福建省厦门大学科技中学2024-2025学年高二下学期3月段考数学试卷（含答案）_第1页
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福建省厦门大学科技中学2024-2025学年高二下学期3月段考数学试卷（含答案）_第3页
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2024-2025学年福建省厦门大学科技中学高二(下)3月段考2.某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有()A.6⁴种B.46种C.2C.(0,1)圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为()ABCD7.已知函数f(x)的定义域为(-,0),其导函数f′(x)满足xf′(x)-2f(x)>0,则不等式f(x+2024)-(x+2024)²f(-1)<0的解集为()A.(-2025,-2024)B(-2024,0)C.(-∞,-2024)D.(一∞,-2025)范围是()C.4x+3y-11=0B.f(x)有且仅有2个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 15.(本小题15分)16.(本小题15分)17.(本小题15分)(1)讨论()的单调性；(2)当=1时，证明：()≤2+−1；(3)求证：对任意的∈∗且≥2，都有：(1+)(1+)(1+)…(1+)<.(其中≈2.7183为自然对数的底数).参考答案15.解：(1)设等差数列{}的公差为，由题意知，4=42，2=21+1，即41+616.解：易知()的定义域为(0,+∞)，所以当=1时，()取得极小值，不符合题意；所以函数()在=1处取极大值，在=3处取极小值，符合题意；此时()在(−∞,1)，(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以()在(,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,8)上单调递增，当=1时，()取得极大值，极大值(1)=−12=−,因为(8)>(1).所以()在区间[,8]上的最大值为272.设平面的法向量为=(2,2,2)，此时平面与平面所成的二面角的正弦值为1−()2=1−==.18.解：(1)设(,)(≥0)，两边平方得2=4，所以，所求点的轨迹方程为：2=4.(2)①证明：设过椭圆的右顶点(4,0)的直线的方程为=+4，代入椭圆的方程2=4，设(1,1)，(2,2)，1212所以⊥,②证明：设(3,3)，(4,4)，直线的方程为=+，代入椭圆的方程+=1，从而34=(3+)(4+)=234+(3+4)+242−482=代入整理得72=48(2+1)，所以原点到直线的距离==，为定值.当0<<−时，+22<0，所以′综上，当≥0时，函数()在(0,+∞)上单调递增；当<0时，函数()在(0,−)上单调递减，在(−,+∞)上单调递增.所以()≤(1)=0，即−+1≤0.故()≤2(3)证明：由(2)≤−1，(当且仅当=1时等号成立)令

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