2应用数理统计抽样和抽样分布0

1、总体：是指对某一问题的研究对象的全体.亦称母体。在数理统计中，总体就是具有确定分布的随机变量。所以总体通常表示为随机变量的概率分布F(x)或概率密度f(x)。个体：组成总体的每个研究对象。一个个体是随机变量的一次观测值。,1母体和子样-总体与样本,一、总体与样本,第一章抽样和抽样分布,一个统计问题总有它明确的研究对象.,1.总体实例,研究对象的全体称为总体(母体)，,总体中每个成员称为个体.,研究某批灯泡的质量,总体,总体,然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.,该批灯泡寿命的全体就

2、是总体,灯泡的寿命,样本：从总体中随机抽取的若干个个体。样本中个体的个数叫做样本大小或样本容量。样本中的个体称为样品。注：样本大小为n的样本可以看成是一个n维随机向量(X1,Xn)。简单随机样本(X1,Xn)：X1,Xn相互独立，并与总体X具有具有相同的分布函数F，简称样本。,3、试验设计：设计有效地获得数据的方法，如正交设计,1、统计和推断：参数估计-对于前面的灯泡寿命问题，由中心极限定理和实际经验知道，灯泡寿命X服从,2、研究应用统计推断中的基本原理，研究处理线性模型中的某些问题的方法，如回归分析，方差分析,假设检验-对于前面的灯泡寿命问题,规定次品率不得超过5%，现在任取50个灯泡，检查

3、有4个次品问能否出厂？,数理统计的基本内容：,考察总体分布规律的方法-直方图分布密度函数(例题分析),【例】某电脑公司2002年前四个月各天的销售量数据（单位：台）。试对数据进行分组。,二、样本的分布,频数分布表的编制(步骤),确定组数：根据Sturges提出的经验公式得组数K为：,确定各组的组距：组距(237-141)10=9.610,用Excel制作频数分布表,等距分组表(上下组限重叠),等距分组表(上下组限间断),等距分组表(使用开口组),分组数据直方图(histogram),用矩形的宽度和高度来表示频数分布的图形，实际上是用矩形的面积来表示各组的频数分布在直角坐标中，用横轴表示数据分组

4、，纵轴=频率/组距，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图直方图下的总面积等于1,分组数据的图示(直方图的绘制),某电脑公司销售量分布的直方图,我一眼就看出来了，销售量在170180之间的天数最多!,分组数据的图示(折线图-密度函数图的绘制),折线图与直方图下的面积相等！,140,150,210,某电脑公司销售量分布的折线图,190,200,180,160,170,220,230,240,用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图.,从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布.,下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图.,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学男大学

5、生的身高应服从正态分布.,频数分布的类型,几种常见的频数分布,理论分布总体分布经验分布样本分布经验分布的构建：将样本(X1,Xn)的n个观察值x1,xn由小到大排列为，则相应的样本分布为,三、经验分布与理论分布,140,150,210,经验分布函数图y=F*n（x）,190,200,180,160,170,220,230,240,y=F*n（x）,x,经验分布与理论分布的关系（Glivenko定理）：对于任意的，经验分布Fn(x)依概率关于x均匀收敛到理论分布F(x)，即,样本值与样本空间：样本(X1,Xn)每次抽样得到的观察值(x1,xn)称为样本值，样本值的集合称为样本空间。样本的联合概率

6、分布与密度：,统计量定义：设X1,Xn是来自总体X的一个样本,称不包含参数的实值函数T(X1,Xn)是一个统计量.统计量是一个随机变量。如：,样本均值,样本方差,四、样本数字特征,样本标准差,样本k阶(原点)矩,样本k阶中心矩,样本二阶中心矩,注：样本二阶中心矩与样本方差的区别：,样本矩与总体矩之间的关系：只要总体的r阶矩存在，则样本小于等于r的各阶矩依概率收敛到总体的各阶矩。,子样中位数：,子样极差：,例1.从一批相同的电子元件中随机地抽出8个，测得使用寿命（单位：小时）分别为：2300，2430，2580，2400，2280，1960，2460，2000，试计算样本均值、样本方差及样本二阶

7、矩.,解：,定理1设X1,X2,Xn是独立同分布的随机变量，而且每个随机变量服从正态分布N(,2),则样本均值服从正态分布,一、正态分布的子样均值的分布-P18,2一些常用的抽样分布,几种常用的统计统计分布,二、分布,设X1,Xn是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量服从自由度为n的分布.记为.,分布的概率密度为,n=1,n=5,n=15,证明：,为计算这个积分，做变换,变换的雅克比行列式为：,分布的性质：P20,性质1：设，则,课本用独立随机变量之和分布密度的卷积公式，繁！P21,性质2：设，则,性质3对于自由度为n的卡方分布有：P22,对大样本，可用正态分布计算卡方分布,定理：（科赫伦定

8、理）设X1,Xn是服从N(0,1)的独立同分布的随机变量,又设：,三、t分布,设XN(0,1),并且X,Y独立,则称随机变量服从自由度为n的t分布.记为tt(n).,t分布的概率密度为,n=1,n=10,n=(正态),T分布的特点：1、其概率密度函数是偶函数。当n30时，t分布与标准正态分布非常接近；当n趋于无穷大时，t分布趋于标准正态分布。P252、t分布的尾重比正态分布大。3、t分布只存在kn阶矩。,四、F分布,设,并且X,Y相互独立,则称随机变量服从自由度为(m,n)的F分布.记为FF(m,n).,F分布的概率密度为,n1=10,n2=25,n1=10,n2=5,注意：统计的三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！,4、上分位点,定义：设随机变量X的概率密度为f(x),对于,任意给定的(045），,4）对于F分布，有：,关于分位数还有,1、p分位数：设02)=/2,则称1，2是X的双侧分位数。3、上侧分位数：若存在，使得p(X)=,则称是X的上侧分位数，即1-分位