×30=180（元），且实际得到30本。因为180<208，所以方案二更省钱，省208−180=28（元），并多得30−26=4（本）。答：方案一208元，方案二180元；方案二更省28元。【速解技巧】①团购价有「起买门槛」，比较时不能拿8×26与6×26直接比——26本根本走不了团购价，必须按30本付款。②判断「凑单是否值得」只有一个式子：单买价×实需本数与团购起买量×团购价比大小，差值就是省下的钱。③反过来问「买多少本时团购才更省」：单买本数的钱要超过团购起买量的钱，即8x大于6×30=180，x要大于22.5，取整数得不少于23本时团购更省，本卷Q1的26本正在此列。第2题（8分·中档）【标准解答】（1）12本不超过20本，全部按每本15元。y=15×12=180（元）。答：180元。（2）40超过20但不超过50：前20本按15元，超出的40−20=20（本）按12元。y=20×15+20×12=300+240=540（元）。答：540元。（3）先算两个分界点的累计钱数：20本为20×15=300（元）；50本为300+30×12=660（元）。60超过50，前50本按660元，超出的60−50=10（本）按9元。y=660+10×9=660+90=750（元）。答：750元。【速解技巧】①三档批量单价题先算「各档末端的累计钱数」：20本300元、50本660元。这两个数是全题的分界值，后面的每一问都靠它们。②超出部分的本数一律用「本次总量−本档起点」算，不能拿总量直接乘本档单价：40本时只有20本享受12元。③档数越多越要「接力累加」：第3档的起点钱数=第2档末端的660元，不必从0重新算一遍。第3题（8分·中档）【标准解答】（1）买4支送1支，即每付4支的钱得5支，每5支为一组。要得50支，正好10组：付4×10=40（支）的钱，得5×10=50（支）。需付25×40=1000（元）。答：1000元。（2）要得47支。47÷5=9组余2支，9组得45支。再买2支补齐，共付9×4+2=38（支）的钱。检验：38支中38÷4=9组可送9支，38+9=47（支），正好够。需付25×38=950（元）。答：950元。（3）875元可付875÷25=35（支）的钱。35支中每4支送1支，可送35÷4=8（支）余3支，8支赠品。共得35+8=43（支）。检验：付36支需900元，已超过875元，故43支最多。答：最多得到43支。【速解技巧】①「买a送b」的本质是把b支的价格摊到a支上：本题每5支的钱=4×25=100元，折合每支20元，比定价低5元。②正求「要得N支需付多少」：先算整组数，再看余数是否够补，最后一定要用「付的支数÷4=送的支数」回验总数。③反求「钱能买多少支」：先用钱数除以单价得到「能付几支」，再算这几支能送几支，最后验证再多付一支已经超预算。余数不足4支的部分不送，这是最容易漏的一步。第4题（10分·较难）【标准解答】（1）x=10时：A=180×10+480=2280（元）；B=210×10=2100（元）。因为2100<2280，所以在乙店买更省钱，省2280−2100=180（元）。（2）x=20时：A=180×20+480=4080（元）；B=210×20=4200（元）。因为4080<4200，所以在甲店买更省钱，省4200−4080=120（元）。（3）由A=B得180x+480=210x。移项得210x−180x=480，即30x=480，x=16。此时A=B=180×16+480=3360（元）。检验：x=15时A=3180、B=3150，乙店省30元；x=17时A=3540、B=3570，甲店省30元。故x不足16个时选乙店，x=16时两店相同，x超过16个时选甲店。答：x=16时两家付款相同，均为3360元；x小于16选乙店，大于16选甲店。【速解技巧】①含「一次性送货费」的方案，本质是「单价×个数+固定费」，固定费不随个数变化，所以买得越多，甲店越占优势。②求「付款相同」只需令两式相等，解一元一次方程；本题30x=480一步就出x=16，这个数就是「盈亏转折点」。③转折点两侧必须各取一个数回验（本题取15与17），只写「小于选乙、大于选甲」而不验，是丢分点：万一把方向写反，回验能立刻发现。④记住结论的读法：固定费大的一方的优势在「量大」时体现，所以转折点以上选带固定费但单价低的那家。第5题（10分·较难）【标准解答】（1）25超过10但不超过30：前10本按60元，超出的25−10=15（本）按54元。y=10×60+15×54=600+810=1410（元）。答：1410元。（2）先算两个分界点的累计钱数：10本为600元；30本为600+20×54=1680（元）。37超过30，前30本按1680元，超出的37−30=7（本）按48元。y=1680+7×48=1680+336=2016（元）。答：2016元。（3）第一次20本：600+10×54=1140（元）。第二次31本：1680+1×48=1728（元）。分开买共付1140+1728=2868（元）。合并成一次买51本：前30本1680元，超出的21本按48元，y=1680+21×48=1680+1008=2688（元）。省2868−2688=180（元）。答：合并购买省180元。【速解技巧】①合并更省的原因只有一个：前10本的60元高价只付一次。分开买要付两次（第一次与第二次各付600元）。②具体省在两处：这10本由60元档跌到48元档，省(60−48)×10=120元；另有10本由54元档跌到48元档，省(54−48)×10=60元，合计180元。③算「合并省多少」的正确做法是分别算出两个总价再相减（本题2868−2688=180），不要用总量单价差硬套——每一本的所属档位不同。④分段题每次都要先报出「本档起点钱数」，写成600+15×54这样的接力式，写清楚就不容易错档。第6题（10分·较难）【标准解答】（1）x=500时，500元中只含1个「满300」，m=500−60=440（元）。n=500×0.85=425（元）。因为425<440，所以按方式二更省钱，省440−425=15（元）。（2）x=700时，700元中含2个「满300」，m=700−60×2=580（元）。n=700×0.85=595（元）。因为580<595，所以按方式一更省钱，省595−580=15（元）。（3）当标价合计不少于300元但不足600元时，x中恰含1个「满300」，故m=x−60，n=0.85x。由m=n得x−60=0.85x，移项得0.15x=60，x=400。检验：x=400时m=340，n=340，确实相同。取x=350检验：m=290，n=297.5，方式一省7.5元。取x=450检验：m=390，n=382.5，方式二省7.5元。故x=400时两种方式付款相同；标价合计不少于300元但不足400元时选方式一，超过400元但不足600元时选方式二。答：存在，购物金额为400元，此时两种方式均付340元。【速解技巧】①「每满A减B」的减钱个数是x÷A的整数部分，必须分段写：标价300元到不足600元时只减1次，600元到不足900元时减2次。②打折与满减的比较，交点往往落在「减钱次数不变」的那一段内，所以在同一段里把两个式子写成x−60与0.85x，一步解出x=400。③求出交点后必须确认它落在所设区间内（本题400确实在300与600之间），再在交点左右各取一值回验方向。④本题的规律很值钱：400元时两者持平；金额再涨，满减的「固定减60」被摊薄，折扣逐渐占优；金额回落到300～400之间，满减又更划算。第7题（10分·较难）【标准解答】（1）n=4时，金额15×4=60（元），不满100元，需另付运费25元。p=60+25=85（元）。答：85元。（2）n=6时，金额15×6=90（元），不满100元，加运费25元，p=90+25=115（元）。n=7时，金额15×7=105（元），已满100元，免运费，p=105（元）。因为105<115，所以买7本反而更省钱，省115−105=10（元），还多得1本。答：n=6时p=115；n=7时p=105；买7本更省10元。（3）设买n本，金额15n元。若要免运费，需15n不少于100，即n不少于7。n=7时p=105元，未超130元；n=8时p=120元，未超130元；n=9时p=135元，已超过130元。故130元最多能买8本。答：最多8本。【速解技巧】①「满额免运费」会造成价格断层：付款额在100元附近会突然下降（本题6本115元，7本只要105元）。比较时一定要把运费一起算进去。②判断「买多是否更省」只需比两个总付款p，不要比商品金额——运费才是造成反转的原因。③求「钱能买几本」要逐本验算：先算出免运费所需的最小本数，再往上加一本，直到总付款超过预算为止，答案就是最后还符合预算的那个本数。第8题（12分·压轴）【标准解答】（1）不参加买赠，60本全按本数分档计价。两个分界点：20本为20×20=400（元）；50本为400+30×16=880（元）。60超过50，超出的10本按12元：y=880+10×12=880+120=1000（元）。答：需付1000元。（2）参加买赠时，要为「得到的本数」付款。设付款购买n本，则得到n+n÷10的整数部分本。要得60本：n=55时得55+5=60（本），n=54时只得到54+5=59（本），不够。故需付款买55本，所得本数恰为60本。付款额：前50本880元，超出的5本按12元，y=880+5×12=940（元）。答：最少需付940元，实际付款购买55本（另赠5本）。（3）要得66本：n=60时得60+6=66（本），n=59时只得59+5=64（本），不够。故付款买60本，付款额y=880+10×12=1000（元）。不参加活动直接买66本：y=880+16×12=880+192=1072（元）。省1072−1000=72（元）。答：参加活动需付1000元，比不参加省72元。【速解技巧】①买赠题的正求方向有两个，先分清问的是「付款几本」还是「得到几本」：问得到多少本，就按付款本数算价；问付款多少元，要先由「得到本数」倒推付款本数。②倒推公式一行搞定：付款n本，得到n+n÷10的整数部分本。求「要得N本」就从小到大试最靠近的n，并用n−1验证不够。③买赠之后再套批量档位，两个规则是「乘法叠加」关系：先定付款本数，再用付款本数去查档位单价——顺序颠倒就会用错档。④比较「参加/不参加」必须让两者「得到的本数相同」（本题都是66本），否则省下的钱没有可比性。第9题（12分·压轴）【标准解答】（1）方式一买8送1。要得200个，设付款买m个，需m加上m÷8的整数部分不少于200。m=178时得178+22=200（个）；m=177时只得177+22=199（个），不够。故付款178个，应付45×178=8010（元）。答：最少付8010元。（2）团购买120个：38×120=4560（元）。其余200−120=80（个）按方式一补齐：付款72个得72+9=81（个）已够80个。付款45×72=3240（元）。共需4560+3240=7800（元）。答：共需7800元。（3）设团购买k个（不少于50个、不超过120个），其余200−k个按方式一补齐。方式一需付款p个，满足p加上p÷8的整数部分不少于200−k，总费用W=38k+45p。团购每多买1个，比单买省45−38=7（元），但单买补齐的个数减少时，p只在「整9个付款量」的倍数处跳降，所以W不是单调的，必须逐格试算。取k=120、119、118比较：k=120时，需补80个，p=72（72+9=81，够80），W=38×120+45×72=4560+3240=7800（元）；k=119时，需补81个，p=72（72+9=81，正好够81），W=38×119+45×72=4522+3240=7762（元）；k=118时，需补82个，p=73（73+9=82，正好够82），W=38×118+45×73=4484+3285=7769（元）。可见k从120减到119时，团购少花38元而单买一分不增，故省38元；再从119减到118时，团购省38元却使单买多付1个（45元），反而亏7元。继续往下（k=117时p=74，W=7776；k=116时p=75，W=7783）也都不低于7762。故最优为团购买119个、其余81个按方式一付款72个（另赠9个），最低总费用7762元。为什么120个不是最优：k=120时单买只需补80个，可p仍是72（已够81个），多的那1个赠品白白浪费，团购多付38元。为什么118个不是最优：k=118时单买要补82个，p必须升到73，多付45元，抵不过团购省下的38元。答：团购买119个、其余按方式一付款72个，最低总费用7762元。【速解技巧】①组合方案的核心不是「哪个单价低就全用哪个」，而是「让贵的部分尽量少、让便宜的部分尽量多」，但受团购上限120的硬约束。②单买部分的「买8送1」会让付款个数呈台阶式变化：补81个与补82个，付款个数分别是72与73，差1个就是45元，这个台阶往往决定最优点。③比较组合方案不能只比端点，要把k从120往下逐格试，遇到「台阶」就重新算——本题最优不在120，而在119。第10题（12分·压轴）【标准解答】（1）x=100时，不足200套，甲方案不打折：A=12×100=1200（元）。乙方案100套不超过150套，B=14×100=1400（元）。因为1200<1400，所以按甲方案更省钱，省1400−1200=200（元）。（2）x=300时，已满200套，甲方案全部九折：A=12×300×0.9=3240（元）。乙方案超过150，B=14×150+10×(300−150)=2100+1500=3600（元）。因为3240<3600，所以按甲方案更省钱，省3600−3240=360（元）。（3）两个方案都在分段，且分段点不同（甲在200，乙在150），按x的范围讨论。①当x不超过150套时：A=12x，B=14x，两个式子的差为2x，不可能相等，无解。②当x超过150套但不足200套时：A=12x，B=2100+10(x−150)=10x+600。由12x=10x+600得2x=600，x=300，不在本区间内，舍去。③当x不少于200套时：A=10.8x，B=10x+600。由10.8x=10x+600得0.8x=600，x=750，在本区间内。此时A=B=10.8×750=8100（元）。检验：x=749时A=8089.2、B=8090，甲省0.8元；x=751时A=8110.8、B=8110，乙省0.8元。故x不足750套时选甲方案，x=750时两方案相同，x超过750套时选乙方案。答：x=750时两方案付款相同，均为8100元；x小于750选甲，大于750选乙。【速解技巧】①两个方案的分段点不同时，必须先按分段点把x的整段定义域切开，再逐段列方程——本题切在150与200，共三段。②每解出一个根立刻回代验区间：本题300是从「超过150套但不足200套」这一段解出的，但300已越出该段，必须舍去；不写这句扣分。③甲方案的「满200全部九折」是整体打折，不是只有超出的部分打折——这类「跨过门槛后整单改价」的方案，会让甲方案在200附近出现价格跳降，是本题交点存在的根本原因。④交点只有1个（本题750），说明「谁更省」是一刀两段：750以内甲省，750以上乙省。若算出两个交点，就要按区间三段式作答。《本专项速解规律总结》本专项以「购买方案与最优决策」为主线：从单买与团购的门槛比较、三档批量单价、买几送几的赠品折算，到满额免运费与满减折扣的对决，再到「团购有上限时如何与单买组合使总费用最低」。以下7条是把整卷10题压成可背诵的操作顺序，做题时先对号，再动笔。规律一·方案题先建「方案表」，把单价、门槛、运费、赠品四列写全动笔前先把每个方案