上海市上海交通大学附属闵行实验学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市上海交通大学附属闵行实验学校高一下学期3月月考数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.sin347∘cos148∘+sin77∘cos58∘=()A.B.C.D.12.若终边不在坐标轴上，且coscos+sinsin=−1，则在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知幂函数=2−2(∈)，在区间0,+∞上是单调减函数．若sin+cos=5，∈0,，则sin−cos=()A.B.−C.−D.4.已知+=，若cos2+cos2=，则sin2−sin2=()二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。5.角的终边上有一点(5,−12)，则sin=.6.若cos=，则sin(−)=.7.写出与终边相同的角的集合是.8.在▵中，若sin=，cos=−,则sin=.9.已知角是第四象限角，cos=，则sin2=.10.知cos(−)=，且<<，则cos=.11.若3sin−4cos=5sin(+)，则tan=.12.若sin−cos=，则sin2的值为.13.对于▵,若存在▵111，满足===1，则称▵为“类三角形”，则“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为.14.已知点的坐标为−4,3，将绕坐标原点逆时针旋转至′，则点′的坐标为.15.已知cos+=，cos−=−,则tantan=.16.如果锐角满足sintan+cot=−,则tancos的值是.三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)已知tan=2，求下列各式的值(2)2+2sincos+118.(本小题14分)在▵,已知tan=，sin−=.(2)若为∠的平分线，▵的面积为14，求.19.(本小题14分)(1)求tan(−)的值；(2)求+的值.20.(本小题14分)意大利著名画家达•芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”.1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为=+−,其中为参数.当=1时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为cosℎ=，双曲正弦函数为sinℎ=，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性.(1)求证：cosℎ2=cosℎ2+sinℎ2；(2)求函数=cosℎ2−2cosℎ的最小值；21.(本小题14分)设次多项式=+−1−1+⋯+22+1+0≠0，若其满足cos=cos，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由cos=cos，可得切比雪夫多项式1=，由cos2=22−1，可得切比雪夫多项式2=22−1.(1)若切比雪夫多项式3=3+2++，求实数的值；(2)对于正整数≥2时，是否有+1=2⋅−−1成立？(3)已知函数=83−6−1在区间(−1,1)上有3个不同的零点，分别记为1，2，3，证明：1+2+3=0.5.−.659.−11.−15.−7.217.解：(1)由题====4.(2)因为tan=2，故2+2sincos+1=22+2sincos+222+2sincos+2÷2==2+22+2÷2=22+2tan+1=2+12×22+2×2+1=22+113518.解：(1)在▵中，tan=>0，所以0<<，因为0<<，所以−<−<，因为sin−=>0，所以0<−<，所以cos−=1−2−=.所以tan−=−=，所以tan=tan−−===1，又因为0<<，所以=.所以sin=sin+=sincos+cossin=.记▵中角、、所对的边为、、，由正弦定理可得=，所以==，所以▵=sin=×2×=14，解得=7(负值舍去)，所以=5.又由cos=1−22=，得sin=，19.解：(1)解方程32+5−2=0得1=,2=−2.所以tan=,tan=−2，则tan(−)===7.(2)tan(+)===−1.从而+=.20.解：(1)因为cosℎ2+sinℎ2=2+2==cosℎ2.所以：cosℎ2=cosℎ2+sinℎ2.(2)=cosℎ2−2cosℎ=−+−=−+−=−+−−1.设=+−,则≥2，当且仅当=0时取“=”.则=−−1，在2,+∞上单调递增.所以≥2=−1.所以函数=cosℎ2−2cosℎ的最小值为−1.对cosℎ=，因为cosℎ−==cosℎ,所以cosℎ为偶函数；设0<1<2，则cosℎ2−cosℎ1=−=2−11−,因为0<1<2，所以2−1>0，1+2>1，所以1−>0，所以cosℎ2−cosℎ1>0，即cosℎ在0,+∞上单调递增.所以当cos∈−1,1时，cosℎcos≥cosℎ0=1.对sinℎ=，类似的方法可得：sinℎ为奇函数，在上单调递增.44设=cosℎ−sinℎ=−=−>0.所以cosℎ>sinℎ,4421.解：(1)依题意，3cos=cos3=cos2+=cos2cos−sin2sin=22−1cos−22cos=23−cos−21−2cos=43−3cos，因此3=43−3，即3+2++=43−3，则=4,==0,=−3；(2)+1=2⋅−−1成立只需考虑和差化积式cos+1+cos.−1=2cos⋅cos，首先有如下两个式子：+1cos=cos+=coscos−sinsin，−1cos=cos−=coscos+sinsin，两式相加得，−1cos++1cos=2coscos=2coscos，将cos替换为，所以对于正整数≥2时，+1=2⋅−−1；(3)函数=83−6−1在区间−1,1上有3个不同的零点1,2,3，即方程43−3=在区间−1,1上有3个不同的实根，则1+2+3=cos+cos+cos=cos−cos+cos，99