计算流体力学(中科院力学所)_第1讲-基本方程

1、计算流体力学李新亮lixlTel:82543801;力学所主楼219房间参考数目：傅德薰等：计算流体力学，计算空气动力学阎超：计算流体力学方法及应用任玉新等：计算流体力学基础C.Hirsch:Numericalcomputationalofinternal湍流的计算模型；转捩的预测模型；燃烧及化学反应模型；噪声模型可处理间断及多尺度流场的高分辨率、强鲁棒性、高效数值方法；高精度激波捕捉法；间断有限元法;可处理复杂外形、易用性强的算法；复杂外形网格生成工作量大多块分区算法；无网格法；粒子算法；,9,CopyrightbyLiXinliang,课程安排流体力学基本方程双曲型方程组及其特性差分法（1

2、）：差分方法的数学基础差分法（2）：差分格式的构造及分析可压缩流体力学方程组的离散方法激波高分辨率差分方法代数方程组的求解不可压方程的数值方法网格生成技术并行计算的MPI编程初步（Part1,Part2）湍流的计算方法（1）：RANS湍流的计算方法（2）：LES及DNS;计算声学初步常用CFD软件（Fluent）及可视化软件（Tecplot,AVS）介绍案例教学(1)案例教学（2）,10,CopyrightbyLiXinliang,1.1流体力学基本方程组,连续介质假设；宏观守恒律：质量守恒、动量守恒、能量守恒,考虑任意控制体;计算dt时刻内流出的质量,控制体,（1）,1）质量守恒律,单位时刻

3、表面微元ds的流出质量为：,总质量流出为,根据质量守恒：控制体内质量的增加=流入控制体的质量,第二章流体力学基本方程及其数学性质,1.基本方程的推导,基本概念:随体导数,（Euler型）控制体特性：不运动、不变形,控制体的任意性,11,CopyrightbyLiXinliang,2）动量守恒律,单位时刻内，流出面元ds的动量为：,总流出动量为:,根据动量守恒：,外力的合力：,质量力：,表面力：,控制体内的动量增加=流入的动量+表面力的冲量+体积力的冲量,12,CopyrightbyLiXinliang,根据本构方程（广义牛顿粘性定律）,通常情况下：,基本概念：应力（张量）,“把固体切开，其内部

4、的力才暴露出来”“切的方向不同，表面上的力也不同”,给定方向，就能得到表面力,普通的线性应力-应变关系：,各向同性假设,静止流体应力张量保持各向同性（帕斯卡定律）：静止流体：,：静止部分+运动部分,通常情况下，第二粘性系数（膨胀粘性）可忽略,13,CopyrightbyLiXinliang,3）能量守恒律,单位体积内流体的总能量=动能+内能,流出的体积dV带走的能量,外力做功,质量力：,表面力：,热传递：,控制体内的能量变化=流入的能量+表面力做功+体积力做功+传入热量,Fourier传热定律：,14,CopyrightbyLiXinliang,最终N-S方程组为：,也可写成如下分量形式（计算

5、流体力学2.1.1）,补充状态方程：,15,CopyrightbyLiXinliang,2.N-S方程的无量纲化,采用无量纲方程的优缺点无量纲方式可以任意,出现的无量纲参数：,作业：推导N-S方程的无量纲化形式,不同的无量纲方式得到的方程的形式不同,无量纲状态方程：,16,CopyrightbyLiXinliang,3.N-S方程的简化,1）不可压情况下,2）无粘情况下（Euler方程）,通常：,变形：,假设粘性系数为常数（温度变化较小的情况）,17,CopyrightbyLiXinliang,2.2偏微方程的分类及特征,1.一阶偏微方程,采用特征线法，可转化为常微分方程,考虑曲线G:,显然，

6、沿着该曲线G有：,如果该曲线G满足：,则有：,偏微方程在特征线上变成了常微分方程,特征线,特征相容关系,18,CopyrightbyLiXinliang,特例：常系数线性单波方程,特征线G：,特征关系式：或,扰动沿特征线以有限速度传播的方程称为“双曲型”方程基本特征：扰动以有限速度传播局部依赖关系-“依赖域”、“影响域”,19,CopyrightbyLiXinliang,2.一阶常系数偏微方程组,如果矩阵A可以被对角化：,令：,有,即：,m个方程完全解耦，可独立求解,有m条特征线：,m个特征相容关系式：,如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的,20,CopyrightbyLiXi

7、nliang,如果矩阵A具有m个实特征值，这些特征值共具有m个线性无关的特征向量，则称为双曲型方程,一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系（常微分方程）等价。,如果A的特征值为m重根，而且对应的独立特征向量数小于m，则称为抛物型方程。如果其A的特征值均为复数，则称为椭圆型方程组合情况：双曲-椭圆型双曲-抛物型,思考题：如果A为变系数情况？,21,CopyrightbyLiXinliang,3.高阶偏微方程可转化为一阶方程组,原方程化为一阶方程组：,转化为一阶偏微方程组,矩阵,特征方程（3）有两个互异实根-矩阵A可对角化-双曲型,特征方程（3）有两个相同实根，且无法对角化-抛物型

8、,特征方程（3）无实根-椭圆型,对于变系数情况，局部讨论,22,CopyrightbyLiXinliang,4.讨论Euler方程组,作业题1-1：给出A,S,S-1,的具体推导过程,将矩阵A对角化,一维非定常Euler方程转化为三个单波方程扰动波分别以速度传播,一维非定常流动：,23,CopyrightbyLiXinliang,二维非定常Euler方程组,作业题：判断二维定常Euler方程的类型（双曲、抛物、椭圆）,24,CopyrightbyLiXinliang,二维定常Euler方程,25,CopyrightbyLiXinliang,2.3模型方程及其数学性质,简化的模型方程：线性单波方

9、程最简单的双曲型方程热传导方程抛物型Laplace方程椭圆型Burgers方程混合型,目的：通过简化模型方程，研究流体力学方程组的数学性质及计算方法,偏微分方程的分类：,椭圆型,抛物型,双曲型,26,CopyrightbyLiXinliang,1.线性单波方程,方程的精确解：,含义：以常速度c向右传播。波形，振幅保持不变,c0扰动波向右传播：左端(A)需要给定边界条件；右端(B)只能被动接受，无法给定边界条件（即使给定，对计算域也无任何影响,且造成B端的非适定性）。c0扰动波向左传播：右端(B)需要给定边界条件；左端(A)无需给定,线性单波方程的边界条件:,对于初值问题，如果微分方程解的定解域

10、中存在、唯一、且连续依赖于初始值，则称数学问题的提法是适定的。,对流方程的典型模型,27,CopyrightbyLiXinliang,1)波动方程有两条特征线和两个特征相容关系；每个特征相容关系携带了偏微分方程的部分信息，在相应的特征线上传播，信息传播的速度就是相应特征值。,特点:,2)两条特征线上的特征相容关系综合起来，和原来的偏微分方程是等价的。利用特征相容关系和初始值，我们可以得到波动方程初值问题的解。这种求解双曲型方程的方法称为特征线法。,28,CopyrightbyLiXinliang,4)边界条件边界条件个数=边界处指向求解域内的特征线条数5）时间变量的单向性,29,Copyrig

11、htbyLiXinliang,2.热传导方程抛物型方程,精确解：,特点：扰动解瞬时传遍整个计算域,扩散方程的典型模型,30,CopyrightbyLiXinliang,抛物型方程特点,由于抛物型方程独立的特征向量数少于特征值数，因此，特征相容关系所包含的信息少于原抛物型偏微分方程的信息，即抛物型方程不可能用特征线方法求解。依赖域。由于特征相容关系的个数少于拟线性方程组未知量的个数，抛物型方程不存在有限的依赖域。因此，每一的解依赖于整个求解域。抛物型方程的特征值均为实数，时间变量（或类似时间变量）有单向性，可以用推进的方法求解。同双曲型方程一样，抛物型方程也是发展型方程。,t,x,31,Copy

12、rightbyLiXinliang,3.Burgers方程,对流-扩散方程,精确解：,含义：扰动波既下下游传播，同时进行扩散,32,CopyrightbyLiXinliang,4.椭圆型方程：Laplace方程,33,CopyrightbyLiXinliang,椭圆型方程特点,椭圆型方程由于其特征值均为复数，所以，特征线、相容关系等均无定义；不能沿某一方向推进求解（必须整个求解域同时求解）；椭圆型方程不存在有限的影响域和依赖域，或者说，任何一点的影响域和依赖域都是整个求解域；椭圆型方程只能提边值问题。在物理上，椭圆型方程对应着一种稳态平衡的过程，称为平衡方程。,34,CopyrightbyLiXinliang,椭圆型方程边界条件