2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷一（人教A版适用 ）

2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷一（人教A版适用）范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+椭圆考试注意事项：1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过两点A2,m，Bm,4的直线l的倾斜角为45°，则m的值为（A．−2 B．1C．3 D．42．已知空间向量a=1,2,1，b=−1,3,0，则a与A．66 B．C．53 D．3．已知直线l：m+1x+m−1y−2m=0m∈R，则原点到直线A．0,1 B．0,1 C．0,2 D．4．已知点P0,3在圆C：x2+A．m>−9 B．m<1 C．−9<m<1 D．m<−9或m>15．若圆C:(x−2)2+(y−3A．0,4 B．0,3 C．2,4 D．1,36．空间向量OA=1,0,0，OB=0,1,0，OC=0,0,1，向量OP=xA．1 B．4C．63 D．7．已知圆C1：x−32+y+432=25A．1条 B．2条 C．3条 D．4条8．已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为A．A点坐标为3B．aC．右焦点坐标为2,0D．椭圆C的方程为x二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在平行六面体ABCD−A1BA．AB⃗+ADC．AC+CB10．已知直线l过点P2,4，在x轴和y轴上的截距相反，则直线l的方程可能为（

A．x−y+2=0 B．x+y−6=0 C．x=2 D．2x−y=011．已知F1，F2是椭圆C:x29+y225=1的两个焦点，过F1A．椭圆C的离心率为3B．存在点A使得AC．若AF2D．△AF1三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．点(−4,1)关于直线x−y+2=0对称的点的坐标为__________．13．已知椭圆C:x2m+14．已知P,A,B,C四点共面，对空间任意一点O，若AP=2OA+OB四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知空间向量a，b，c满足a=b=2，c=2，〈(1)求a⋅b，b⋅(2)求a+16．（15分）已知圆C：x2+y2−4x−12=0(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)若直线l与圆C相交于A,B两点，且AB=214，求直线l17．（15分）已知点P−2,−3和以点Q为圆心的圆(x−4)(1)求以PQ为直径，点Q'(2)设圆Q与圆Q'相交于A，B两点，证明：直线PA，PB是圆Q(3)求直线AB的方程.18．（17分）在四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，BC=CD=1，PA⊥平面ABCD.(1)证明：BD⊥平面PAD.(2)若直线PA与平面PBC所成的角为30°.（Ⅰ）求PA的长度；（Ⅱ）求平面PBC与平面PBD夹角的余弦值.19．（17分）椭圆Γ:x2(1)求Γ的离心率；(2)斜率为k的直线与Γ交于不同于点P的A,B两点，直线PA,PB分别与y轴交于点M,N．（ⅰ）设直线PA与x轴交于点Q，且MQ=2QP，O为坐标原点，求（ⅱ）若M,N关于原点对称，求k的取值范围．2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷一（人教A版适用）范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+椭圆考试注意事项：1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过两点A2,m，Bm,4的直线l的倾斜角为45°，则m的值为（A．−2 B．1C．3 D．4【答案】C【详解】因为直线l的倾斜角为45°所以直线l的斜率k=tan又因为直线经过两点A(2,m)，B(m,4)，且两点横坐标不相等（即m≠2），由斜率公式可得k=4−m解得4−m=m−2，即2m=6，解得m=3.当m=3时，A(2,3)，B(3,4)，斜率4−33−2=1，倾斜角为2．已知空间向量a=1,2,1，b=−1,3,0，则a与A．66 B．C．53 D．【答案】B【分析】由空间向量的夹角公式计算可得答案.【详解】因为a=1,2,1所以cosa3．已知直线l：m+1x+m−1y−2m=0m∈R，则原点到直线A．0,1 B．0,1 C．0,2 D．【答案】D【详解】因为直线方程为m+1x+m−1y−2m=0由此可知，当OA⊥l时距离最大，长度为12+12=2，当直线l过原点，即m=0时，距离最短为0，因此距离范围为0,24．已知点P0,3在圆C：x2+A．m>−9 B．m<1 C．−9<m<1 D．m<−9或m>1【答案】C【详解】由题意得，32+m>05．若圆C:(x−2)2+(y−3A．0,4 B．0,3 C．2,4 D．1,3【答案】D【分析】先求出圆心到已知直线的距离，再根据圆上到直线距离为1的点仅有两个这一几何条件，列出半径的不等式，求解r的取值范围.【详解】由圆C:x−22+根据点到直线的距离公式，计算圆心2,3到直线l的距离d=若圆上到直线l的距离为1的点仅有两个，说明与直线l平行且距离为1的两条直线中，一条与圆相离，一条与圆相交（2个交点），则满足d−1<r<d+1，代入得2−1<r<2+1，即1<r<3．所以r的取值范围为1,3.6．空间向量OA=1,0,0，OB=0,1,0，OC=0,0,1，向量OP=xA．1 B．4C．63 D．【答案】C【分析】构造四点D,E,C,P共面，当OP⊥平面DEC时，OP有最小值，求出平面DEC的一个法向量n，利用点到面的距离公式求解即可．【详解】设OD=2OA=则OP=x因为x2+y当OP⊥平面DEC时，OP有最小值．可得DE=OE−设平面DEC的一个法向量为n=则DE⋅n=−2a+2b=0DC⋅所以平面DEC的一个法向量为n=所以O到平面DEC的距离d=OC所以OP的最小值为637．已知圆C1：x−32+y+432=25A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【分析】先求得两圆的圆心与半径，通过计算圆心距判断两圆位置关系，进而确定公切线的条数.【详解】圆C1的标准方程为(x−3)2+(y+43将圆C2的一般方程x2+y2−4x=0配方，得两圆圆心距：|C由r1故两圆公切线的条数为3.8．已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为A．A点坐标为3B．aC．右焦点坐标为2,0D．椭圆C的方程为x【答案】B【分析】利用直角三角形斜边中线性质结合面积求出c，得到A点坐标，代入椭圆方程联立a2【详解】由题意知，△AF1F2是直角在点A的直角三角形，OA=直线l倾斜角为30∘，故点A则S△AF1故A3把A3, 1代入椭圆方程得故a2右焦点坐标为2,0，故C正确；椭圆方程为x2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在平行六面体ABCD−A1BA．AB⃗+ADC．AC+CB【答案】ABD【分析】根据空间向量加减法的几何意义化简各式判断正误即可.【详解】AB→AB→AC→AD→10．已知直线l过点P2,4，在x轴和y轴上的截距相反，则直线l的方程可能为（

A．x−y+2=0 B．x+y−6=0 C．x=2 D．2x−y=0【答案】AD【分析】分直线l过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程求解即可.【详解】当直线l过原点时，则斜率k=4−0所以直线l的方程为y=2x，即2x−y=0；当直线l不过原点时，设直线l的方程为xa则2a+4所以直线l的方程为x−2+y综上所述，直线l的方程为2x−y=0或x−y+2=0.11．已知F1，F2是椭圆C:x29+y225=1的两个焦点，过F1A．椭圆C的离心率为3B．存在点A使得AC．若AF2D．△AF1【答案】BCD【分析】A：由椭圆方程求得a=5，c=4，即可求解离心率；B：根据垂直条件得向量数量积为0，与椭圆方程联立，求得得纵坐标在椭圆取值区间内，即可判断；C：结合椭圆定义计算得到AB=8，即可判断；D：焦点三角形以为底，高为A【详解】由椭圆C:x29+y225=1，可知焦点在焦点F1(0,4)，选项A：椭圆离心率e=c选项B：设Ax,y，则F1A若AF1⊥AF2，则F即x2=91−y2故存在满足条件的点A，B正确；选项C：根据椭圆定义，AF1+两式相加得AF1+由AF2+选项D：△AF1F2的底|故面积最大值为S=1三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．点(−4,1)关于直线x−y+2=0对称的点的坐标为__________．【答案】−1,−2【详解】设点(−4,1)关于直线x−y+2=0对称的点的坐标为a,b，已知直线x−y+2=0的斜率为1，两条互相垂直的直线斜率乘积为−1，所以b−1a+4=−1，即因为两点的中点a−42,b+12在直线x−y+2=0上，所以联立a+b=−3a−b=1，解得a=−1,b=−2，即坐标为−1,−213．已知椭圆C:x2m+【答案】49或【分析】根据题意，结合椭圆方程的性质分类讨论长轴长和短轴长即可求解.【详解】若m>4，则C的长轴长为2m，短轴长为4，则2m=12若0<m<4，则C的长轴长和短轴长分别为4，2m，所以4=6m，解得因此m=49或14．已知P,A,B,C四点共面，对空间任意一点O，若AP=2OA+OB【答案】−3【分析】根据共面定理得到AP=xAB+y【详解】因为P,A,B,C四点共面，所以∃x,y∈R，使得AP即AP=x又AP=2故−x−y=2x=1y=t，所以四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知空间向量a，b，c满足a=b=2，c=2，〈(1)求a⋅b，b⋅(2)求a+【答案】(1)a→⋅b→(2)2【详解】（1）因为|a|=|b|=2，|c|=2所以，，．（2）|16．（15分）已知圆C：x2+y2−4x−12=0(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)若直线l与圆C相交于A,B两点，且AB=214，求直线l【答案】(1)x=−2或5x+12y−62=0(2)x+y−4=0或17x+7y−8=0【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案；（2）设直线l的方程，利用直线和圆相交时的弦长公式，即可求得答案.【详解】（1）圆C的标准方程为x−22+y2=16当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2+6，即所以圆心C到直线l的距离d=4k+6k2所以直线l的方程为5x+12y−62=0.综上所述，直线l的方程为x=−2或5x+12y−62=0.（2）设圆心到直线AB的距离为d，则AB=2r2−当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=−2，直线与圆是相切的，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2+6，即所以d=4k+6k2+1=所以直线l的方程为y=−x+2+6或即x+y−4=0或17x+7y−8=0.17．（15分）已知点P−2,−3和以点Q为圆心的圆(x−4)(1)求以PQ为直径，点Q'(2)设圆Q与圆Q'相交于A，B两点，证明：直线PA，PB是圆Q(3)求直线AB的方程.【答案】(1)Q(2)因为PQ为直径，所以∠PBQ=π2，∠PAQ=π2，即从而PA，PB是圆Q的切线.(3)l【分析】（1）利用圆的标准方程得出圆心坐标，结合两点距离公式、中点坐标公式计算即可；（2）根据直径所对的圆周角为直角，及切线的性质判定即可；（3）直接对两圆的方程作差即可得出公共弦方程.【详解】（1）因为Q4,2，P−2,−3，所以Q'所以半径R2所以圆Q'（2）略.（3）分别将圆Q和圆Q'化为一般型，得圆Q:圆Q'两式相减得−6x+15−5y=−10，即6x+5y−25=0，所以公共弦AB的方程为lAB18．（17分）在四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，BC=CD=1，PA⊥平面ABCD.(1)证明：BD⊥平面PAD.(2)若直线PA与平面PBC所成的角为30°.（Ⅰ）求PA的长度；（Ⅱ）求平面PBC与平面PBD夹角的余弦值.【答案】(1)证明：以A为原点，CB，AB，AP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA=a，则P0,0,a，B0,2,0，则BD=−1,−1,0，AD=因为BD⋅AD=0，所以BD⊥AD，BD⊥PA，又AD∩PA=A，且AD，PA⊂平面PAD，故BD⊥平面PAD．(2)（Ⅰ）23；（Ⅱ）【分析】（1）建系，证明BD垂直平面PAD内两条相交向量AD，PA，证线面垂直；（2）（Ⅰ）设PA=a，求平面PBC法向量；利用线面角公式sinθ=|n⋅PA【详解】（1）略.（2）（Ⅰ）C−1,2,0，故BC=−1,0,0，设平面PBC的法向量为n=则n⋅BC=0n⋅PB=0，即由题意，得cosn,PA=sin解得a=23，故PA的长度为23（Ⅱ）由（2）第（Ⅰ）问知n=0,23,2设平面PBD的法向量为m